物理竞赛数学知识 - 微分（导数）

第一讲 极限和导数

本讲提示

本讲义编写的目的是对于高中物理中常用的微积分知识做一个相对体系的介绍，并指导同学在实际的物理情景中应用。讲义在内容上注重讲清数学知识的概念与思维方式，相对于野蛮的“摔公式”教学方法，同学们能一定程度上领略微积分的奇妙与美感。

本节知识提纲

1数列极限：数列极限的定义，数列极限的计算 2函数极限：函数极限的定义，物理中极限的使用

3导数：导数扩展了物理量的定义。掌握导数的几何意义，基本求导公式，求导运算法则

最后我们一贯的反对学习数学只关心数学公式怎么使用的态度，这种情况在喜欢物理的同学中非常普遍，这种心态的学习在物理上一定也是走不远的。本讲义实际讲解的是很不严密的，代替不了真正的数学课，建议有兴趣的同学课后阅读提升对于数学的理解。

知识模块

第一部分 数列极限

知识点睛

先思考这个问题0.9999?和1哪个大？

纯洁而朴素的想法如下：0.9?1，0.99?1，0.999?1，所以无限循环小数0.9999?小于1。然而事实并非如此。令x?0.9999?，则有：

10x?9.9999?

?9 x?0.999相减得到： 9x?9 所以x?1?0.9999?

为了解释这样的事情，我们做如下分析，构造数列an：

an?0.99...9?

n显然数列里面的每一项都是小于1的。但是0.9999?并不在这个数列中。因为数列里面每一项都是有限小数，0.9999?是无限小数。当项数n不断增大的时候an不断靠近0.9999?，却一直不等于0.9999?。我们这样定义数列的极限：

如果存在一个实数p使得：对于任意的实数??0，都存在一个整数n，使得对于任意m?n，

|am?p|??，那么就叫p是数列an的极限，记作p?liman。否则叫数列an没有极限。

n??

可以这样形象地理解这个定义：当n很大的时候，an与p要多靠近就有多靠近；n越大，an与

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p就越靠近。但是并不要求an要等于p。

回到刚才的例子，0.9999?是数列an?0.99...9?的极限。证明如下：

n?n对于任意一个实数??0，总有一个整数n使得??10，则对于m?n，

|am?0.999...|?0.00...099...?0.00...01????。按照极限的定义0.9999?是数列的极限，同理1也

mm?1是数列的极限，二者是相等的。

不加证明的给出几个定理，有兴趣的同学可以自己证明：

[定理] 如果数列存在极限p1和p2，p1?p2

[定理] 如果数列的极限存在，则其无穷子数列极限存在，并于原数列相等。 [定理] 单调有界数列一定存在极限

[定理] [夹逼定理]如果数列an?bn?cn，并且an,cn的极限都是p，则bn的极限也是p [定理] 如果数列的极限存在，那么其子数列极限一定存在并且与原极限相等

注意：数列的极限反映的是数列的变化趋势，是一个数，这个数并不要求在这个数列中出现。 下面给出一些运算时常用的定理：

[定理] 如果两数列分别存在极限p1、p2，则两数列和数列的极限为p1?p2 [定理] 如果两数列分别存在极限p1、p2?0，则两数列商数列的极限为p1/p2

一般在实际计算极限的时候不会真的按照定义证明，而是使用一些现有的结论简化计算。通常计算极限的方法：如果一个数列的极限存在，并且满足一元初等运算的条件（例如根号下面数大于等于0，对数的底数大于0，不等于1），则做一元运算后的极限（如果存在），等于先取数列的极限，然后对极限进行一元运算的结果，例如指数、对数、三角函数；如果两数列分别存在极限，则在满足二元初等运算一般条件的时候，两个数列二元运算后数列记得极限（如果存在）等于两数列取极限然后再做二元运算，例如加法、乘法、除法、乘方等。

如果发现表达式的某些部分不满足以上条件的时候，而整体的极限可能存在，例如形如0/0、无穷/无穷、无穷-无穷，应当设法将发散的其他部分组和，以期望得到可以判定的结果。

例题精讲

【例1】 一尺之棰,日取其半,万世不竭。做出数列an等于第n天的捶的长度。使用极限的定义证明该

数列的极限为0。

[解析] 不失一般性，另a1?1，则an?

1 2n对于任意??0，令n?[?ln2/ln?]?1，方括号代表取整， 则对于任意m?n，有|am?0|?

11???，按照定义，an的极限是0。 mn22

【例2】 说明下列数列是否有极限，如果有极限，极限为多少。

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（1）an?1； an?1n?1a?; ; an?(?1)n； n2nn?4（2）易证明n?1和n分别都不存在极限，它们的差或者商有极限么？

[解析]（1）

1、极限为1 常数列的极限显然是其自己

2、对于任意?，令n?[1/?]?1，则对于任意m?n，|am?0|?an??，按定义an的极限为0 3、同上面一题，易证

1?3?1?(?3)?0?1 的极限是0。这样liman?1?n??n?4n?44、不存在极限。取出n为偶数的子数列，极限为1，n为奇数的子数列极限为-1，二者不等，所以极

限不存在。 (2)0?an?n?1?n11?，易证的极限是0，所以an的极限是0,同理商的极限是1.

n?1?n2n?1n?1

【例3】 把一个篮球从离地面5米高的地方静止释放，假设其受的阻力大小恒定，为重力的一半，篮

球落地后与地面碰撞过程中能量几乎不损失，计算篮球最后的总路程。

【答案】10米

【例4】 证明lim(1?)存在，并且2?lim(1?)?3。（自学）

n??n??1nn1nn实际上这是自然底数的定义式：e?lim(1?)?2.718281828...

n??1nn1n01121n1011?Cn?...?C?C?C?2（当n?2） nnn2nnnnnn1n所以lim(1?)?2；而

n??n[解析] (1?)?Cn?Cn1n(n?1)n(n?1)(n?2)n(n?1)(n?2)...101121n1(1?)n?Cn?Cn?Cn?...?C?2???...?nnnn2nn2!n23!n3n!nn所

111111?2???...??2?1?2?...?n?1?32!3!n!222以lim(1?)?3

n??1nn1nn1n现在把lim(1?)称为自然底数，记做e，通过计算得到e?2.718281828...现已证明e是一个无限

n??n可以证明(1?)是一个递增数列，递增有限数列存在极限。

不循环小数。

【例5】 有一杯纯酒精，上方有一个阀门，能缓缓流入水，并在下方以相同的流量漏出液体，保证杯

子是满的。假设水和酒精混合之后体积不变，并且流速足够慢，以至于每个时刻都可以认为水和酒精混合均匀。问当上方补充的水的体积到达一杯的时候，杯中酒精的浓度。

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[解析] 假设把每次补充1/n的水，放出1/n的液体，这样酒精浓度变为(1?1/n)?1，重复n次之后，酒精浓度为an?(1?1/n)?n。而lim(1?1/n)?e，所以liman?e

n??n??n?1

巩固练习：

练习： 说明下列数列是否有极限，如果有极限，极限为多少。

nn；an?；an?cos(n?)?cos(n?1?)；

2n?2n?2[答案] 不存在；1；0

an?

第二部分 函数极限

知识点睛

有时候我们关心，当函数的自变量趋于某一个位置的时候，函数值的变化趋势。例如观察函数

f(x)?sinx的图像。这个函数在x?0的位置没有定义，但是当x趋于0的时候，函数值平稳的趋x近于1。见下表：

x 1 0.1 0.01 0.001 sin(x)/x 0.84147098 0.99833417 0.99998333 0.99999983

1.10.90.70.50.30.1sin(x)/x-8.6-3.6-0.1-0.31.46.4x

我们用以下的方法描述函数在某一点的渐进性为：

??0内有定义，对于函数f(x)，如果其在区间(x0，x0??)，并且存在p使得，对于任意??0，

存在0????，使得对于任意x?(x0，x0??)，f(x)?p??，那么称f(x)在x0点处存在右极

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限p，记做p?lim?f(x)

x?x0类似的可以定义左极限，p'?lim?f(x)，如果左极限等于右极限，则不区分二者，直接称为函数在x0x?x0存在极限，记做：p?limf(x)。对于连续函数，定义域内极限总是存在的，并且有左极限等于右极

x?x0限，并且就等于其自身在那一点的函数值。数列极限的各种运算法则和定理一般情况下都适用于函数极限的运算。 类似的，可以定义函数在无穷远点的极限：

一个函数在区间x?(A,?)内有定义，A为任意实数，如果存在p使得，对于任意??0，存在B，

使得对于任意x?B，有f(x)?p??，那么称f(x)当x趋于正无穷时有极限p，记为

x???limf(x)?p。类似的可以定义f(x)当x趋于负无穷时有极限p，记为lim?f(x)?p。

x??

有时候当x趋近于某个数，或者x趋向于无穷大时，函数值“要多大有多大”（其实就是把极限定

x?x0义中的f(x)?p??换为f(x)?p??），这时候形象的记做：limf(x)??。读作x?x0时，f(x)1??。这代表f(x)在这一点的极限不存在，并且是以趋向于无穷的方式

x?8x?81不存在。一个极限不存在并不一定意味着它趋于无穷，例如limsin()，这个函数的极限并不存在，

x?0x趋向于无穷。例如lim而且它也不趋向于无穷，而是在-1到1之间来回振荡。

和计算数列的极限一样，实际计算函数极限的时候也不会每次都用极限的定义计算。实际操作的时候会先观察极限存在的情况。有一些基本的函数直接知道极限的情况。例如limx，n?1时趋于无

x??n穷，1?n?0时等于0。然后尽量把函数化成几部分的初等运算，而每一个部分极限都是存在的，并且使部分之间的运算不出现发散。这时候可以先求每一部分的极限，然后再对各部分的极限进行初等运算，得到最后的极限。 极限在物理学中的应用是广泛的。回忆秋季第一讲，瞬时速度、瞬时加速度都是利用极限定义的：

vx(t)?limv(t??t)?vx(t)x(t??t)?x(t)；ax(t)?limx

?t?0?t?0?t?t1s(t)?s0?v0t?at2

2s(t??t)?s(t)v(t)?lim

?t?0?t1v0?t?at?t?a?t22 ?lim?t?0?t1?lim(v0?at?a?t)?v0?at ?t?02同理计算瞬时加速度。

例如对于匀加速直线运动：

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前学圆周运动的时候的结论进行比较。 y ?0 x

[解析] ???t，x?rcos??rcos?t；y?rcos??rcos?t

【例14】 物理受到的合力等于其动量随时间的变化率。以前学的连续体受力问题可以用这样办法处

理。

（09清华自主招生）一质量为m、长为l的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤秤盘接触（如图）．某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数．

vx?x'??r?sin?t；vy?y'?r?cos?t；解释：速度大小?r，沿着切向

ax?vx'??r?2cos?t；ay?vy'??r?2sin?t；解释：加速度大小?2r，沿着法向指向圆心。

【解析】首先分析绳子内部无相无作用（可以通过绳子参照系观察，证明每一点相对地面自由落体）

得到x?12gt；v?gt 2

1L?gt22于是得到绳子整体的动量：p?m(t)v(t)?m?gt L22dp3mgt?mg??mg?N 绳子受力为F?dt2L3mg2t2于是得到支持力为N?

2L2tan?；

1?tan2?

【例15】 证明抛物线一个焦点发出的光线经过抛物面镜面反射后变成平行光。

2已知抛物线方程：y?ax，焦点，tan????

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[解析] 先假设结论正确，验证反射定律即可

对于抛物线上一点(x,ax2)，切线斜率为y'?2ax，所以法线斜率为?所以法线与出射光线夹角正切为tan??2ax

1 2ax1ax2?1/4a12)到(x,ax)直线斜率为?ax?从焦点(0,，则入射光线与出射光线 4ax?04ax1?12?2ax2tan?)???tan2?，反射定律成立。 4ax1?(2ax)21?tan2?第四部分 导数在运动学中的应用

夹角正切为tan??(ax?知识点睛

如果能写出一个物体的位移随时间关系，那么直接求导数就可以得到速度和加速的。

受到几何条件约束的物体，各个参数要满足几何条件带来的约束方程。这种情境下各参数的变化率也会满足约束关系。我们之前总结了几种常见模型：接触、滚动、一根杆上两点，并给出了这些模型中的速度和加速度的约束关系。实质上速度约束关系是由位移约束关系求导得到的，加速度约束关系是由速度约束关系求导数得到的。在处理实际问题的时候，直接写我们总结的模型中的速度加速度约束关系和写出位移约束关系然后求导数是完全等价的。如果模型比较复杂，或者拿不准用哪个模型，可以考虑用后一种方法来做。

【例16】 如图一根杆以速度v匀速向下运动，通过一个静止的半径为r圆。求杆和圆的右边交点的速

度和加速度。（交点与圆心连线位置为?）

[解析] 首先用以前的速度、加速关联求解一遍。

?

用求导办法解决这类问题通常先选一个方便的变量例如?，用来?和?的导数v 描述其他所有变量。

以圆心为原点建立平面直角坐标系。交点的坐标纵坐标为y?r?vt。

r?vtd?vd?v??；?；?sin?

rdtrdtsin?r交点的横坐标纵坐标为：x?rsin? dxd?dy?rcos??vcot?；??v；即求出了速度 dtdtdtddyddxdcot?d?1vv2?0 ?v?v2?；3dtdtd?dtsin?rsin?rsin?dtdt有y?rcos?；cos??

【例17】 如图一长度为l杆铰接在O点，第二根杆长度也为l，铰接在第一根杆末端的A点，第二根

杆搭在墙壁上。如图两根杆位型如图所示。OA以角速度?顺时针匀速转动。问墙上B点的速度。

【解析】 首先用以前的速度、加速关联求解一遍。 B A ? O ? d?d?d????，所以需要把用表示。 dtdtdtB点纵坐标为y?lsin??lsin?

B点横坐标为x?lcos??lcos?

按题意

约束条件是墙不能动，所以

dxd?d?d?sin???lsin??lsin??0；??? dtdtdtdtsin? 高一·物理·竞赛班·第1讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

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于是B点速度

dyd?d?cos??lcos??lcos???l(?cos??sin?) dtdtdtsin?（取向上为正）

巩固练习

1.（清华自主2011）一根水平杆固定，另一根杆以均匀角速度?绕着与第一根杆距离为D的点顺时针

旋转。问交点加速度。

[解析]交点横坐标x?Dcot?，按定义

d???? dt? D

则v?dx?Dd?D??? dtsin2?dtsin2?dvcos?d?cos?D?2a???2?D3?2 3dtsin?dtsin?2.写出斜抛运动的运动方程，通过求导得到速度和加速度随时间关系。

（选做）证明椭圆一个焦点发出的光线经过椭圆圆周反射后会到达另一个焦点。

x2y2椭圆方程：2?2?1；焦点：(?a2?b2,0)

ab

学而思快讯

日前，高校自主招生考试已经落下帷幕。物理方面，据不完全统计，学而思命中华约北约原题4道，其中华约2题，北约2题。此4题全是出现在学而思自主招生讲义中的原题。同时学而思物理竞赛班高一高二的讲义完全覆盖华约北约原题。各位竞赛班的“小妖怪”们，发达了~

你知道吗?

微积分诞生

极限的产生

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有

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比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 微积分产生

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。 莱布尼茨

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 微积分学的创立的意义

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往

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往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。

不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。

直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西…… 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

课后调查

代课教师：

通过今天学习，你觉得： 1. 本讲讲义内容设置： A． 太难太多，吃不透

B． 难度稍大，个别问题需要下去继续思考 C． 稍易，较轻松

D． 太容易，来点给力的

2. 本节课老师讲解你明白了： A .40%以下 B .40%到80%

C .80%以上但不全懂 D .自以为都懂了

3．有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）

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