宁夏银川一中2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题+Word版含

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

(银川一中第二次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的．

(1?i)21．复数?

iA．?2?2i

B．2

C．?2

D．2?2i

2．设集合M?{x|x2?x?0}，N??x|A．M?N?? 3．已知tan???A．

B．M?N??

??1??1?，则 x?C．M?N

D．MN?R

1，且??(0,?)，则sin2?? 2B．?4 54 5C．

3 5D．?3 54．若两个单位向量a，b的夹角为120，则2a?b?

A．2 B．3

C．2 D．3 5．从标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到

卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为 A．6．已知

1 4?23

4B．

1 2

1C．

3 D．

2 3a?3，b?2?3，c?ln3，则

B．a?b?c

C．b?c?a

D．b?a?c

A．a?c?b

7．中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点??2,4?，则它的离心率为

A．5 2 B．2

C．3

D．5

8．三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，PA=2，AB=AC=3，∠BAC=60°，则该棱锥的外接球的表面积是 A．12?

B．8?

C．83?

D．43?

9．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n?1；如果n是个偶数，则下一步变成

n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，2更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也 跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设 计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为 A．5

B．16

C．5或32 D．4或5或32 10．已知P是△ABC所在平面外的一点，M、N分别

是AB、PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43， 则异面直线PA与MN所成角的大小是

A．30° B．45° C．60° D．90° 11．若将函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋3cos(2x＋φ)(0<φ<π)

π

的图象向左平移4个单位长度，平移后的图象关于

?π??ππ?点?2，0?对称，则函数g(x)＝cos(x＋φ)在?－2，6?

上的最小值是

1321A．－2 B．－2 C．2 D．2 12．已知函数f(x)＝(3x＋1)ex＋1＋mx(m≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m的

取值范围是

A．?,2? B．??,?2? C．??,?2? D．??4e,??

e2e3e23e2e?????????5??58??18??5? 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

1－x1

13．已知函数f(x)＝log21＋x，若f(a)＝2，则f(－a)＝________．

12(3x2?2x)dx，则二项式(ax2?)6展开式中的第6项的系数为__________． 14．设a??1x?2x?y?1?

15．若目标函数z?kx?2y在约束条件?x?y?2下当且仅当在点(1,1)处取得最小值，则实数

?y?x?2?

k 的取值范围是__________．

16．已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，

延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a的值为________．三．解答题

17．（本小题满分12分）

{an}的前n项和Sn满足：an+Sn=1 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若Cn?an，数列{Cn}的前n项和为Tn，求证：Tn<1． an?1市场占有率y(%)

18．（本小题满分12分）

随着互联网的快速发展，基 于互联网的共享单车应运而生， 某市场研究人员为了了解共享单 车运营公司M的经营状况，对 该公司最近六个月的市场占有 率进行了统计，并绘制了相应 的折线图：

（1）由折线图可以看出，

25 20 15 10 5 0

1

2

3

4

5

6

月份代码x

2016年10月 2016年12月 2016年11月 2017年1月 2017年2月 2017年3月 可用线性回归模型拟合月度市场占 有率y与月份代码x之间的关系， 求y关于x的线性回归方程，并 预测M公司2017年4月的市场占 有率；

（2）为进一步扩大市场，公

司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和 1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最 多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使 用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定 先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两 款单车使用寿命的频数表如右表：

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 参考公式：

??回归直线方程为y?bx?a，其中b?(xi?1ni?1ni?x)(yi?y)?i?xi?1ni?1niyi?nxy，a?y?bx．

2i?(x19．（本小题满分12分）

?x)2?x?nx2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD 的中点，点M在线段PD上．

（1）求证：EF⊥平面PAC；

（2）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平 面ABCD所成的角相等，求20．（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q)

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点P是直线x= －4与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围． 21．（本小题满分12分）

PM的值． PD已知函数f?x??x?ax?1,g?x??lnx?a?a?R?．

2(1)当a?1时，求函数h?x??f?x??g?x?的极值；

(2)若存在与函数f?x?,g?x?的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：?2x??2?t??22?4)的直线l的参数方程为：??sin??2acos?(a?0)，过点P(?2， (t为参数)，

2?y??4?t??2直线l与曲线C分别交于M、N两点．

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (2)若|PM |，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值 23选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)

已知函数f(x)?|x|?|x?1|．

(1)若f(x)?|m?1|的解集非空，求实数m的取值范围；

(2)若正数x,y满足x2?y2?M，M为（1）中m可取到的最大值，求证：x?y?2xy．

银川一中2018届高三第二次模拟理科数学试题参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 题号 答案

1 C

2 C

3 B

4 D

5 B

6 D

7 A

8 B

9 C

10 A

11 D

12 B

二．填空题：13. —

1 14. —24; 15. ?4?k?2; 16. 2 212．已知函数f(x)＝(3x＋1)ex＋1＋mx(m≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m

的取值范围是( )

8?8?5??5??5?1?22A.?e，2? B.?－2e，－3e? C.?－2，－3e? D.?－4e，－2e? 答案 B

ex＋1＋mx≤0，即 解析 由f(x)≤0，得(3x＋1)·

mx≤－(3x＋1)ex＋1，设g(x)＝mx，h(x)＝－(3x＋1)ex＋1，

x1x1x1

则h′(x)＝－[3e＋＋(3x＋1)e＋]＝－(3x＋4)e＋，由

4

h′(x)>0，得－(3x＋4)>0，即x<－3，由h′(x)<0， 44

得－(3x＋4)<0，即x>－3，故当x＝－3时，函数h(x) 取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y＝h(x)， y＝g(x)的大致图象如图所示，当m≥0时，满足 g(x)≤h(x)的整数解超过两个，不满足条件；当m<0时， 要使g(x)≤h(x)

?h??2??g??2?, 的整数解只有两个，则需满足??h??3??g??3?,??5e≥－2m，－2即??8e<－3m，即?

－1

?

?8?m<－3e，

25m≥－2e，

588??5即－2e≤m<－3e2，即实数m的取值范围是??,?2?，

?2e3e?故选B.

16已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a的值为________．

答案

2

?a?

解析 依题意得焦点F的坐标为?4，0?，设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK，

0－1

由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，因为|FM|∶|MN|＝1∶3，所以|KN|∶|KM|＝22∶1，又kFN＝a

4－0

－4|KN|4

＝a，kFN＝－|KM|＝－22，所以a＝22，解得a＝2.

三．解答题：

17.解析：(1)由an+Sn=1得an-1+Sn-1=1(n≥2) 两式相减可得：2an=an-1即

an1?，又a1?1 an?1221 ∴{an}为等比数列，∴an=()n

21()n11?n?n (2)Cn?212?12()n?121?1??1?n?1??1?12?2??1? 故Tn?C1?C2?C3???Cn???1?n?1 ???????????12?2??2??2?1?212n18.解：(1)由题意：x?3.5，y?16，?xi?xyi?y?35，?xi?xi?1i?16????6??2?17.5，

b?35?2，a?y?b?x?16?2?3.5?9，∴y?2x?9， 17.5x?7时，y?2?7?9?23.

即预测M公司2017年4月份(即x?7时)的市场占有率为23%.

(2)由频率估计概率，2年，3年，4年的概率分别为0.2、0.35、0.35、每辆A款车可使用1年，0.1，

∴每辆A款车的利润数学期望为

?500?1000??0.2??1000?1000??0.35??1500?1000??0.35??2000?1000??0.1?175(元)

每辆B款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴每辆B款车的利润数学利润为

?500?1200??0.1??1000?1200??0.3??1500?1200??0.4??2000?1200??0.2?150(元)

∵175?150， ∴应该采购A款车. 19.(1）证明：在平行四边形

所以因为侧面又因为又因为

．由底面底面

，

中，因为分别为，且，所以

平面

，

，

， ， 所以底面

．

．

的中点，得，所以．

平面

，所以平面．

（2）解：因为垂直，以

底面，，所以两两

分别为、、，建立空间直角坐标系，则

，

所以设所以

的法向量 设平面

， 得因为直线 所以 解得

与平面

，，则，

，

，

，

，易得平面

．

的法向量为，由，，得 令

．

所成的角和此直线与平面

，即

，或

（舍）． 综上所得：

所成的角相等，

，所以

，

x2y220.【解析】（1）依题意，设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，焦距为2c。

ab1由题设条件知，a2?8,b?c，所以b2?a2?4。

2x2y2?1。 故椭圆C的方程为?84（2）由题意，知点P的坐标为??4,0?。

显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为y?k(x?4)。 如图所示，设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，线段MN的

?y?k(x?4),?222222中点为G(x0,y0)，由?x?y?1,得(1?2k)x?16kx?32k?8?0。

?4?82222由??(16k)?4(1?2k)(32k?8)?0，

解得?22。 ?k?2216k2因为x1,x2是方程①的两根，所以x1?x2??，

1?2k28k2?0，所以点G不可能在y轴的右边。 于是x0??21?2k4k?8k2y?y=k(x+4) 将x0?代入得0221?2k1?2k又直线F1B1,F1B2方程分别为y?x?2，y??x?2， 所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为 ?4k8k2???2,?2?y0?x0?2,?1?2k21?2k 即??24k8ky??x?2,00????2,??1?2k21?2k2解得?3?13?1，由此②也成立。 ?k?22?3?13?1?,l? 故直线斜率的取值范围是??22????21．（1）函数h(x)的定义域为(0,??)

2当a?1时，h(x)?f(x)?g(x)?x?x?lnx?2，

所以h?(x)?2x?1?所以当0?x?1(2x?1)(x?1) ?xx11时，h?(x)?0，当x?时，h?(x)?0，

221212所以函数h(x)在区间(0,)单调递减，在区间(,??)单调递增， 所以当x?111时，函数h(x)取得极小值为+ln2，无极大值； 24（2）设函数f(x)上点(x1,f(x1))与函数g(x)上点(x2,g(x2))处切线相同， 则f?(x1)?g?(x2)?f(x1)?g(x2)

x1?x21x12?ax1?1?(lnx2?a)? 所以2x1?a?x2x1?x2所以x1?x?x1a?，代入12?x12?ax1?1?(lnx2?a)得：

x22x221aa2??lnx2??a?2?0(*) 4x222x241aa21a12x2?ax?1 ?lnx??a?2，则F?(x)??3?2??设F(x)?2?4x2x42x2xx2x32不妨设2x0?ax0?1?0(x0?0)则当0?x?x0时，F?(x)?0，当x?x0时，F?(x)?0

所以F(x)在区间(0,x0)上单调递减，在区间(x0,??)上单调递增，

11?2x021??2x0可得：F(x)min?F(x0)?x02?2x0??lnx0?2 代入a=x0x0x0设G(x)?x2?2x?111?lnx?2，则G?(x)?2x?2?2??0对x?0恒成立， xxx所以G(x)在区间(0,??)上单调递增，又G(1)=0

所以当0?x≤1时G(x)≤0，即当0?x0≤1时F(x0)≤0, 又当x?ea?2时F(x)?14e2a?4aa2a?2?a?2?lne??a?2 2e411?(a?2?a)2≥0 4e因此当0?x0≤1时，函数F(x)必有零点；即当0?x0≤1时，必存在x2使得(*)成立； 即存在x1,x2使得函数f(x)上点(x1,f(x1))与函数g(x)上点(x2,g(x2))处切线相同． 又由y?11?2x得：y???2?2?0 xx1?2x0211??2x0?[?1，+?) 所以y??2x在(0,1)单调递减，因此a=xxx00所以实数a的取值范围是[?1,??)．

22. (1)解：由?sin2??2acos?(a?0)得：(?sin?)2?2a?cos? ∴曲线C的直角坐标方程为：y2?2ax(a > 0)

?2x??2?t??2由?消去参数t得直线l的普通方程为y?x?2 ?y??4?2t??2?2x??2?t??2(2)解：将直线l的参数方程?代入y2?2ax中得： ?y??4?2t??2

t2?22t(4?a)t?8(4?a)?0 6分

设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则有t1?t2?22(4?a)，t1t2?8(4?a) 8分 ∵|PM|?|PN|?|MN|2，∴(t1?t2)2?(t1?t2)2?4t1t2=t1t2 即8(4?a)2?40(4?a)，解得a?1．

23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

解法一：【命题意图】本题旨在考查绝对值不等式的解法、分析法在证明不等式中的应用，考查考生的推理论证能力与运算求解能力。

【解题思路】（1）先确定函数f(x)的最大值，再确定m的取值范围；（2）从要证的结

论发出，一直逆推分析，结合提干信息证明结论的正确性。

??1,x?0,?解：（1）去绝对值符号，可得f(x)??2x?1,0?x?1,

?1,x?1,?所以f(x)max?1。

所以|m?1|?1，解得0?m?2， 所以实数m的取值范围为?0,2?。

22（2）由（1）知，M?2，所以x?y?2。

因为x?0,y?0，

所以要证x?y?2xy，只需证?x?y??4x2y2，

22即证2(xy)?xy?1?0，即证?2xy?1?(xy?1)?0。

因为2xy?1?0，所以只需证xy?1。

22因为2xy?x?y?2，∴xy?1成立，所以x?y?2xy

22+

解法二：x+y=2，x、y∈R，x+y≥2xy 0????2

???x?2sin?(0???) 设：?2??y?2cos?证明：x+y-2xy=2sin??2cos??2?2sin??cos? =2(sin??cos?)?4sin??cos?

令sin??cos??t

?1?2sin?cos??t2，?0????2 ∴1?t?2

2sin?co?s?t2?1 ?原式=2t?2(t2?1)

=?2t2?2t?2 =?2(t2? =?2(t?2t)?2 2229)? 44 当t?2时，ymin??2?2?2?2?0 ?x?y?2xy

论发出，一直逆推分析，结合提干信息证明结论的正确性。

??1,x?0,?解：（1）去绝对值符号，可得f(x)??2x?1,0?x?1,

?1,x?1,?所以f(x)max?1。

所以|m?1|?1，解得0?m?2， 所以实数m的取值范围为?0,2?。

22（2）由（1）知，M?2，所以x?y?2。

因为x?0,y?0，

所以要证x?y?2xy，只需证?x?y??4x2y2，

22即证2(xy)?xy?1?0，即证?2xy?1?(xy?1)?0。

因为2xy?1?0，所以只需证xy?1。

22因为2xy?x?y?2，∴xy?1成立，所以x?y?2xy

22+

解法二：x+y=2，x、y∈R，x+y≥2xy 0????2

???x?2sin?(0???) 设：?2??y?2cos?证明：x+y-2xy=2sin??2cos??2?2sin??cos? =2(sin??cos?)?4sin??cos?

令sin??cos??t

?1?2sin?cos??t2，?0????2 ∴1?t?2

2sin?co?s?t2?1 ?原式=2t?2(t2?1)

=?2t2?2t?2 =?2(t2? =?2(t?2t)?2 2229)? 44 当t?2时，ymin??2?2?2?2?0 ?x?y?2xy

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