江西省南康中学2012届高三数学第四次大考 文 新人教A版

江西省南康中学2011～2012学年度第一学期高三第四次大考

数学（文）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 1、命题“存在x0 R，2

A． 不存在x0 R,2

x0

0”的否定是（ ） 0

x

x0

B． 存在x0 R, 2

x0

0

x

C． 对任意的x R, 2 0 D． 对任意的x R,2 0

2

2、设全集U R，集合M xx 9,N x 1 x 4，则M ð UN等于（ ）

A．xx 3

B．xx 3或x 4

C．xx 4 D． x 3 x 4

(1 i)23、已知复数z ，则z所对应的点位于复平面的（ ）

1 i

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

2

D．第四象限

4、设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x) x 3x，则f( 2) ( ) A． 2

B．0

C．2

D．10

5、 已知等差数列 an 的前n项和为Sn，若S12 21，则a2 a5 a8 a11 （ ）

A．

7

2

B．42

3

C．21 D．7

6、在下列区间中，函数f(x) x-()x 2的零点所在的区间为（ ）

A．（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 7、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得 该几何体的表面积是（ ） A．8 B．12 C．16 D．32

1

2

x y 2

8、设变量x、y满足约束条件 x 2y 5，则目标函数z的最大值为（ ）

x y 2

45 B．2 C．3 D． 32

x2y22

9、已知抛物线y=2px(p>0)的焦点F恰为双曲线2-2=1(a>0,b>0)的右焦

ab

点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为（ ）

A．

A

1

B

C．2

D

2

10、已知f(x) x3 3x m，在 0,2 上任取三个数a,b,c，均存在以f a ,f(b),f(c)为

边的三角形，则实数m的范围是（ ） A． m 2

B．m 4 C．m 6

D．m 8

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.把正确答案填在题中相应的横线上. 11、若cosa=-

3p

，且aÎ(,p)，则tana＝________ 52

12、已知向量a 2,3 ,b 1,2 ，若ma b与b垂直，则实数m等于

13、如图，已知VABC周长为1，连结VABC三边的中点构成第二个三

角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第五个三角形周长为

14、过点A(1,1)恰可作两条直线与圆x+y+kx-2y-围为

15、定义在(0, )上的函数f(x)满足下列两个条件：（1）对任意的x (0, )恒有

2

2

5

k=0相切，则实数k的取值范4

f(2x) 2f(x)成立；（2）当x (1,2]时，f(x) 2 x.如果关于x的方程f(x) k(x 1)恰有三个不同的实数解，那么实数k的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本题满分12分）

已知函数f(x) 2x 2cos2x 1.

⑴求函数f(x)的单调递增区间；

⑵设 ABC的内角A、B、C对边分别为a、b、

c，且c f(C) 3，若2a b，

求a、b的值. 17、（本题满分12分）

已知等差数列{an}的公差大于0，且a3,a5是方程x 14x 45 0的两根. ⑴求数列{an}的通项公式； ⑵令bn an 3

an 1

2，求

2

{bn}的前n项和Sn.

18、（本题满分12分）

某摩托车生产企业，上一年生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x 1)，则出厂价提高的比例为0.75x，同时预计年销售量的比例为0.6x.

⑴求出本年度预计的年利润y（万元）与投入成本增加的比例x的关系式；

［年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量］

⑵为使本年度利润比上一年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 19、（本题满分12分）

如图所示，PA

垂直于矩形ABCD所在平面，AD PA 2,CD E、F分别

是AB、PD的中点.

⑴求证：CD 面PAD； ⑵求证：AF//面PCE；

⑶求三棱锥D-PEC的体积. 20、（本题满分13分）

13x2y2

已知椭圆2 2 1(a b 0)的离心率为，且经过点(1,).

22ab

⑴求椭圆的方程；

⑵椭圆上是否存在两点关于直线l:y x m对称？若存在，求出m的取值范围； 若不存在，说明理由.

21、（本题满分14分）

已知函数f(x)

12

x alnx,g(x) (a 1)x,H(x) f(x) g(x). 2

⑴当a 1时，求函数f(x)的最小值； ⑵当a 0时，求H(x)的单调区间；

⑶假设 , 是函数H(x)的两个极值点， , (1,e](e 2.71828 )， 求证：对任意的x1,x2 [ , ]，不等式|H(x1) H(x2)| 1恒成立.

南康中学2011～2012学年度第一学期高三第四次大考

数学（文）参考答案

一、选择题

题

1

号 答

D

案

二、填空题 11、-10 C

2 B

3 B

4 C

5 D

6 B

7 B

8 C

9 A

451114

] [,2) 12、- 13 14、(-?,4)?(1,0) 15、(-,-16715334

三、解答题

16

、解：⑴f(x) 2x 23分

令

1 cos2x

1 2x cos2x 2 2sin(2x ) 2 26

2

2k 2x

6

2

2k ,k Z

解得

3

k x

6

k

f(x)的递增区间为[

⑵f(C) 2sin(2C

3

k ,

6

k ](k Z) 6分

1) 2 3， sin(2C ) 662

13 5

又 2C (, )， 2C ， C 8分

666663

由a b 2abcosC c可得a b ab 3

2

2

2

2

2

b 2a

解得a 1,b 2 12分

17、解：⑴x2 14x 45 0, x 5或9

公差d 0， a3 5,a5 9 3分

a1 2d 5 a1 1

， ， an 2n 1 6分

a 4d 9d 2 1

⑵bn (2n 1) 3n

Sn 1 21 3 32 5 33 (2n 3) 3n 1 (2n 1) 3n

Sn 1 3 3 3 5 3 (2n 3) (2n 1) 3

2

3

4

n

n 1

2Sn 3 2(32 33 3n) (2n 1) 3n 1 9分

9(1 3n 1)

(2n 1)3n 1 6 (2n 2)3n 1 3 2

1 3

Sn (n 1)3n 1 3 12分

2

18、解：⑴y [1.2(1 0.75x) (1 x)] 1000(1 0.6x) 60x 20x 200(0 x 1) 6分

⑵上一年的利润为(1.2 1) 1000 200万元

由题意知 60x2

20x 200 200 解得 0 x

13

投入成本增加的比例x的范围为(0,1

3

) 12分

19、⑴证明： PA 面ABCD，CD 面ABCD CD PA

又 CD AD,AD,PA 面PAD，AD PA A

CD 面PAD 4分

⑵证明：取PC的中点G，连接FG、EG F、G分别为PD、PC的中点， FG/1

/2

CD

又 AE/ /1

2

CD FG/ /AE

四边形AFGE为平行四边形， AF//EG

又 AF 面PEC，EG 面PEC， AF//面PCE 8分

⑶V111D PEC VP DEC

3S DEC PA 32 2 2

12分 c1

a

2 20、解：⑴易知 12 1() a 2

1 ，解得

22 ab b a2 b2 c

22 椭圆的方程为xy2

4

3

1 5分 ⑵假设椭圆上存在A、B两点关于直线l对称

设直线AB的方程为：y x n,A(x1,y1),B(x2,y2)

y x n

联立 x2y2，可得7x2 8nx 4(n2 3) 0

1 3 4

8n4(n2 3)

x1 x2 ,x2x2 7分

77

64n2 7 16(n2 3) 0 n 8分

x1 x24n3n

,y0 x0 n 277

3n4nn

m, m 12分 P在l上，

777

设AB的中点P(x0,y0)，则x0

m的范围为(

13分 77

121x2 1

21、解：⑴f(x) x lnx(x 0), f (x) x

2xx

易知f(x)在(0,1)上递减，(1, )上递增

f(x)min f(1)

⑵H(x)

1

4分 2

12

x alnx (a 1)x,(x 0) 2

a(x 1)(x a)

H (x) x (a 1) (a 0) 5分

xx

(x 1)2

0在(0, )上恒成立 ①当a 1时，H (x) x

H(x)的增区间为(1, )，无减区间

②当0 a 1时，H(x)的增区间为(0,a),(1, )；减区间为(a,1)

③当a 1时，H(x)的增区间为(0,1),(a, )；减区间为(1,a) 8分 ⑶由⑵分析知a 1, 1, a (1,e]，H(x)在[1,a]上递减

|H(x1) H(x2)| H(x)max H(x)min H(1) H(a)

121a alna 1 22

121

a alna 22

10分

下面证明：当a (1,e]时，

令u(a)

12a2 alna 1

2

, u (a) a lna 1 令v(a) a lna 1,v (a) 1 1a 1

a

a

0 v(a)在(1,e]上递增， v(a) v(1) 0，即u (a) 0在(1,e]恒成立

u(a)在(1,e]上递增.

u(a) u(e) 12e2 elne 111

2 2(e 1)2 1 2

(3 1)2 1 1

综上，对任意的x1,x2 [ , ]，不等式|H(x1) H(x2)| 1恒成立. 14分

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