量子力学练习题

一. 填空题

1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。

2．按照德布罗意公式 ，质量为?1,?2的两粒子，若德布罗意波长同为?，则它们的动量比p1:p2= 1:1；能量比E1：E2= 。

3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=

32kT（k为

玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度Tmax= 。

4．阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a，质量仍为?，则第n个能级的能

2an?xa量En= ，相应的波函数?n(x)??和 。

n?sin?0?x?a?5．处于态?311的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z分量的值分别为E=

13.632eV??1.51eV；L= ；Lz=?，轨道磁矩Mz= 。

6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为?k(q)，当它们是玻色子时波函数为

?s(q1,q2)= ；玻色体系

为费米子时

?A(q1,q2)? ；费米体系

7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是

En=En?0????Hmn?0?n?m?n?Hmn22?E00n?Em??，

?0?m0??n(x) = ?其中微扰矩阵元

Hmn=??'??m?n?Hmn?E0n?Em????，

?0?m???H?0?nd?；

而

H'nn表示的物理意义是 。该方法的适用条件是

本征值， 。

8．在S2和S2的共同表象中，泡利矩阵的表示式为??yx? ，

? ，?z? 。

9．玻磁子MB与电子质量?、电荷e、光速c普朗克常数h的联系是MB= ；数值为MB= 。 11．普朗克常数h的数值为 单位是 。 12．德布罗意关系式为E= 和p? 。

13．被V伏电位差加速后，自由电子德布罗意波长的计算公式为?? ，当V=150伏时?? 。 14．薛定谔（Schr?dinger）方程为 ，定态薛定谔方程为 ，定态波函数为 。

?15．几率流密度矢量J? ，几率守恒定律的公式是 。

16．量子力学中表示力学量的算符是 ，它们的本征函数组成 。

?????17．若两个力学量A、B的对易关系式为[A、B]=ik，则测不准关系的严格表示为 。

18．波恩对波函数的统计解释（量子力学的基本原理之一）是： 。

19．波函数的标准条件是： 。

20．两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子能量相等，问要实现这个条件，光子的波长最大是 。

21、单粒子Schrodinger方程是 。 22、量子力学中的波函数的正统诠释是 。

23、设一电子为电势差V所加速，最后打在靶子上。若电子的动能完全转化为一个光子，

0?加速电子所需的电势差的表达式为 这光子相应的光波波长为5000A的可见光时，加速电势差V= 伏特。

25、量子力学中的本征值问题是 。 29、Planck的量子假说揭示了微观粒子能量的 特性，Einstein的光量子假说揭示

了光的 性，Bohr的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解决了 的起源问题。

30、力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。对一个量子体系进行某一力学量的测量值肯定是该力学量的 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于该力学量的某一 。测量结果的不确定性来源于 。两个力学量同时具有确定值的条件是两个力学量算符

。

32、在量子力学中，体系的量子态用Hilbert空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。当对体系进行某一力学量的测验时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。

33、在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确定值，只决定与体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否是守恒量。

35、定态波函数是 。

36、力学量的平均值公式是 ， ， 。 37、含时Schrodinger方程； 。

单粒子定态Schrodinger方程 。 38．对全同性原理回答下列问题。

① 全同性原理的表述是： 。

② 全同性原理对全同粒子体系波函数要求是： 。 ③全同性原理与泡利原理的关系 。 39、计算粒子的德布罗意波的波长用公式()计算.

能量为0.1电子伏，质量为1克的质子；德布罗意波的波长?= 。 温度T=1K时，具有动能E?32KT（k为玻尔兹曼常数）的氦原子德布罗意波的波长

?= 。

ikx

40、自由粒子平面波函数ψ(x)=ce的动量不确定度Δp= ，坐标不确定度Δx

= 。

41、波函数ψ(x)=coskx是否自由粒子的能量本征态？答： 。如果是，能量本征值是 。该波函数是否动量本征态？答： ，因为 。

??42、设A,B是两个互为不对易的厄米算符。在下列算符

???????（1）AB ; （2）AB-BA （3）A （4）AB+BA 中，算符 和 的本征值必为实数。

44、设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E1 和E2，相应的本征矢量为 ｜n1 > 和 ｜n12 > 。则在能量表象中，体系Hamilton量的矩阵表示是 ，体系的可能状态是 ，在各可能状态下，能量的可能测值是 ，相应的几率是 。 45、按照德布罗意公式 ；质量为?1,?2两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p1:p2= ；能量比E1：E2= ；若粒子速度为V=0.9c,照相对论公式计算，其德布罗波长?= 。

46、阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩

小） 倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a，质量仍为?，则第n个

能级的能量 En= ；相应的波函数?n(x)= 。

'2

????47、两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为?k(q)，当它们是玻色子时波函数为

?s(q1,q2)= ，为费色子时?A(q1,q2)= 。

48、微观粒子的能量E和动量P与相联系的波的频率?和波长?的关系是 。

49、与自由粒子相联系的波是 ，并写出表达式?＝ 。

?表示力学量F，那么当体系处于F?的本征态时，力学量有 ，这个值50、如果算符F?在本征态中的 。 就是F答案

1．量子力学的最早创始人是 普朗克 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 能量量子化 假设，解决了黑体辐射 的问题。 2．按照德布罗意公式??h?,p?h?，质量为?1,?2的两粒子，若德布罗意波长同

为?，则它们的动量比p1:p2= 1:1 。

3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=

32kT（k为

玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度1?h??2Tmax=???10K。

3?k???24．阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩小） 缩小1倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a，质量仍为?，则第n个能级的能

量

En=

2an??/2?a2222n?1,2,3?，相应的波函数

?n(x)??n?sn?xina?0?x?a?和?n?0?x?0,x?a?。

5．处于态?311的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z分量的值分别为E=

13.632eV??1.51eV；L=2?；Lz=?，轨道磁矩Mz=MB。

6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为?k(q)，当它们是玻色子时波函数为

?s(q1,q2)=

12??k1?q1??k2?q2???k1?q2??k2?q1??玻色体系；

为费米子时

?A(q1,q2)? 12??k1?q1??k2?q2???k1?q2??k2?q1??费米体系

7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是

En=En?0????Hmn?m?n?Hmn2?E0n?Em??，

0??n(x) = ?其中微扰矩阵元

'?0?n??m?n?Hmn?0?n2?E0n?Em?0??0?m??，

Hmn=???0?m???Hd?；

而

'Hmn表示的物理意义是 在未受微扰体系中，H?的平均值 。该方法的适??0?的本征值， E?0? 非简并，H?很小。 用条件是 定态、Hn8．在S和S2的共同表象中，泡利矩阵的表示式为??y2

x? ，? ，?z? 。

?x?01????10?????y?0???i??i??0???z?10????0?1?? ??9．玻磁子MB与电子质量?、电荷e、光速c普朗克常数h的联系是MB= ；数值为MB= 。

MB?e?2?c,MB?9.27?10?27J?T?1。

11. 6.6255（9）×10-34 焦耳.秒

?h??12. E=???h? p??k?n。

?

13. ??12.25?A ?? 1A vih???t???2????u(r,t)?i?214.

， ??2????u(r)??E?2，

?(r,t)??(r)e?Et。

?i?15． J?[???2?*????]，

*???t????j?0。

16． 线性厄密算符 ， 完全系

2?2?2k17．(?A)?(?B)?

418． 波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例 。 19．有限性、连续性、单值性 。 20．0.024A 。

??2????2??????Vr??r,t? 21、单粒子Schrodinger方程i???r,t??????t?2m??

22、量子力学中的波函数的正统诠释是?2???*表示时刻t在r处发现离子的概率密度。 ?23、设一电子为电势差V所加速，最后打在靶子上。若电子的动能完全转化为一个光子，加速电子所需的电势差的表达式为V=

hve?ch?e这光子相应的光波波长为5000A的可见光

0时，加速电势差V=V?3?10?6.6?105?10?510?27?11.6?101A伏特?2.475伏特

3212024、用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗波长，若电子的能量E=kT(k为

玻尔兹曼常数)，要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度Tmax=Ｔm＝?２?2（）??10k ３mk?１?u??u；un、λn分25、量子力学中的本征值问题是(力学量用算符表示。本征值方程 Fnnn?的本证态矢和本征值，利用边界条件求解un、λn， 别为F29、Planck的量子假说揭示了微观粒子能量的 量子化 特性，Einstein的光量子

假说揭示了光的粒子 性，Bohr的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 稳定性

之间的矛盾，解决了 原子线光谱 的起源问题。

30、力学量算符必须是 厄米 算符，以保证它的本征值为 实数 。对一个量子体系进行某一力学量的测量值肯定是 该力学量的本征值 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于该力学量的某一 本征态 。测量结果的

不确定性来源于 态的叠加 。两个力学量同时具有确定值的条件是两个力学量算符 对易

。

32、矢量，算符，厄米，本征值，态的叠加

33、力学量，Hamilton量，状态，本征态

35、定态波函数是 当哈密顿量不含时间，薛定谔方程仅为定态薛定谔方程，则它的解为定态波函数，其特点是概率分布不随时间而改变 。 36、力学量的平均值公式是Q???*?r?Q?r,??????，??r?dr3?i??CnQn，

2?u?Qu。 Cn???,un?，Qnnn??2????2??????Vr37、含时Schrodinger方程； i???r,t????2m???r,t?。 ?t???单粒子定态Schrodinger方程 38．对全同性原理回答下列问题。

????2m2????V(r)??(r?)?2?E???r。

① 全同性原理的表述是： 全同粒子体系中任意交换两粒子，体系的状态不变， ② 全同性原理对全同粒子体系波函数要求是： 波函数只能是对称或反对称波函数，而粒子体系只能是玻色子或费米子体系。

③全同性原理与泡利原理的关系 泡利原理是全同性原理在费米子体系的具体体现，是全同性原理和波函数统计解释的必然结果。 39、计算粒子的德布罗意波的波长用公式??12me1V?12.5V0A计算.

能量为0.1电子伏，质量为1克的质子；德布罗意波的波长 ?= 6.6?10-27-13?1.17?10?12oA

2?1?1.6?10温度T=1K时，具有动能E??= 2?7.?232KT（k为玻尔兹曼常数）的氦原子德布罗意波的波长

o6.6?1010??272?.07?16?12.6A；

1040、 0， ∞

hk2m2241．是，,否，coskx=

12(eikx+e-ikx) ,可见，它是两个动量本征态eikx

和e-ikx的叠加态

42.

?2,?A?BA+??B A43. ψ(r?)=

12{eik·r-e-ik·r+[f(q)-f(p-q)]e-ikr/r},s(q)=|f(q)-f(p-q)|2

；

45、（1）??h?,p?h? ；（2）、1：1； （3）?2：?1；（4）c?2??c204〈 ?p246（1）缩小1倍；（2）En?n??当x〈0；x 〉a时：??0。

12122222?a2；（3）、当 0〈 x〈a时??2aSinn?ax；

47、 （1）?s???k1(q1)?k2(q2)??k1(q2)?k2(q1)（玻色子） ；

?（2）?A???k1。 (q1)?k2(q2)??k1(q2)?k2(q1)（费米子）

??48、微观粒子的能量E和动量P与相联系的波的频率?和波长?的关系是

E?h????,??h?P??n??k

?i49、与自由粒子相联系的波是 平面波 ，并写出表达式?＝Ae???(p?r?Et)。

?表示力学量F，那么当体系处于F?的本征态时，力学量有 确定值 ，50、如果算符F?在本征态中的 本征值 。 这个值就是F

二. 证明题:

1.证明基本的对易关系。 2． 求证：?1?y?iz,?为?的本征态。 证明: 因为

???????x), l?z??i?(xl?x??i?(y?z),l?y??i?(z?y) ?x?z?z?y?y?x2?z?ix,?3?,L?, L? 的本征值?x?iy,分别为角动量算符Lyzx因此，l?x?1??i?(y??z?z??y)(y?iz)?i?z??y??(y?iz)???1

可见，?1是lx的本征值为?的本征态。 ?????;L????? 同理可证明， Ly22z333. 证明厄密算符的本征值必为实数。

4. 证明厄密算符属于不同本征值的两个本征函数，彼此正交。 三．思考

1、什么是力学量的完全集？它有何特征？

2、何谓定态? 它有何特征？

3. 何谓玻色子和费密子？描写它们波函数怎样？

4. 几率波有哪些重要性质？经典波与几率波的根本区别是什么？ 5. 为什么薛定谔方程必须是线性方程？ 6. 薛定谔方程应满足什么条件？

7. 什么叫算符？量子力学的算符有何性质？

8. 量子力学中为什么要引进算符来表示力学量？

9. 证明在任何状态下，厄密算符的平均值都是实数，其定理也成立。 10. 什么叫本征态，什么叫任意态？本征态与任意态有何区别？

11. 什么叫完全系？如何计算测量结果几率？由几率由平均值的规则怎样？

12. 量子力学中“力学量用算符来表达的含义”是什么？

13. 什么叫力学量完全集合？在什么情况下两力学同时具有确定值？

14. 什么叫表象？什么叫量子态？同一量子态在不同表象中之间的关系怎样？ 15. 量子力学的基本假定有哪些？ 16. 测不准关系，举例说明？ 17. 单粒子Schrodinger方程? 18.本征值问题?

19.概率流守恒定律? 20.波函数的正统诠释? 21.基本对易关系?

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