选修1-1&2-1 第二章 圆锥曲线与方程 导学案

§2.1.1 曲线与方程（1）

学习目标 1．理解曲线的方程、方程的曲线；

2．求曲线的方程． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P34~ P36，找出疑惑之处）

复习1：画出函数y?2x2 (?1?x?2)的图象．

复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：

到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．

问题：能否写成y?x，为什么？

新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程F(x,y)?0之间， 如果具有以下两个关系：

1．曲线C上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程F(x,y)?0的解为坐标的点，都是 的点，

那么，方程F(x,y)?0叫做这条曲线C的方程；

曲线C叫做这个方程F(x,y)?0的曲线．

注意：1? 如果??，那么??；

2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可；

3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试：

1．点P(1,a)在曲线x2?2xy?5y?0上，则a=___ ．

2．曲线x2?2xy?by?0上有点Q(1,2)，则b= ．

1

新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．

※ 典型例题

例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k?0)的点的轨迹方程式是xy??k．

变式：到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y?5?0吗？

例2设A,B两点的坐标分别是(?1,?1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．

变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(?2,0)，C(2,0)．中线AO（O为原点）所在直线的方程是x?0吗？为什么？

反思：BC边的中线的方程是x?0吗？

小结：求曲线的方程的步骤：

①建立适当的坐标系，用M(x,y)表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P的点M的集合P?{M|p(M)}； ③用坐标表示条件P，列出方程f(x,y)?0； ④将方程f(x,y)?0化为最简形式；

⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

※ 动手试试

练1．下列方程的曲线分别是什么？

2

x2x?2(1) y? (2) y?2 (3) y?alogax

x?2xx

练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？

三、总结提升

※ 学习小结

1．曲线的方程、方程的曲线；

2．求曲线的方程的步骤： ①建系，设点； ②写出点的集合； ③列出方程； ④化简方程； ⑤验证．

※ 知识拓展

求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等． 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 与曲线y?x相同的曲线方程是（ ）． x2A．y? B．y?x2 x????????????2．直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(?1,3)，若点C满足OC=?OA+?OB，其中?，??R， ?+?=1，则点C的轨迹为 ( ) ．

A．射线 B．直线 C．圆 D．线段

3 C．y?3x3 D．y?2log2x

3．A(1,0)，B(0,1)，线段AB的方程是（ ）． A．x?y?1?0 B．x?y?1?0(0?x?1) C．x?y?1?0 D．x?y?1?0(0?x?1)

54．已知方程ax2?by2?2的曲线经过点A(0,)和点B(1,1)，则a= ，b= ．

3PA15．已知两定点A(?1,0)，B(2,0)，动点p满足?，则点p的轨迹方程是 ．

PB2 课后作业 1． 点A(1,?2)，B(2,?3)，C(3,10)是否在方程

x2?xy?2y?1?0表示的曲线上？为什么？

2 求和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．

§2.1.2 曲线与方程（2）

学习目标 1. 求曲线的方程；

2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P36~ P37，找出疑惑之处） 复习1：已知曲线C的方程为 y?2x2 ，曲线C上有点A(1,2)，A的坐标是不是y?2x2 的解？点(0.5,t)在曲线C上,则t=___ ．

复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程f(x,y)?0之间有哪些关系?

4

二、新课导学

※ 学习探究 引入：

圆心C的坐标为(6,0)，半径为r?4，求此圆的方程．

问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．

探究：若AB?4，如何建立坐标系求AB的垂直平分线的方程．

※ 典型例题

例1 有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到A(0,3)的距离的2倍，试求曲线的方程．

变式：现有一曲线在x轴的下方，曲线上的每一点到x轴的距离减去这点到点A(0,2)，的距离的差是2，求曲线的方程．

5

小结：点P(a,b)到x轴的距离是 ；

点P(a,b)到y轴的距离是 ； 点P(1,b)到直线x?y?1?0的距离是 ．

例2已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2，一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．

※ 动手试试

练1． 有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到直线x?y?1?0的距离的2倍，试求曲线的方程．

练2. 曲线上的任意一点到A(?3,0),B(3,0)两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．

6

三、总结提升

※ 学习小结

1. 求曲线的方程；

2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．

※ 知识拓展

圆锥曲线的统一定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹是圆锥曲线． 0?e?1：椭圆； e?1： 抛物线； e?1： 双曲线． 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．方程(3x?4y?12)?log2(x?2y)?3??0的曲线经过点A(0,?3)，B(0,4)，C(4,0)，D(53,?74)中的（A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知A(1,0)，B(?1,0)，动点满足

MA?MB?2,则点M的轨迹方程是（ ）.

A．y?0(?1?x?1) B．y?0(x?1) C．y?0(x??1) D．y?0(x?1)

3．曲线y??1?x2与曲线y?x?0的交点个数一定是（ ）．

A．0个 B．2个 C．4个 D．34．若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP??OA?个

?4,则点P的轨迹方程是 ． 5．由方程x?1?y?1?1确定的曲线所围成的图形的面积是 ． 课后作业 1．以O为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？

7 .

）

2．已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B．设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程．

§2.2.1椭圆及其标准方程(1)

学习目标 1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；

2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P38~ P40，文P32~ P34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．

复习2：方程(x?3)2?(y?1)2?4 表示以 为圆心, 为半径的 ．

二、新课导学

※ 学习探究

取一条定长的细绳，

把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ P思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ F1F2经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．

新知１： 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．

反思：若将常数记为2a，为什么2a?F1F2？

当2a?F1F2时，其轨迹为 ；

当2a?F1F2时，其轨迹为 ．

试试：

已知F1(?4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．

8

小结：应用椭圆的定义注意两点：

①分清动点和定点；

②看是否满足常数2a?F1F2．

新知２：焦点在x轴上的椭圆的标准方程 x2y2?2?1?a?b?0? 其中b2?a2?c2 2ab

若焦点在y轴上，两个焦点坐标 ，

则椭圆的标准方程是 ．

※ 典型例题

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴a?4,b?1，焦点在x轴上；

⑵a?4,c?15，焦点在y轴上；

⑶a?b?10,c?25．

x2y变式：方程??1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的范围 ．

4m

小结：椭圆标准方程中：a2?b2?c2 ；a?b ．

?53?例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是??2,0?，(2,0)，并且经过点?,??，求它的标准方程 ．

?22?

9

变式：椭圆过点 ??2,0?，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．

小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．

※ 动手试试

x2练1. 已知?ABC的顶点B、C在椭圆?y2?1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点

3在BC边上，则?ABC的周长是（ ）．

A．23 B．6 C．43 D．12

x2y练2 ．方程??1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的范围．

9m

三、总结提升

※ 学习小结

彗星1. 椭圆的定义：

2. 椭圆的标准方程： 太阳

※ 知识拓展

1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长． 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）． A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

10

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为（ ）． A．椭圆 B．圆

C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹

2．如果方程x2?ky2?2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）． A．(0,??) B．(0,2) C．(1,??) D．(0,1)

x2y23．如果椭圆． ??1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是（ ）

10036A．4 B．14 C．12 D．8

4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是 ．

5．如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式是 ，它的方程是 ． x2?(y?3)2?x2?(y?3)2?10，点M的轨迹

课后作业 1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P3,?26； ⑵焦点坐标分别为?0,?4?,?0,4?，a?5； ⑶a?c?10,a?c?4．

x2y22. 椭圆??1的焦距为2，求n的值．

4n

??§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)

学习目标 1．掌握点的轨迹的求法；

2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P41~ P42，文P34~ P36找出疑惑之处）

11 x2y2复习1：椭圆上??1一点P到椭圆的左焦点F1的距离为3，则P到椭圆右焦点F2的距离

259是 ．

复习2：在椭圆的标准方程中,a?6,b?35,则椭

圆的标准方程是 ．

二、新课导学

※ 学习探究

问题：圆x2?y2?6x?5?0的圆心和半径分别是什么?

问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；

反之,到点(?3,0)的距离等于2的所有点都在 圆 上．

※ 典型例题

例1在圆x2?y2?4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

DM3?，则点M的轨迹又是什么？ 变式： 若点M在DP的延长线上，且DP2

小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．

4例2设点A,B的坐标分别为??5,0?,?5,0?，.直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是?，求点M9

12

的轨迹方程 ．

变式：点A,B的坐标是??1,0?,?1,0?，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？

※ 动手试试

练1．求到定点A?2,0?与到定直线x?8的距离之比为2的动点的轨迹方程． 2

练2．一动圆与圆x2?y2?6x?5?0外切，同时与圆x2?y2?6x?91?0内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．

13

三、总结提升

※ 学习小结

1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；

②相关点法：寻求点M的坐标x,y与中间x0,y0的关系，然后消去x0,y0，得到点M的轨迹方程．

※ 知识拓展

椭圆的第二定义：

到定点F与到定直线l的距离的比是常数e(0?e?1)的点的轨迹． 定点F是椭圆的焦点； 定直线l是椭圆的准线； 常数e是椭圆的离心率． 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．若关于x,y的方程x2sin??y2cos??1所表示的曲线是椭圆，则?在（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若?ABC的个顶点坐标A(?4,0)、B(4,0)，?ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（ ）．

x2y2y2x2x2y2x2y2A．??1 B．??1 (y?0) C．??1(y?0) D．??1(y?0)

25925916925943．设定点F1(0,?2) ，F2(0,2)，动点P满足条件PF1?PF2?m?． (m?0)，则点P的轨迹是（ ）

mA．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段

4．与y轴相切且和半圆x2?y2?4(0?x?2)内切的动圆圆心的轨迹方程是 ． 5. 设F1,F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|?|MF2|?6，则动点M的轨迹是 ． 课后作业 1．已知三角形?ABC的一边长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．

14

2．点M与定点F(0,2)的距离和它到定直线y?8的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）

学习目标 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；

2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P43~ P46，文P37~ P40找出疑惑之处）

x2y2复习1： 椭圆??1上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是 ．

1612

x2y2复习2：方程??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ．

5m

二、新课导学 ※ 学习探究

x2y2问题1：椭圆的标准方程2?2?1(a?b?0)，它有哪些几何性质呢？

ab

图形：

范围：x： y：

对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；

顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；

15

长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；

离心率：刻画椭圆 程度．

椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，

记e?ca，且0?e?1．

试试：椭圆y216?x29?1的几何性质呢？

图形：

范围：x： y：

对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；

顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；

长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；

离心率： e?ca= ．

反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？

※ 典型例题

例1 求椭圆16x2?25y2?400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

变式：若椭圆是9x2?y2?81呢？

16

小结：①先化为标准方程，找出a,b ，求出c； ②注意焦点所在坐标轴． 例2 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x?254的距离的比是常数，求点M的轨迹． 45

小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．

※ 动手试试

练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

1⑴焦点在x轴上，a?6，e?；

33⑵焦点在y轴上，c?3，e?；

5⑶经过点P(?3,0)，Q(0,?2)；

3⑷长轴长等到于20，离心率等于．

5

三、总结提升

※ 学习小结

1 ．椭圆的几何性质：

图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；

17 2 ．理解椭圆的离心率．

※ 知识拓展

（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点．

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

10x2y21．若椭圆?，则m的值是（ ）． ?1的离心率e?55m51525A．3 B．3或 C．15 D．15或 332．若椭圆经过原点，且焦点分别为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率为（ ）．

3211A． B． C． D．

432423．短轴长为5，离心率e?的椭圆两焦点为F1,F2，过F1作直线交椭圆于A,B两点，则?ABF2的周长

3为（ ）．

A．3 B．6 C．12 D．24

x2y24．已知点P是椭圆??1上的一点，且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的

54坐标是 ．

5．某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ． 课后作业 1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？

x2y222⑴9x?y?36与??1 ；

1612x2y222 ⑵x?9y?36与??1 ．

610

2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴经过点P(?22,0)，Q(0,5)；

⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)； ⑶焦距是8，离心率等于0.8．

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)

18

学习目标 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质； 2．椭圆与直线的关系． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P46~ P48，文P40~ P41找出疑惑之处）

x2y2复习1： 椭圆??1的

1612焦点坐标是（ ）（ ） ；

长轴长 、短轴长 ；

离心率 ．

复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？

二、新课导学 ※ 学习探究

问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？

问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？

反思：点与椭圆的位置如何判定？

※ 典型例题

例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2，已知BC?F1F2，F1B?2.8cm，

F1F2?4.5cm，试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

19

变式：若图形的开口向上，则方程是什么？

小结：①先化为标准方程，找出a,b ，求出c； ②注意焦点所在坐标轴．

x2y2（理）例2 已知椭圆??1，直线l：

2594x?5y?40?0。椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

变式：最大距离是多少？

※ 动手试试

练1已知地球运行的轨道是长半轴长

a?1.50?108km，离心率e?0.0192的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．

20

x2练2．经过椭圆?y2?1的左焦点F1作倾斜角为60?的直线l，直线l与椭圆相交于A,B两点，求AB的

2长．

三、总结提升

※ 学习小结

1 ．椭圆在生活中的运用；

2 ．椭圆与直线的位置关系：

相交、相切、相离（用?判定）．

※ 知识拓展

直线与椭圆相交，得到弦，

弦长l?1?k2x1?x2

2 ?(1?k2)??x1?x2??4x1x2?

??

其中k为直线的斜率，(x1,y1),(x2,y2)是两交点坐标． 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

x2y21．设P是椭圆 ． ??1，P到两焦点的距离之差为，?PF1F2是（ ）

1612A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．

21 22?1 B. C. 2?2 D. 2?1 22x2y23．已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的

169三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）．

9799A. B. 3 C. D.

7454．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．

x2y25．椭圆?过原点O作直线与椭圆相交于A,B两点，若?ABF2的面积是20，?1的焦点分别是F1和F2，

4520则直线AB的方程式是 ． A.

课后作业 x2y21． 求下列直线3x?10y?25?0与椭圆??1的交点坐标．

254

3x2y22．若椭圆??1，一组平行直线的斜率是

249⑴这组直线何时与椭圆相交？

⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？

§2.3.1 双曲线及其标准方程

学习目标 1．掌握双曲线的定义； 2．掌握双曲线的标准方程． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P52~ P55，文P45~ P48找出疑惑之处） 复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

x2y2复习2：在椭圆的标准方程2?2?1中，a,b,c有何关系？若a?5,b?3，则c??写出符合条件的椭圆

ab方程．

22

二、新课导学 ※ 学习探究

问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

如图2-23，定点F1,F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，

MF1?MF2是常数，这样就画出一条曲线； 由MF2?MF1是同一常数，可以画出另一支．

新知1：双曲线的定义：

平面内与两定点F1,F2的距离的差的 等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线。 两定点F1,F2叫做双曲线的 ，

两焦点间的距离F1F2叫做双曲线的 ．

反思：设常数为2a ，为什么2a?F1F2？ 2a?F1F2时，轨迹是 ；

2a?F1F2时，轨迹 ．

试试：点A(1,0)，B(?1,0)，若AC?BC?1，则点C的轨迹是 ．

新知2：双曲线的标准方程：

x2y2?2?1,(a?0,b?0,c2?a2?b2)（焦点在x轴） 2ab其焦点坐标为F1(?c,0)，F2(c,0)．

思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？

※ 典型例题

例1已知双曲线的两焦点为F1(?5,0)，F2(5,0)，双曲线上任意点到F1,F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

23 x2y2变式：已知双曲线??1的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 ．

169

例2 已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

变式：如果A,B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．

※ 动手试试

练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在x轴上，a?4，b?3；

（2）焦点为(0,?6),(0,6)，且经过点(2,?5)．

练2．点A,B的坐标分别是(?5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是

4，试求点9M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．

24

三、总结提升

※ 学习小结

1 ．双曲线的定义；

2 ．双曲线的标准方程．

※ 知识拓展

GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用．

在例2中，再增设一个观察点C，利用B，C两处测得的点P发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置． 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是（ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线

2．双曲线5x2?ky2?5的一个焦点是(6,0)，那么实数k的值为（ ）． A．?25 B．25 C．?1 D．1

3．双曲线的两焦点分别为F1(?3,0),F2(3,0)，若a?2，则b?（ ）．

A. 5 B. 13 C.

5 D.

13 4．已知点M(?2,0),N(2,0)，动点P满足条件|PM|?|PN|?22. 则动点P的轨迹方程为 ．

x2y25．已知方程??1表示双曲线，则m的取值范围 ．

2?mm?1 课后作业 1． 求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在x轴上，a?25，经过点A(?5,2)； （2）经过两点A(?7,?62)，B(27,3)．

25

2．相距1400mA,B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

学习目标 1．理解并掌握双曲线的几何性质．

学习过程 一、课前准备： （预习教材理P56~ P58，文P49~ P51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①a?3,b?4，焦点在x轴上；

②焦点在y轴上，焦距为8，a?2．

复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？

二、新课导学：

※ 学习探究

问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线x2y2a2?b2?1的几何性质?

26

范围：x： y：

对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．

顶点：（ ），（ ）．

实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．

c离心率：e??1．

a渐近线：

x2y2xy双曲线2?2?1的渐近线方程为：??0．

abab

y2x2问题2：双曲线2?2?1的几何性质?

ab图形：

范围：x： y：

对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．

顶点：（ ），（ ）

实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．

c离心率：e??1．

a渐近线：

y2x2双曲线2?2?1的渐近线方程为： ．

ab新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．

※ 典型例题

x2y2例1求双曲线??1的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．

4925

变式：求双曲线9y2?16x2?144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

27

例2求双曲线的标准方程：

⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上； ⑵离心率e?2，经过点M(?5,3)；

⑶渐近线方程为y??23x，经过点M(92,?1)．

※ 动手试试

练1．求以椭圆x28?y25?1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．

练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是F1(?6,0)，求它的标准方程和渐近线方程．

三、总结提升：

28

※ 学习小结

双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． ※ 知识拓展

x2y2x2y2与双曲线2?2?1有相同的渐近线的双曲线系方程式为2?2?? (??0)

abab 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： x2y21． 双曲线?． ?1实轴和虚轴长分别是（ ）

168A．8、42 B．8、22 C．4、42 D．4、22 2．双曲线x2?y2??4的顶点坐标是（ ）．

,2） A．(0,?1) B．(0,?2) C．(?1,0) D．（?0x2y23． 双曲线?． ?1的离心率为（ ）

48A．1 B．2 C．3 D．2

4．双曲线x2?4y2?1的渐近线方程是 ．

5．经过点A(3,?1)，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ． 课后作业 1．求焦点在y轴上，焦距是16，e?

4的双曲线的标准方程． 3x2y252．求与椭圆??1有公共焦点，且离心率e?的双曲线的方程．

44924

29

§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

学习目标 1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；

2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P58~ P60，文P51~ P53找出疑惑之处） 复习1：说出双曲线的几何性质?

x2y2复习2：双曲线的方程为??1，

914其顶点坐标是( )，( )；

渐近线方程 ．

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：椭圆x2?4y2?64的焦点是？

探究2：双曲线的一条渐近线方程是x?3y?0，则可设双曲线方程为？

问题：若双曲线与x2?4y2?64有相同的焦点，它的一条渐近线方程是x?3y?0，则双曲线的方程是？

※ 典型例题

30

例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．

例2点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x?

165的距离的比是常数，求点M的轨迹．

45x2y2（理）例3过双曲线?倾斜角为30?的直线交双曲线于A,B两点，求A,B两点的坐标． ?1的右焦点，

36

变式：求AB ？

思考：?AF1B的周长？

31 ※ 动手试试

x2y2x2y2练1．若椭圆?2?1与双曲线??1的焦点相同，则a=____.

4aa2

3x2y2x，求双曲线的焦点坐标． 练2 ．若双曲线??1的渐近线方程为y??24m

三、总结提升

※ 学习小结

1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；

2．双曲线的另一定义； 3．（理）直线与双曲线的位置关系．

※ 知识拓展

双曲线的第二定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线． 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

x2y2x2y21．若椭圆??1和双曲线??1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则PF1?PF2的

251645值为（ ）．

21A． B．84 C．3 D．21

2

32

x2y22．以椭圆?． ?1的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）

2516x2y2x2y2A. ??1 B. ??1

16489272222xyxyC. ??1或??1 D. 以上都不对

16489273．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，若∠PFQ?1则双曲线的离心率e等于（ ）．

A.2?1 B. 2 C. 2?1 D. 2?2

4．双曲线的渐近线方程为x?2y?0，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.

?2，

x2y25．方程??1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围 ．

4?k1?k 课后作业 x2y21．已知双曲线的焦点在x轴上，方程为2?2?1，两顶点的距离为8，一渐近线上有点A(8,6)，试求

ab此双曲线的方程．

§2.4.1抛物线及其标准方程

学习目标 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P64~ P67，文P56~ P59找出疑惑之处）

复习1：函数y?2x2?6x?1 的图象是 ，它的顶点坐标是（ ），对称轴是 ．

复习2：点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x?8的距离的比是1:2，则点M的轨迹是什么图形？

33 二、新课导学

※ 学习探究

探究1：若一个动点p(x,y)到一个定点F和一条定直线l的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？

新知1：抛物线

平面内与一个定点F和一条定直线l的 距离 的点的轨迹叫做抛物线．

点F叫做抛物线的 ； 直线l叫做抛物线的 ．

新知2：抛物线的标准方程

定点F到定直线l的距离为p （p?0）．

建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ?p?p y2?2px ??2,0?? x??2 试试： 抛物线y2?20x的焦点坐标是（ ），

准线方程是 ； 抛物线x2??12y的焦点坐标是（ ），

准线方程是 ．

※ 典型例题

例1 （1）已知抛物线的标准方程是y2?6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F(0,?2)，求它的标准方程．

34

变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程： ⑴焦点坐标是(0,4)；

1⑵准线方程是x??；

4⑶焦点到准线的距离是2．

例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

※ 动手试试

练1．求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是F(?5,0 )；

(2) 焦点在直线x?2y?4?0上．

35

练2 ．抛物线y2?2px (p?0)上一点M到焦点距离是a(a?p)，则点M到准线的距离是 ，点M的2横坐标是 ．

三、总结提升

※ 学习小结

1．抛物线的定义；

2．抛物线的标准方程、几何图形．

※ 知识拓展 焦半径公式：

设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．

若M(xy2?xp0,0)在抛物线y?2px上，则MF0?2

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．对抛物线y?4x2，下列描述正确的是（ ）． A．开口向上，焦点为(0,1)

B．开口向上，焦点为(0,116)

C．开口向右，焦点为(1,0)

D．开口向右，焦点为(0,116)

2．抛物线x2?8y?0的准线方程式是（ ）． A．x?2 B．x??2 C．y?2 D．y??2

3．抛物线y2?10x的焦点到准线的距离是（ ）．

A. 52 B. 5 C. 152 D. 10

4．抛物线y2?12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ．

5．抛物线x2?4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 ． 课后作业 1．点M到F(0,8)的距离比它到直线y??7的距离大1，求M点的轨迹方程．

36

2．抛物线y2?2px (p?0)上一点M到焦点F的距离MF?2p，求点M的坐标．

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）

学习目标 1．掌握抛物线的几何性质；

2．根据几何性质确定抛物线的标准方程． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P68~ P70，文P60~ P61找出疑惑之处） 复习1：

准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ．

x2y2复习2：双曲线??1有哪些几何性质？

169

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？

新知：抛物线的几何性质 图形 标准方程 焦点 37 准线 顶点 对称轴 p(0,?) 2 y??p 2 x轴 (0,0)(0,0) 离心率

试试：画出抛物线y?8x2的图形， 顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、 准线方程 、对称轴 、 离心率 ．

※ 典型例题

例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,?22)，求它的标准方程．

变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2,?22)的抛物线有几条？求出它们的标准方程．

小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．

例2斜率为1的直线l经过抛物线y2?4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长 ．

38

变式：过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2?4x于A，B两点，求AB ．

小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．

※ 动手试试

练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点 M(5，?4)；

⑵顶点在原点，焦点是F(0,5)； ⑶焦点是F(0,?8)，准线是y?8．

三、总结提升

※ 学习小结

1．抛物线的几何性质 ；

39 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长．

※ 知识拓展

抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径． 其长为2p． 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．

1A．y2?x B．y2?x

2C．y2?2x D．y2?4x

2．顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程（ ） ．

A．y2?20x B．x2?20y

11C．y2?x D．x2?y

20203．过抛物线y2?4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则AB等于（ ）．

A．10 B．8 C．6 D．4 4．抛物线y?ax2(a?0)的准线方程是 ．

5．过抛物线y2?2x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1?x2?6，则

AB= ． 课后作业 1． 根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出 图形：

⑴顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等到于6； ⑵顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(?6,?3)．

2 M是抛物线y2?4x上一点，F是抛物线的焦点，?xFM?60?，求FA．

40

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）

学习目标 1．掌握抛物线的几何性质；

2．抛物线与直线的关系． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P70~ P72，文P61~ P63找出疑惑之处）

复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点P(?2,3)的抛物线的方程为（ ）．

994 A．y2?x B. y2??x或x2??y

434494 C. x2?y D. y2??x或x2?y

233

x2y22复习2：已知抛物线y??2px(p?0)的焦点恰好是椭圆??1的左焦点，则p= ．

1612

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：抛物线y2?2px(p?0)上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则： ① 这点到准线的距离为 ； ② 焦点到准线的距离为 ； ③ 抛物线方程 ； ④ 这点的坐标是 ； ⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为 ．

※ 典型例题

41 例1过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．

（理）例2已知抛物线的方程y2?4x，直线l过定点P(?2,1)，斜率为k k为何值时，直线l与抛物线y2?4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

小结： ① 直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切 ；

②直线与抛物线只有一个公共点时， 它们可能相切，也可能相交．

※ 动手试试

练1. 直线y?x?2与抛物线y2?2x相交于A，B两点，求证：OA?OB．

42

2．垂直于x轴的直线交抛物线y2?4x于A，B两点，且AB?43，求直线AB的方程．

三、总结提升

※ 学习小结

1．抛物线的几何性质 ；

2．抛物线与直线的关系．

※ 知识拓展

过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，则

211?为定值，其值为．

pMFNF 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．过抛物线y2?2px(p?0)焦点的直线交抛物线于A，B两点，则AB的最小值为（ ）．

p B. p C. 2p D. 无法确定 22．抛物线y2?10x的焦点到准线的距离是（ ）． A.

43 515 B. 5 C. D. 10 223．过点(0,1)且与抛物线y2?4x只有一个公共点的直线有（ ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．0条

4．若直线x?y?2与抛物线y2?4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是______． A.

5．抛物线上一点(?5,25)到焦点F(x,0)的距离是6，则抛物线的标准方程是 ． 课后作业 1．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y?2x?1交于P，Q两点，PQ=15，求抛物线的方程．

2． 从抛物线y2?2px(p?0)上各点向x轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

第二章 圆锥曲线与方程（复习）

学习目标 1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程； 2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P78~ P81，文P66~ P69找出疑惑之处） 复习1：完成下列表格： 椭圆 双曲线 抛物线 定义 图形

44

标准方程 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 离心率 （以上每类选取一种情形填写）

复习2：

① 若椭圆x2?my2?1的离心率为 3，则它的长半轴长为__________； 2

②双曲线的渐近线方程为x?2y?0，焦距为10，则双曲线的方程为 ；

x2y2③以椭圆??1的右焦点为焦点的抛物线方程为 ．

2516

二、新课导学

※ 典型例题

例1 当?从0?到180?变化时，方程

x2?y2cos??1表示的曲线的形状怎样变化？

x2y2变式：若曲线??1表示椭圆，则k的取值范围是 ．

k1?k

小结：掌握好每类标准方程的形式．

45

x2y2例2设F1，F2分别为椭圆C：2?2 =1

ab(a?b?0)的左、右两个焦点．

3⑴若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

2⑵设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．

x2y2变式：双曲线与椭圆??1有相同焦点，且经过点(15,4)，求双曲线的方程．

2736

※ 动手试试

练1．已知?ABC的两个顶点A，B坐标分别是(?5,0)，(5,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m (m?0)，试探求顶点C的轨迹．

x2y2练2．斜率为2的直线l与双曲线??1交于A，B两点，且AB?4，求直线l的方程．

32

46

三、总结提升

※ 学习小结

1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 3．直线与圆锥曲线．

※ 知识拓展

圆锥曲线具有统一性：

⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线；

⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线； ⑶它们的方程都是关于x，y的二次方程． 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

x2y2x2y21．曲线??1与曲线??1

25925?k9?k(k?9)的（ ）．

A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等

2．与圆x2?y2?1及圆x2?y2?8x?12?0都外切的圆的圆心在（ ） ． A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上

3．过抛物线y2?8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则AB等

于（ ）．

A．10 B．8 C．6 D．4

4．直线y?kx?1与双曲线x2?y2?4没有公共点，则k的取值范围 ． 5．到直线y?x?3的距离最短的抛物线y2?4x上的点的坐标是 ． 课后作业 1．就m的不同取值，指出方程(m?1)x2?(3?m)y2?(m?1)(3?m)所表示的曲线的形状．

47

x22． 抛物线y??与过点M(0,?1)的直线l相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB的斜率之和为1，

2求直线l的方程．

48

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