【数学】广东各地2012年前高考数学联考试题分类汇编(9)圆锥曲线

广东各地联考试题精选

广东省各地市2010年高考数学最新联考试题（3月-6月）分类汇编

第9部分:圆锥曲线

一、选择题: （2）（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）设过点P x,y 的直线分别与

点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，

若 2，且OQ AB 1，则P点的轨迹方程是（ A ） A.

323

x 3y2 1 x 0,y 0 B. x2 3y2 1 x 0,y 0 22

323222

C. 3x y 1 x 0,y 0 D. 3x y 1 x 0,y 0

22

8．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)若双曲线过点(m，n)(m n 0)，且渐近线方程为y x，则双曲线的焦点( A )

A．在x轴上

二、填空题:

B．在y轴上

D．无法判断是否在坐标轴上

C．在x轴或y轴上

11. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）若抛物线y2 2px的焦点与双曲线

x2y2

1的右焦点重合，则p的值为． 63

【答案】6

x2y2

1的右焦点F（3,0）是抛物线y2 2px的焦点，所以，【解析】双曲线

63

p

3,p 6. 2

x2y2

1上一点P到右焦点的距10．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）双曲线

169

离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为 ． 【答案】13

【解析】由a 4,b 3,得c 5设左焦点为F1，右焦点为F2,则

|PF2|

1

(a c c a) c 5， 2

由双曲线的定义得：|PF1| 2a |PF2| 8 5 13.

x2y212．（2010年广东省揭阳市高考一模试题文科）椭圆 1(m 7)上一点P到右焦点

m7

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的距离是长轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点的坐标为 .

【答案】

、(0,.

【解析】设椭圆的右焦点F(c,0)，长轴端点分别为( a,0)、(a,0)则

|PF|

1

(a c a c) a，故点P

为椭圆的短轴端点，即

、(0,. 2

x2y2

1的右焦11．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)若双曲线

m3

点与抛物线y2 12x的焦点重合，则m

三、解答题 20．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）（本小题满分14分）

已知点F 0,1 ，直线l：y 1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足

为Q，且QP QF FP FQ．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知圆M过定点D 0,2 ，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B

两点，设DA l1，DB l2，求

l1l2

的最大值． l2l1

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

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由①、②解得，x a 2． 不妨设A a 2,0 ，B a 2,0 ， ∴

l1

l2

．

l1l2l12 l222∴

l2l1l1l2

③ l1l2

l2l1 当a

0时，由③得，

当且仅当a 当a 0时，由③得，

l1l2

2．

l2l1

故当a l1l2

的最大值为 l

2l1

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19．（2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题）（本小题满分14分）

已知动点P

到定点F

的距离与点P到定直线l

：x

． 2

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若EM FN 0，

求MN的最小值．

19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设点P x,y ，

x2y2

1． 整理，得42

x2y2

1． 所以动点P的轨迹C的方程为42

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19. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）（本小题满分14分） 已知点P是⊙O：

2

x y 9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D,动点Q满足DQ DP。

3

2

2

（1）求动点Q的轨迹方程；

（2）已知点E(1,1)，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使

1

OE (OM ON) (O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方程，若不存在，

2

请说明理由。

19、解：（1）设P(x0,y0),Q x,y ，依题意，则点D的坐标为D(x0,0) …………1分

∴DQ (x x0,y),DP (0,y0) ………………………2分 x x0 0 x0 x 2

DP又 DQ ∴ 即 23 ………………………4分 3y y0

y0 2y3

x2y2

1 …………………5分 ∵ P在⊙O上，故x0 y0 9 ∴ 94

2

2

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x2y2

1 ………………………6分 ∴ 点Q的轨迹方程为94

x2y2

1上存在两个不重合的两点M(x1,y1),N x2,y2 满足 （2）假设椭圆94

x1 x2

1 1 x1 x2 2 2

OE (OM ON)，则E(1,1)是线段MN的中点，且有 即 …9分

y yy y 2222 1 1 1 2

x2y2

1上 又 M(x1,y1),N x2,y2 在椭圆94

x12y12

1 x x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 94

∴ 两式相减，得 1……12

2294 x2 y2 1 4 9

分 ∴ kMN

y1 y24

∴ 直线MN的方程为 4x 9y 13 0

x1 x29

1

∴ 椭圆上存在点M、N满足OE (OM ON)，此时直线MN的方程为

2

4x 9y 13 0 …………………………14分

20. （广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）（本小题满分14分）

x2y2

设F1、F2分别是椭圆C：2 2 1(a b 0)的左右焦点。

ab到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐（1）设椭圆C

上点标；

（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；

（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线

PM ，PN 的斜率都存在，并记为kPM，kPN ，试探究kPM KPN的值是否与点P

及直线L有关，不必证明你的结论。

解：（1

）由于点2

2

1b2

得2a=4, …………2分

x2y2

1椭圆C的方程为 43

，焦点坐标分别为( 1,0),(1,0) ……4分

（2）设KF1的中点为B（x, y）则点K(2x 1,2y) ………………………5分

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x2y2

1把K的坐标代入椭圆43(2x 1)2(2y)2

1中得

43

……………7分

12y2

1线段KF1的中点B的轨迹方程为 (x ) 2

4

设M(x0,y0)N( x0, y0),

………………………8分

（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称

p(x,y),

x02y02x2y2

M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得2 2 12 2 1 ……10分

abab

b2y y0y y0y2 y02

= 2 ……………………………13分 kPM KPN=

ax x0x x0x2 x02

故：kPM KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关， ………………14分

19．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）（本题满分14分）

x2y2

1(4 b 0).P为椭圆上的动点, 已知如图，椭圆方程为

16b2

F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角 平分线的垂线F1M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．

（1）求M点的轨迹T的方程；

（2）已知O(0,0)、E(2,1)，试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S OEQ 2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

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∴符合条件的点均在直线l1、l2上.------------------------------------7分 ∵kOE

111

∴直线l1、l2的方程分别为：y (x 4)、y (x 4)-------------8分 222

2

2

设点Q(x,y) （x,y Z ）∵Q在轨迹T内，∴x y 16-----------------------------9分

x2 y2 16 x2 y2 16 分别解 与 11

y (x 4) y (x 4) 2 2

22

与 2 x 4 --------------------------------------------------------11分 55

2

∵x,y Z∴x为偶数，在( 4,2)上x 2,,0,2对应的y 1,2,3

5

2

在( 2,4)上x 2,0,2，对应的y 3, 2, 1--------------------------------------13分

5

得 4 x 2

∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：

( 2,1),(0,2),(2,3),( 2, 3),(0, 2),(2, 1)．-----------------------------------------------------14分

（20）（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）（本小题满分14分）

已知在平面直角坐标系xoy中，向量 (0,1), OFP的面积为23，且

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OF FP t,OM j .

（I

）设4 t 求向量OF与FP 的夹角 的取值范围；

（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且

|| c,t (3 1)c2,当||取最小值时，求椭圆的方程.

20 解：（1）由2 1|OF| |FP| sin ,得|OF| |FP| 4,由cos tsin ，

2

sin

4

得tan 4.…………………………………………………………………3分

t

4 t 4 1 tan [0, ] ∴夹角 的取值范围是（

,） 43

………………………………………………………………6分

（2）设P(x0,y0),则FP(x0 c,y0),OF (c,0).

OF FP (x0 c,y0) (c,0) (x0 c)c t 1)c2 1 S OFP |OF| |y0| y0 2 x0

…………………………………………………………………………………………8分

|OP| 10分

∴当且仅当3c

4,即c 2时,||取最小值26,此时, (23, 23) c

3

(2,23) (0,1) (2,3) 33

或OM (2, 23) (0,1) (2, 1) …………12分 椭圆长轴

2a (2 2)2 (3 0)2 (2 2)2 (3 0)2 8

a 4,b2 12

或2a (2 2)2 ( 1 0)2 (2 2)2 ( 1 0)2 1 a

1 21 ,b

22

x2y2

1.或x2 y2 1 …………14分 故所求椭圆方程为

16129 1 2

2

19. （广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）（本题满分

14

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分）如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中

点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设λ，求λ的取值范围.

DM

=DN

19、(本小题满分14分)

解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系， ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222 12 2＞|AB|=4. ∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=,c=2,b=1.

x22

∴曲线C的方程为+y=1.

5

(2)设直线l的方程为y=kx+2, x22

代入+y=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.

5

Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞

DMx13

.由图可知=λ DNx52

20k

x x 122 1 5k由韦达定理得

15 x x

12 1 5k2

将x1=λx2代入得 400k222

(1 )x2 (1 5k2)2

x2 15

2 1 5k2

(1 )2400k280两式相除得 2 15(1 5k)3(5 )

k2

315120

k2 , 0 2 , 5 2 ,即4

53kk 53

8016

133(2 5)k

①

(1 )216DM1 4 , 0, 解得 3

3DN3

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x1DM ,M在D、N中间，∴λ＜1 x2DN

②

又∵当k不存在时，显然λ=综合得：1/3 ≤λ＜1.

DM1

(此时直线l与y轴重合) DN3

20．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)（本小题满分14分） 已知A、B分别是直线y

33x和y x上的两个动点，线段AB的长为2，33

P是AB的中点．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点Q(1,0)任意作直线l（与x轴不垂直），设l与（1）中轨迹C交于M、N两

点，与y轴交于R点．若RM MQ，RN NQ，证明： 为定值．

解：（1）设P(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)．

x1 x2

x , 2

∵P是线段AB的中点，∴ ………2分

y y2 y 1. 2

∵A、

B分别是直线y

x和y

x2．

x上的点，∴y1

x1和y2 x1 x2 ,

∴ …………4分

x. y1 y2

22

又AB (x1 x2) (y1 y2) 12． …………5分 x242

y2 1． …………6分 ∴12y x 12，∴动点P的轨迹C的方程为

39

2

（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y k(x 1)．…………7分 设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5)，

y k(x 1),

则M、N两点坐标满足方程组 x2 2

y 1. 9

2222

消去y并整理，得(1 9k)x 18kx 9k 9 0， …………9分

9k2 918k2

∴x3 x4 ， ① x3x4 ． ② ………10分

1 9k21 9k2

∵ ，∴(x3,y3) (0,y5) (1,0) (x3,y3) ． 即

x3 (1 x3),

∴x3 (1 x3)．∵l与x轴不垂直，∴x3 1，

y y y.53 3

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x3x4

，同理 ． ………12分 1 x31 x4

(x x) 2x3x4x3x

∴ ． 4 34

1 x31 x41 (x3 x4) x3x4

9

将①②代入上式可得 ． …………14分

4

∴

说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力．

19．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)（本题满分14分）

x2y2

已知椭圆M：2 2 1 (a 0,b 0)的面积为πab，M包含于平面区域

ab |x| 2π

: 内，向平面区域 内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为．

4 |y| 3

（Ⅰ）试求椭圆M的方程；

13

（Ⅱ）若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点P(1为椭圆M上一点，

22

记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1 k2是否为定值？请证

明你的结论．

|x| 2

解：（Ⅰ）平面区域 : 是一个矩形区域，如图所

|y| 示． ………2分

依题意及几何概型，可得

πab8

π

， 4

…………………………………3分 即 ab 2．

因为 0 a 2,0 b ，

所以， a 2,b 3． ………………………………5分

x2y2

1 ………………6分 所以，椭圆

M的方程为431

（Ⅱ）设直线l的方程为：y x b，

2

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