山东省高密市2015届高三4月月考高 三 数 学（理）

山东省高密市2015届高三4月月考高 三 数 学（理）

本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．

第Ⅰ卷 （选择题，共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上．

一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数

7?i对应的点的坐标为 3?4i1717,?1) D. (,?1) 2552A.(1,?1) B. (?1,1) C. (2．已知全集为R，集合A?x2?1,B?xx?3x?2?0，则AA. xx?0 B. x1?x?2

?x???CRB?

??C. ?x0?x?1或x?2?

12x?2?? D. ?x0?x?1或x?2?

3．函数y?x3与y?()图形的交点为(a,b)，则a所在区间是

A．（0，1） B．（1，2 ） C．（2，3 ） D．（3，4） 4. 已知具有线性相关的两个变量x,y之间的一组数据如下：

x y

0 2.2 1 4.3 2 4.5 3 4.8 4 6.7 且回归方程是y?0.95x?a,则当x?6时,y的预测值为 A．8.4 B．8.3 C．8.2

D．8.1

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 48 B.

32 3C.16 D. 32 6．将函数y?3sin(2x?所得图象对应的函数 A．在区间[?3)的图象向右平移

?个单位长度， 2?7?1212,]上单调递减 B．在区间[?7?1212,]上单调递增

C．在区间[???,]上单调递减 D．在区间[?,]上单调递增 6363??7. 函数f?x??cos??x?的图象大致是 2x

1

8．下列说法正确的是 ．．

A．“p?q为真”是“p?q为真”的充分不必要条件

B．若数据x1,x2,x3，?，xn的方差为1，则2x1,2x2,2x3,???,2xn的方差为2

61”发生的概率为 222D．已知随机变量X服从正态分布N?2,??，且P?X?4??0.84，则P?X?0??0.16

C．在区间[0,?]上随机取一个数x，则事件“sinx?cosx?9．从6名同学中选4人分别到A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D城市游览，则不同的选择方案共有 A．96种

B．144种

C．240种

D．300种

10.已知O为坐标原点，向量OA?(1,0),.若平面区域D由所有满足OB??(1,2)OC??OA??OB(?2???2,?1???1)的点C组成，则能够把区域D的周长和面

积同时分为相等的两部分的曲线是 A．y?1nx5?x1 B. y?

x5?x?x

C．y?e?e?1 D． y?x?cosx

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；

2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用中性笔答在答题卡指定的位置上．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．

11．设P是圆(x?3)?(y?1)?4上的动点,Q是直线x??3上的动点,则PQ的最小值为_______.

12．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是______. 13．正偶数列有一个有趣的现象： ①2+4=6； ②8+10 +12=14+16； ③18+20+22+24=26+28+30，… 按照这样的规律，则2016在第 个等式中．

22

2

?x?y?2?0?14．设z?kx?y,其中实数x,y满足?x?2y?4?0,若z的最大值

?2x?y?4?0?为12,则实数k?________.

15. 已知M是x2?8y的对称轴与准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足PM?mPN，当m取得最大值时，点P恰在以M、N为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为_______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

已知a?b,c?3， cosA-cosB?3sinAcosA-3sinBcosB. （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若sinA?224，求?ABC的面积. 517．（本题满分12分）

甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250， C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：

概率人甲乙车型A 51B p14C q34

若甲、乙都选C类车型的概率为

3. 10（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率； （Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表： 车型 补贴金额（万元/辆） A 3 B 4 C 5 记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列和数学期望． ． 18．（本小题满分12分）

在如右图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB?2BC，

?ABC?60?，AC?FB．

（Ⅰ）求证：AC?平面FBC；

（Ⅱ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．

19.（本小题满分12分）

已知数列?an?是公差不为零的等差数列，a1?2，且a2,a4,a8成等比数列. （Ⅰ）求数列?an?的通项；

（Ⅱ）设bn???1?an是等比数列，且b2?7,b5?71，求数列?bn?的前n项和Tn.

3

?n?

20．（本题满分13分）

2x2y2已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）的焦距为2，且过点（1，），右焦点

ab2为F2．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为?中垂线交椭圆C于P，Q两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求F2P?F2Q的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?lnx?mx,g(x)?（Ⅰ）当m?21，线段AB的212mx?x,m?R,令F(x)?f(x)?g(x). 21时，求函数f(x)的单调递增区间； 2（Ⅱ）若关于x的不等式F(x)?mx?1恒成立，求整数．．m的最小值； （Ⅲ）若m??2，正实数x1,x2满足F(x1)?F(x2)?x1x2?0，证明：x1?x2?5?1. 2

4

数学（文）参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共50分） ACBBB CAADD

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．(x?2)2?y2?10 12．4 13．31 14．2 15．4(2?1) 三、解答题：16．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)

f(x)?3sinxcosx?cos2x?131?sin2x?cos2x?1 222?sin(2x?)?1 ????????????????????3分

6∴ f(x)的最小值为?2，最小正周期为?. ????????????5分

（Ⅱ）∵ f(C)?sin(2C??)?1?0， 即sin(2C?)?1

66??11????∵ 0?C??，??2C??，∴ 2C??，∴ C?． ??7分

366662∵ m与n共线，∴ sinB?2sinA?0．

ab?由正弦定理 ， 得b?2a, ①?????????????9分 sinAsinB∵ c?3，由余弦定理，得9?a?b?2abcos解方程组①②，得?22???3， ②????????10分

?a?3． ????????????????12分

?b?2317．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为

20?20?203?． ??????3分

140730?20?14?5． ?????6分 （Ⅱ）（ⅰ）依题意n?140（ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A，B，C；

5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M，N． “从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种： AB，AC ，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．

“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种： AM，AN，BM，BN，CM，CN．

设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D，

则P(D)?63?． 1053．????12分 5答：选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为

18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）

矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB?AB, ∴CB?平面ABEF，

C 5

P D O B M E

又AF?平面ABEF，所以CB?AF , -----2分

又AB?2，AF?1，?BAF?60，由余弦定理知BF?3，

222∴AF?BF?AB得AF?BF ----------------------4分

AFCB?B∴AF⊥平面CFB， -----------------5分 AF?平面AFC；∴平面ADF?平面CBF； ------------6分

（Ⅱ）连结OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，

∴PH∥CF，又∵AF?平面AFC，∴PH∥平面AFC -------------------8分 连结PO，则PO∥AC，AC?平面AFC，PO∥平面AFC -----------------10分

POPO1?P∴平面POO1∥平面AFC， ----------------11分

PM?平面POH， 所以PM//平面AFC． ------------12分

19．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，因为cn?(?1)nSn 所以T20??S1?S2?S3?S4?则a2?a4?a6??S20?330

?a20?330，………………………………3分 10?9?2d?330， 则10(3?d)?2解得d?3，

所以an?3?3(n?1)?3n． ……………………6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知bn?2(a?2)3n?2?2n?1

bn?1?bn?2(a?2)3n?1?2n?[2(a?2)3n?2?2n?1]?4(a?2)3n?2?2n?1

12?4?3n?2[(a?2)?()n?2]，

2312n?212n?2由bn?1?bn?(a?2)?()?0?a?2?() ， ………………10分

232312n?212n?25因为2?()随着n的增大而增大，所以n?1时，2?()最小值为

423235所以a?．………………………………………………………………12分

420．（本小题满分13分）

（Ⅰ）由于抛物线y?4x 的焦点坐标为(1,0)，所以c?1，

因此a2?b2?1， ????????2分

ab221xy?因为原点到直线AB：??1的距离为d?， 227aba?b解得：a2?4,b2?3，????????4分

x2y2所以椭圆C的方程为??1．????????5分

432

6

?y?kx?m?（Ⅱ）由?x2y2，得方程(4k2?3)x2?8kmx?4m2?12?0，（?）?????6分

?1??3?4由直线与椭圆相切得m?0且??64k2m2?4(4k2?3)(4m2?12)?0， 整理得：4k2?m2?3?0，????????8分

将4k2?3?m2,m2?3?4k2代入（?）式得

m2x2?8kmx?16k2?0，即(mx?4k)2?0，解得x??4k， m4k3,)，????????10分 mm334k?m又F1(1,0)，所以kPF1?m??，所以kF1Q?，

4k4k?m3??1m4k?m所以直线F1Q方程为y?(x?1)，????????11分

3y?kx?m??联立方程组?，得x?4， 4k?my?(x?1)?3?所以点Q在定直线x?4上．????????13分 21．（本小题满分14分） 所以P(?解：（Ⅰ）f?(x)?ex?a,f(1)?e?a.

y?f(x)在x?1处的切线斜率为f?(1)?e?a， ?????????1分

e?)ax?y?0∴切线l的方程为y?(e?a)?(e?a)(x?1)，即(又切线l与点(1,0)距离为

.???????3分

(e?a)?1?(?1)?0?022?,所以，

2222(e?a)?(?1)解之得，a??e?1,或a??e?1. ???????5分 （Ⅱ）∵对于任意实数x?0,f(x)?0恒成立，

∴若x?0，则a为任意实数时，f(x)?ex?0恒成立； ????????6分

ex若x?0,f(x)?e?ax?0恒成立，即a??，在x?0上恒成立，????7分

xexxex?ex(1?x)?ex? 设Q(x)??,则Q?(x)??, ????????8分 22xxx 当x?(0,1)时，Q?(x)?0，则Q(x)在(0,1)上单调递增； 当x?(1,??)时，Q?(x)?0，则Q(x)在(1,??)上单调递减；

所以当x?1时，Q(x)取得最大值，Q(x)max?Q(1)??e， ??????9分 所以a的取值范围为(?e,??).

综上，对于任意实数x?0,f(x)?0恒成立的实数a的取值范围为(?e,??). ?10分

xx（Ⅲ）依题意,M(x)?elnx?e?x，

xex1?exlnx?ex?1?(?lnx?1)?ex?1, ??????11分 所以M?(x)?xx111x?1 设h(x)??lnx?1,则h?(x)??2??2,当x??1,e?,h?(x)?0,

xxxx 故h(x)在?1,e?上单调增函数,因此h(x)在?1,e?上的最小值为h(1)?0，

7

1?lnx?1?h(1)?0， ??????12分 x1x 又ex?0,所以在[1,e]上，M?(x)?(?lnx?1)?e?1?0，

x 即M(x)?g(x)?f(x)在[1,e]上不存在极值. ??????14分

即h(x)?

8

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