社会科学中的数学课程论文（暨南大学） - 图文

暨 南 大 学 本科生课程论文

论文题目： 社会科学中的数学课程论文

学 院： 生命科学技术学院 学 系： 生物工程学系 专 业： 生物科学 课程名称： 社会科学中的数学 学生姓名： 鄢佳英 学 号： 2012051669 指导教师： 叶世琦

2014年 12月 21 日

[社会科学中的数学课程论文]

目录

（一）概念知识篇

第一篇 社会选择

四、你真懂得选举吗？???????????????????????????? 4 五、怎样看待权力？????????????????????????????? 5 六、公平分配与小数点???????????????????????????? 6

第二篇 谋求最优化

二、排好您的时刻表????????????????????????????? 7 三、储藏室问题练习????????????????????????????? 8 七、邮递员与网络?????????????????????????????? 9 八、推销员与网络?????????????????????????????? 11 九、配料与利润??????????????????????????????? 12

第三篇 统计(数字的艺术)

一、形状、匹配与人口???????????????????????????? 15

第四篇 走向非线性

十、瓷砖拼装不简单????????????????????????????? 18 十一、神秘的海岸线????????????????????????????? 20 十二、混沌初开??????????????????????????????? 21

（二）课本各章习题

第一篇 社会选择

四、你真懂得选举吗？???????????????????????????? 22 五、怎样看待权力？????????????????????????????? 23 六、公平分配与小数点???????????????????????????? 25

第二篇 谋求最优化

二、排好您的时刻表????????????????????????????? 29 三、储藏室问题练习????????????????????????????? 31 七、邮递员与网络?????????????????????????????? 32 八、推销员与网络?????????????????????????????? 34 九、配料与利润??????????????????????????????? 34

第三篇 统计(数字的艺术)

一、形状、匹配与人口???????????????????????????? 39

2

[社会科学中的数学课程论文]

第四篇 走向非线性

十、瓷砖拼装不简单????????????????????????????? 40 十一、神秘的海岸线????????????????????????????? 41 十二、混沌初开??????????????????????????????? 41

（三）进展搜索篇

第一篇 社会选择

四、你真懂得选举吗？???????????????????????????? 42 五、怎样看待权力？????????????????????????????? 43 六、公平分配与小数点???????????????????????????? 45

第二篇 谋求最优化

二、排好您的时刻表????????????????????????????? 45 三、储藏室问题练习????????????????????????????? 46 七、邮递员与网络?????????????????????????????? 47 八、推销员与网络?????????????????????????????? 51 九、配料与利润??????????????????????????????? 52

第三篇 统计(数字的艺术)

一、形状、匹配与人口???????????????????????????? 52

第四篇 走向非线性

十、瓷砖拼装不简单????????????????????????????? 53 十一、神秘的海岸线????????????????????????????? 57 十二、混沌初开??????????????????????????????? 58

（四）收获及意见建议

?????????????????????????????????????? 59

（五）个人专业相关探索

?????????????????????????????????????? 60

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[社会科学中的数学课程论文]

（一）概念知识篇

第一篇 社会选择

四、你真懂得选举吗？

1.课本知识梳理：

多数原则：以最多票者的意向为决议。 大多数原则：胜方是全体投票者大多数。 非真诚表决：带有谋略的表决，在表决中常有。 真诚表选举：各人以最偏爱的选择进行表决的选举。

逐轮选举：要求每一步表决都服从大多数原则（要求半数以上通过）。

Tips：不同的选举原则将带来完全不同的情况：在“多数原则”下，非真诚选举是最佳策略；而在“大多数原则”下，最佳策略应该是真诚选举。

鹰派赢家：一个候选对象，能在面对面的捉对表决中胜出每一个别的候选对象。 波达记分法：以递降方式给候选对象打分并累分，以排出诸对象次序的方法。 阿波罗不可能性定理：绝对公平的选举系统是不存在的。 伪修正案法：制造虚设文件的策略选举方法。

2.讨论：

其实在接触这门课之前，我们在高中已经学习了政治。从当时所学的知识出发，选举有以下几种方式：

（1）①直接选举：由选民直接投票选举被选举人的方式

优点：一是它更能直接地反映民意，实现选民的意志；二是更好地调动公民参与管理国家事务的积极性；三有助于加强选民与当选者的联系。

局限性：在选民人数众多的情况下，直接选举的组织工作和技术工作都有相当大的难度，选举的成本也比较高。

②间接选举：先由选民选出自己的代表，再由他们代表选民选举产生上一级代表机关的代表或政府领导成员。

优点：选举的成本比较低，便于组织。 局限性：影响了选民意愿的表达。

③等额选举：正式后选人名额与应选人名额相等 优点：可以比较充分地考虑当选者结构的合理性。

局限性：在一定程度上限制选民的自由选择，影响选民的积极性。

④差额选举：正式后选人名额多于应选名额。

优点：为选民行使选举权提供了选择的余地，在被选举人之间也形成了相应的竞争。 局限性：如果竞争不加以规范，容易导致虚假宣传、金钱交易等情况发生。

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（2）影响选举方式的主要因素：社会经济制度、物质生活条件、选民的文化水平等。

（3）我国采取的选举方式：从我国国情出发，我国将在相当长的一段时间内采取直接选举与间接选举相结合的选举方式。

当然，这些只是政治方面的选举方式，而它与我们在这门课中接触的选举方法是有差别的。这门课中更偏侧用数学逻辑方式决定方法进行选举。而政治课上所学的是偏向于政治政策法规方面对选举方式进行讲述。所以感觉二者之间还是有挺大差别的。

那我们回到本课程中的讨论来，我认为，以大多数原则为基础的真诚选举是最合理的。但是现实中往往不可能确定所有投票人都会真诚选举，甚至可以说完全的真诚选举只是存在于理想状态的。所以基于此种情况，我认为应该把几种选举方法或理念相结合，才能达成较好的选举效果。比如说，大家先进行真诚选举投票，然后淘汰掉最少得票者，逐轮竞争。但是，需要强调一下的是，这并不是逐轮选举，其与逐轮选举最大的区别就是，在每一轮中，并不要求均满足大多数原则。每一轮只满足多数原则，淘汰最少得票者，然后其他投票者不能再次投票，也就是说不可以改票。再让淘汰掉的投票者们在剩余选项中进行投票，一直重复下去，直至有一个组符合大多数原则，也就是说得到了过半的选票为止。那么，这个得到了过半选票的选项即为最终获胜选项。

五、怎样看待权力？

1.课本知识梳理：

加权选举系统：在一些选举系统里，不同的参加者有着不同的票数。 赢家联盟：在表决时拥有举足轻重票数的个体或者群体。

Tips：权利是一个跟加权的分配、全体票数以及法定票数有关的非常不规则的函数。 明手：一个与任何别的投票人都不能结成赢家联盟的投票人。 [q:w1,w2,w3,…,wn]

配额：q，表示在表决中通过一个决议时所需的法定票数。

彭翠芙权利指数：一个个体，加入一个输家联盟，能依赖他反败为胜的方法；或退出一个赢家联盟时，因失去他而由胜转败的方法。这个反败为胜或者转胜为败的方法总数，就是彭翠芙权利指数。 Tips：彭翠芙权利指数具有相对性，它只是一个相对的数量刻画。 极小赢家联盟：它的任何一个成员对于保证胜出都是重要的，不可缺的。

否决权联盟：一个联盟V在全体成员组成的集合中使它的补集正好构成一个输家联盟，则此联盟V 为否决权联盟。

2.讨论：

在进入讨论前，需要说明一点，以下讨论只是一般来说的思路。但是，认真思考，其实有很多的漏洞，因为总权数或者配额增大与减小其实并不完全会影响到权利指数。在一些情况下，它们的变化对权数是没有改变的，（因为毕竟，书里也是有讲到，一些小配额的联盟甚至与大配额的联盟有相同的权数）但是在有些时候确实是有直接影响。我们在这里简化问题，只讨论有直接影响的部分吧。

从个人或者单个联盟角度来看，配额不变，总权数变大时，其实就相当于各自的权利缩水，也就是说对于一个决议的影响力会减小，即彭翠芙权力指数减小。

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配额不变，总权数减小时，与上述相反，相当于各自的权利膨胀，也就是说对于一个决议的影响力会增大，即彭翠芙权力指数增大。

当总权数不变时，个人或者单个联盟的配额数增多，相当于各自的权利膨胀，也就是说对于一个决议的影响力会增大，即彭翠芙权力指数增大。

当总权数不变时，个人或者单个联盟的配额数减少，相当于各自的权利缩水，也就是说对于一个决议的影响力会减小，即彭翠芙权力指数减小。

六、公平分配与小数点

1.课本知识梳理：

连续态，即S可以无限加以细分，例如蛋糕土地等。

三种情形提供均分方案 离散态，S由各种不可能分割的对象组成，例如遗产中的房屋等。

整分问题，每个个体分得的部分都必须是整数，例如议会中席位的个数

等

连续态：

1.1两人均分问题（一切一选技巧） （1）成员1将集合S分成两部分S1和S2 （2）成员2在S1和S2中任选一个 （3）成员1获得成员2未选的那一个 切手和选手由掷硬币的方法选出。

1.2多人均分问题（最后缩小法）：蛋糕归最后一位认为需要再缩小的人，然后得到蛋糕的人退出分配，其余人继续重复此过程。直到剩下两人时，使用一切一选方法。

离散态：对于遗产分配一类的均分问题，建议办法是用一些数据来给对象物赋值，例如把对象折成钱款，然后对钱款总数进行平均分配。要想体现这种方法的公平性，必须要强调两个方面：诚实估价和合理支付折价款。

整分问题：我们讨论的这个整分问题，说到底是一个小数点的进位问题。 qi=h*pi/p

1.1哈密顿方法（最大分数法）：先直接取整数部分，求和计算与总数的差值，把多出来的名额直接分配到配额包含有最大分数部分的项目中去。此种方法直接、简单，但是却无法适用于阿拉巴玛悖论。

1.2除数方法：①集中力量找一个特殊的、被称为除数的数d，并且用它除各个基数p1，p2，…pi，…，pn；②根据问题的特点处理它们的分数部分，或者把它们剔去，或者进位成1。

（1）杰弗逊方法，剔去所有的分数部分，即用商数pi/d的整数部分来替代整分问题中的整数ai。 （2）威尔考克斯方法，实行常规方式，即四舍五入。 （3）亚当斯方法，所有分数一律进位。似乎更偏爱小单位。 不可能性定理：找到一个完全公平的整分方法是不可能的。

2.讨论：

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首先需要说明的一点是，我认为，不论哪种资源分配方法都不能做到完全公平，也就是说各种方法的公平只是相对的，必须要建立在实际基础上具体分析才能得出结论。所以没有我认为的较为合理的方法，只有我较为感兴趣的方法。

我对整分的方法比较感兴趣，作为生物专业的学生，许多情况下是需要用到整分的方法处理实验数据的。比如说，对按照体重等对实验小鼠进行分组，小鼠只能论整而分，这也就存在一个问题，如何能满足实验需求，避免体重等因素对实验数据的影响，使得各组分的的体重数相同合理，又能使小鼠的数目恰巧合适呢？那么首先对于每只小鼠都要进行称量体重，算出各个对照组与实验组的体重数，然后再选取合适的d，将对照组和实验组细分小组进行实验。为了保证实验数据的可靠性，避免出错，重复大量的样品是不可或缺的，因此对照组和实验组还需要分为不同小组进行重复性实验，因此这种整分法的价值也体现于此。

第二篇 谋求最优化

二、排好您的时刻表

1.课本知识梳理：

棱：箭头。

路径：某些棱组合成的流水线。

临界路径（主要矛盾线）：占据主导地位的路径（时间最长）。

排序法：假设一项工程有好几条流水线，用1，2，3?等数字编号。在某一给定时刻，我们把任务选择表里第一个已经搞定而尚未开工的任务放到正在待工的、编号最小的流水作业线上。从0时刻开始，一步步让每个任务定位，直到所有任务都被定位。 依赖四种因素： （1） 每项任务时间 （2） 流水线条数 （3） 工程要求的工序图

（4） 任务选择表的次序（唯一可调）

NP完备问题：不寻求最优解，只要快速的出满足需要（即满足一定精度）的解，这种求解原则被称为NP完备问题。

2.讨论：

作为生物专业学生，实验是必不可缺的，而且很多实验是一旦开始必须一口气做完，除此之外，很多实验很花费时间（而且是不可省略的时间，比如电泳必须要45min+）。并且，有些材料必须要提前准备好，放置一定时间以后才可以使用，如果不动脑筋，只是做到哪一步，再准备这一步的相关器材，很可能会无故浪费大量时间。因此，如何快速又好的完成一项实验，与实验中时间的统筹安排有着密不可分的关联。

如下例：

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A． 配试剂，摇匀（10min） B． 配电泳胶块（10min） C． 离心（10min） D． 准备染色剂等（10min） E． 点样（15min）

F． 凝胶电泳，跑胶（45min） G． 写报告（45min） H． 染色（5min） I． 拍照记录（5min）

上面的这些实验步骤中，离心、跑胶这些步骤只需要放到离心机和电泳仪中，设置好时间，然后机器运作即可，相当于这时候实验员可以腾出时间精力做其他部分内容（增加一条流水线），而配胶操作并不困难，只用10min就可以了，但是配好的胶需要放置一段时间让它凝固才可以用。基于以上我们可以安排出一条一个实验操作员的合理的时刻表（一个实验操作员相当于一条流水线）。

工序图如下：

11145 10 0 0 5 5 B A C E F H 5 10 4 5

时刻表如下：

10

10 10 15 45 45 5 5 10 因此，统筹学渗透我们生活工作学习的方方面面，它不仅仅是数学方面的知识，更是所有学科都需要用到的知识。只要你想更高效，更好的完成任务，统筹就很值得了解和学习。

三、储藏室问题

1.课本知识梳理：

无序类问题：任何加工任务都是独立的，即没有工序图，从而每两个任务之间都没有表示先后的箭头相连。 平均状态分析：

最坏状态分析：对于一项只有2条流水线的工程，使用排序法时，最长工期不会比最优工期的1.5倍更长。

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降时列表法：让加工时间较长的任务尽量放在任务次序表的前面。

序填法（NF）：把东西顺着次序安置和开启储藏室的方法。（缺点：造成浪费）

首填法（FF）：记住已经开启过的储藏室，当这一间要关闭的时候，不急着开启新的，先把下一件东西从第一个已经开启的储藏室起试着填进去，只有等已开启的储藏室都填不进去时，才再开启一间新的储藏室。

优填法（BF）：与FF差不多，不同在于下一件东西从已经开启的储藏室里选一间空隙最大的填起。 Tips：这三种缺点是排在后面的较大的东西不能得到有效的处理，因此，在此之前应该先将东西的次序重新排列，例如按照大小次序排列。因此我们可以得到三种新的方法，分别称为降序序填法（NFD）、降序首填法（FFD）以及降序优填法（BFD）。 专家们比较看好的是FFD方法。

2.讨论：

其实储藏室相关问题与我们平时生活息息相关。就用我每逢考完试，假期回家时收拾箱子的例子来说。一大堆衣物，书、洗漱用品等需要塞到一个容量恒定的行李箱中，怎样安排，怎样装物品使得装箱过程更优质，更高效呢？这显然是一个我们生活中非常常见的问题。

就我平时生活经验来看，肯定是要先把体积大的、不可形变的物品装进去，然后再将小的物品，或者可以形变的物品放进去填补空隙。相信这也是大多数人会采取的做法。

那么为什么我们会这么做呢？其实无意之间，大家在平时的生活中就会自然而然的利用到降序优填法，即先会根据物品大小把它们进行一个相关分类，然后再从大到小放入行李箱中，并且在放入时，下一件拿起的物品会优先填补最大的空隙。

可见，即使没有专门的学习这样的课程，大家也是有一个基础的数学思维的，而这些容易被我们忽略的生活问题，往往都是数学问题，再次证明，数学真的与我们生活息息相关贴近生活。

七、邮递员与网络

1.课本知识梳理：

全路径：走过所有路线的路径。 最佳路径：最短的全路径。

空载路径：在同一条路径上重复行经两次。 回路：没有跑空的路径。

欧拉回路：经过每条棱只有一次的全路径。

欧拉定理：（1）一个图G如果是连通的，并且它的所有价都是偶数，那么G中一定可以找到欧拉回路；（2）反过来，如果图G里面有一条欧拉回路，那么G一定是一个连通的图，而且它的所有价必须都是偶数。

Tips：满足端点需求，逐步逼近中心。

图的欧拉化：添加一条或者几条新棱，使一个非欧拉图变成一个欧拉图的方法。 “更夫”技巧：

断言1：解和最优解总是有的，并且最优解一定是一个没有重迭跑空棱的解。

断言2：对于一个没有重迭跑空棱的解来说，我们总能在原图里找到一条回路P，这条回路上的某些

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棱（全体记为A）已被添加了跑空棱（添加的记为B）。如果我们能找到这样一条回路P，使B中的棱的长度和超过了P中所有棱的长度和超过了P中所有棱长度的半合，则这个解还不是最优解，即它还可以加以改善。

断言3：如果有两个解都满足条件：（1）上面没有重迭的跑空棱；（2）在原图里的每一个回路P中，两个解对应的B中的棱长的和都不超过它们在P上的棱长的半和，则它们的跑空棱的长度和一定相等。

定理：一个最优解一定满足上面的条件（1）和（2）。反过来，满足（1）和（2）的解一定也是最优解。

寻求最优解的方法：（1）画出投递邮路的街区图；（2）找出图里的所有奇价顶；（3）把每两个奇价顶用路径两两连起来；（4）用断言1消去重迭的跑空棱；（5）用断言2反复改善解，知道不能再改善为止；（6）将最后得到的带有跑空棱的图（作为一个欧拉回路）画出来，这就是最优的邮递路线。

2.讨论：

我们应该都有玩过一个游戏——“一笔画”，一个给定的图形，如何能把它一笔画出？

从这个图，我们可以一眼看出，（1）、（3）、（5）图中是可以一笔画成的，但是（2）、（4）、（6）却不能一笔画成，这是什么原因呢？似乎能不能一笔画成与图形的简易程度并无直接关系，那么这是与什么相关的呢？

这无疑是一个寻求欧拉回路的问题。

上图，（1）、（3）、（5）的每一个顶点都是偶价的，也就是说，这三张图都是欧拉回路，所以它们都可以一笔画出。然而（2）、（4）、（6）中都有三价这种奇价顶，也就是说他们都不是欧拉回路，所以自然不能一笔画出。那么如何能最省事的把（2）、（4）、（6）图一笔画出来呢？这就涉及到网络图的欧拉化的问题了。

用（4）来举例：

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如图所示，在方形两个棱上均加一条棱，就可以消除所有的奇价顶，但是我们可以发现这两个添加的棱中有一个是跑空棱，因此我们可以消掉一个跑空棱，即：

此为我们要找的最优解。

八、推销员与网络

1.课本知识梳理：

哈密顿回路：一条回路，起止于同一点，但经过每个顶点一次，且只有一次。

Tips：（1）并不是每一个图都能找到一条哈密顿回路来；（2）一旦找到了一条哈密顿回路，则这条回路不一定经过每一条棱，这说明哈密顿回路与欧拉回路一般来说并没有什么关系。 迪拉定理：一个图有n个顶，若每个顶的价数至少是n/2，则这个图一定有哈密顿回路。 波萨定理：（详见书131） 奥尔定理：（详见书132） 雪佛他定理：（详见书132）

树法：实际上，这种方法就是把一切可能的哈密顿回路进行比较的笨办法。

短棱法：此法的要点是，当旅行家到达某一顶时，他的下一个选择对象是与他最靠近而又从未到过的顶。

消棱法：把图中所有权数按递增次序排列成序，在每一步选取最短棱的同时，逐步消去一些棱，以得到一条哈密顿回路。

Tips：消棱原则两条，（1）不能使三条棱集结于一点；（2）不能构成一个还没有包括所有顶的回路。 极小母树法（克鲁斯卡算法）：从权数表中取出一组个数最少的最低价棱，要求这些棱既不能构成任何回路，同时使每一项属于某一棱。

2.讨论：

其实我们平时有参加过一种户外拓展的娱乐项目——定向越野，在限定的时间内，到地图上所标识的相应的点，然后完成相应任务，至于去这些点的顺序可以自己调整。因此这个可以说是我们娱乐生活中相关“推销员与网络”的一个完全吻合的例子。那么如何在最短的时间内，跑的路线最

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少的情况下从出发点出发，经过每一个点，完成任务呢？这个问题实际就是问怎么确定哈密顿回路，考验我们在生活中的利用。

假设就上图四个点，从1出发，回到1。

上图为路线图，我们采取克鲁斯卡法，取出一组个数最少的低价棱。并注意使它们不构成任何

的回路。

由此可以得到这样一条路线，由于我们一开始说要回到1点，所以最终路线图应当如下所示。

所以，这就是这个定向越野的最佳路线。如果能确定这条路线，则可以在最短的时间内，跑的路线最少的情况下从出发点出发，经过每一个点，完成任务了。

九、配料与利润

1.课本知识梳理：

线性不等式：指那些线性的不等式。

线性函数：指那些线性的函数，但也常用作一次函数的别称，尽管一次函数不一定是线性的（那些不经过原点的）。

线性规则（linear programming）：线性规则：1、一般是指找出其变量受线性控制的一个线性函数最大或最小值的程序。2、在生产中，指在一组材料的特征及一组成品产品价格均既定的条件下，表明这些材料如何组合才能取得最大利润的方法。

线性规划：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理

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和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

单侧原理：在a，b和c都是正数的情况下，不等式ax+by

角点原理：配料问题的利润函数P，对多边形的可取区域而言，常在其角点上取最大值。 Tips：配料问题求解的全部过程如下：

（1） 将问题翻译成数学形式，即写出所有的约束条件（包括原料、时间、自然等约束条件）； （2） 写出问题的利润函数；

（3） 求出所有来自约束条件的直线方程的两两交点，并根据单侧原理和公共区域原理画出问题的

可取区域；

（4） 列出所有角点；

（5） 计算利润函数在这些角点的值；

（6） 顶出使利润函数达到最大值的角点，这个最大值便是最大利润值，角点的两个坐标便是问题

的解。

2.讨论：

其实在中学时期，我们就经常做此类习题，当时我们称其为线性代数，极值问题等。就是给一系列不等式以及根据应用问题列出一个利润等式，然后画一个象限坐标图，在坐标图上找到相应的点。然后用利润等式计算每一个极点的值，从而取出最大值的点。

因此这个问题对于我们来说并不陌生，此类问题经常运用于工商业等方面。比如说，给出几种产品的成本价，然后给出其卖价，从而可以得出利润值，列出相应的等式。然后再给出各种产品的配料，以及现在手头所有的配料清单，问如何在用这些配料制作产品，从而得到最大利润，问AB产品应当各生产多少个。这是一道典型的配料问题的求解，也是我们练习过很多遍的问题，相信大家都不会陌生。

但是现在要说运用计算机技术来解放人力劳动，解决这些相应问题，确实是我们之前所没有过的尝试。我在网上搜索，一般使用LINDO来解决此类问题建模，LINDO是一个解决二次线性证书规划问题的方便而强大的工具。

并且我在网上也有找相关的案例和一些用LINDO解决问题的方法，但是由于没有找到合适的LINDO破解版下载，所以并没有下载成功，本来是想自己实际操作一下，解决应用问题，不过软件找不到，所以没能实施。

最终确定用lingo解决。用作业题的最后一题为例。

在我们没有考虑市场需求是，为获得最大利润，利用lingo求解过程如下： 模型： Model1: max=3*x+4*y; 0.75*x+0.5*y<=2000; 0.25*x+0.5*y<=1000; !2*x<=y; @gin(x);

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@gin(y); End

求解如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 10000.00 Objective bound: 10000.00 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost X 2000.000 -3.000000 Y 1000.000 -4.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 10000.00 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000

所以：此时生产2000L“老头乐”，1000L“娃娃乐”利润最大，最大利润为10000.00元。

但是，从常识看来，老人对这种饮料的需求不会多余小孩，因此上述生产分配是不合理的，极可能使 “老人乐”供过于求，导致市场价格走低，或者产品滞销，同时“娃娃乐”产量不足导致利润流失。所以应当考虑到市场需求对我们生产的指导作用，现在假设市场对“老人乐”和“娃娃乐”的需求比例小于1:2。

模型构建如下： Model2: max=3*x+4*y; 0.75*x+0.5*y<=2000; 0.25*x+0.5*y<=1000; 2*x<=y; @gin(x); @gin(y); End

求解如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 8800.000 Objective bound: 8800.000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0

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[社会科学中的数学课程论文]

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost X 800.0000 -3.000000 Y 1600.000 -4.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 8800.000 1.000000 2 600.0000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000

所以：在符合假定市场规律的前提下，我们应该生产800L“老人乐”和1600L“娃娃乐”以获得最大利润，此时最大利润为8800.00元。

这就是用lingo做的线性代数的最优解。

第三篇 统计（数字的艺术）

一、形状、匹配与人口

1.课本知识梳理：

形状结论：

（1）如果要改变物体的比例，就得改变物体的质量或形状。 （2）坠落：体积增大，从同一高度坠落的危险也增大。

（3）潜水：潜水时间应当与肺部的体积与肺部的面积的比值成正比。 （4）跳高：弹跳能力与肌肉的体积按比例相匹配。

（5）飞行：驻留在空中飞行所必需的能量正比于翅翼负荷，也就是说，取决于重量与翅膀面积的比。 人口问题结论：

（1） 数学上把单利计息成为线性增长，复利计息称为指数增长。 （2） 马尔萨斯人口模型：

（3） 生物繁衍到一个水平时，由于没有足够的能量源供应新的成员，一定要停止再行繁衍下去。 （4） 环境容量：那个环境能源能够支撑的极大生物幅员，记为M。

（5） 因此马尔萨斯中的增长率r应为r（1-生物幅员/环境容量）=r（1-P0/M），将这个r带入马尔

萨斯人口模型公式中就可以得到Logistic模型。

（6） Logistic模型也不是一个理想的描绘人口结构的模型。

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2.讨论：

作为生物学专业的学生来说，对于马尔萨斯人口模型以及Logistic模型这两种模型想必是很熟悉的。除此之外，在大一的高数课程学习中，小柯老师也给我们讲到过这两种模型，并做了相关的微分等。

那么我主要就是根据自己专业对这个进行一个讨论，那么其实学习生物的同学们应该都对生长曲线非常熟悉。一般说来，生长曲线不可能是呈现线性增长的，最标准的生长曲线是“S”型的，如下图所示。

这其实与马尔萨斯人口模型以及Logistic模型如出一辙，马尔萨斯强调的是指数型暴增，而Logistic模型更强调其速率同容量之间的距离相关，生长曲线是符合马尔萨斯人口模型以及Logistic模型的曲线的。生物在生长初期，由于基数不够大，生长速率较低，一旦达到一定数量以后，就呈现非常快的增长速度。然后一旦逐渐接近了生物容量以后，增长速率就逐渐降低了，虽然还是在增长，但是增长迟缓了许多。之后便无限接近容量值，但是不会超过。

那么这章，我们通过matlab这个软件来建立一个Logistic模型。

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输入指令如上图，得到如下图的Logistic模型图。

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第四篇 走向非线性

十、瓷砖拼装不简单

1.课本知识梳理：

拼装技术：要求石头或瓷砖正好严丝合缝地拼接在一起，既不留下空白，也不重叠。 单元拼装：只有一种基本元素的图案。

多元拼装：有两种或者两种以上的基本元素图案。 正规拼装：基本元素是正多边形。

棱对棱拼装：要求在拼装时各个基本元素的边与边完全吻合。

Tips：我们只能找到三种单元正规的棱对棱的拼装，其基本元素分别是正三角形、正四边形、正六边形。

半正规拼装：在基本元素图案里出现一种以上的正多边形的多元正规（棱对棱）拼装。

半正规拼装方法只有8种。能参与半正规拼装的基本元素图案只有5种，它们是正三角形、正方形、正六边形、正八边形和正十二边形。 Tips：正五边形无法构成全平面拼装。

总结：任何三边形和凸四边形瓷砖都可以构成全平面拼装；对于凸六边形瓷砖，至今已证明只有3种可以组成全平面拼装。此外，任何一种7边或多于7边的瓷砖均不能构成全平面拼装。 周期拼装： 非周期拼装：

断言：对于任何一个整数N，和式

S=

不可能是整数。

Tips：凡是能用来构成一个非周期拼装的基本元素图案，一定也可以用来构成一个周期拼装。

111

++?+ 23N2.讨论：

本章首先我们来对相关公式进行一个推导。 （1）首先我们知道一个正N边形的内角等于：

N?2

?180° N这个公式是怎么得出来的呢？我们看一下下面几个图。分别是正三角形、正方形、正五边形。

我们都知道三角形的内角和是180°，因此我们可以把正方形和正五边形分割一下。如下：

18

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如此，便分为两个三角形。因此我们可以很轻易的得知其内角和为360°。 同理，正五边形可分为以下这个样子：

分为了三个三角形，其内角和为540°。那我们可以推测一下，正六边形应该就是四个三角形，内角和为720°。因此，这个内角和公式，实质就是看多边形可以分为几个三角形。

每个多边形可分割成的三角形个数均为（N-2），因此内角和就是（N-2）*180°，这个公式可以适用于所有的凸多边形，不仅仅是正多边形，不规则的也可以。

因此，一个正多边形的一个内角就是

N?2

?180° N（2）每一个元素图案的顶点处，应当成立以下这个式子：

M（N?2）

?180°=360°

NM为此顶点处有的正N变形个数。一个顶点处的周角角度为360°，其可容纳M个正N边形，一个正N边形的其中一个角为

N?2

?180° N因此，在此顶点处，就应当满足公式

M（N?2）

?180°=360°

N

接下来，我们来进行拼装的相关图像欣赏

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这幅图是一个全平面拼装，利用了颜色差异和规则的图形，构成了视觉冲击。我们可以在图中找到许多简单的几何元素。例如菱形、正三角形、正方形、正六边形等。

十一、神秘的海岸线

1.课本知识梳理：

油烟：它是任何石油和煤不完全燃烧产生的黑色沉积物的总称，含有致癌物。 柯赫岛：面积总是有限的，但是它却又无限长的边界。面积

K=

维数：

??=????

其中，n表示体积放大倍数，s表示边长放大比例，则d就是几何体的维数。 用对数概念，对两边同时取对数，可以得到维数公式：

2 3 520

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d=

lgn lgs

2.讨论：

在学习了这章知识的时候，我意识到了一个我之前从来没有考虑过的问题。有些时候，对于不规则边长的物体，想要测量出边长总和，并不是无限放大物体，观察的越细致越好。在无限放大的过程中，边长会持续增加，越来越多的细节呈现，使得边长也在不断增加。

然后我认真的学习了一下这章后半部分的维数问题，虽然将这个公式类比到平面图形和三维立体图形时很好理解，但是一旦扩展到柯赫岛、康托尘、谢品斯基地毯和门格奶酪此类特殊问题上，就变得异常复杂。n和s很难快速准确的确定出来。

本章最后也说明了，这里的位数概念已经不像三维、四维空间那样有着非常明确的几何意义了。分数维数只是一种合理的定义，用来刻画一类新的几何现象，或者可以说是在刻画一些几何图形的表面的粗糙程度。

十二、混沌初开

1.课本知识梳理：

2.讨论：

在进入讨论前，需要说明一点，以下讨论

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（二）课本各章习题

第一篇 社会选择

四、你真懂得选举吗？

1.（1）首先丙只有25票，先被淘汰，留下选择A、B的甲乙，丙组的人第二选择为B，因此B有60票，获得胜利。

（2）首先丙只有25票，先被淘汰，留下选择A、B的甲乙，丙组的人第二选择为B，因此B有60票，获得胜利。

（3）计算得分如下：

A=3*40%+2*20%+1*40%=1.2+0.8=2 B=3*35%+2*65%=1.05+1.3=2.35

C=3*25%+2*15%+1*60%=0.75+0.3+0.6=1.65 由积分可以看出，B得分最高，因此B获胜。 （4）A PK B A得票为40，B 为60，B获胜 A PK C A得票为60，C为40，A获胜 B PK C B得票为75，C为25，B获胜

由此可以看出，B与A、C两两对决时均取得了胜利，因此B为鹰派赢家。

（5） 若在1、2中，无论甲和丙使用何种策略，都无法保证自己胜出，而在3中，甲组里有5个

人第二选择为B，其余35个人转投C为第二选择，就可以使得三组得分均为2打成平手。而在4中，如果甲第二选择全部是C，就会导致没有鹰派赢家。

2.首先提出伪修正案M（以N的目的为目的，但是更为极端），以M替代N，此时3人中或许会有一人a是反对M的，进行票选，自己投M，所以加上自己一共有三人同意M，因此M进入选举提案。此时再在M与O中票选，自己改投O的票，a与自己一共两票投给O，因此，M没有得到三票，被否决。

3．（1）在多数原则下A当选。

（2）票最高两位为AB，由于选C的人中有30个人第二选择为A，所以，当第二轮时，A得68票，B得32票，少于A，故A当选。

（3）A

（4）在第一轮票选时，10人投票给B，使得B比C得票多进入第二轮，第二轮再改投给A，加上30人，第二轮选举为A，故A大比分获胜。

4.（1）得分如下，

申花=3*52%+2*38%+1*10%=2.42 太阳神=3*38%+2*62%=2.38 万达=3*10%+1*90%=1.2

由得分可以看出，申花将获此殊荣。

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（2）这样会使得申花得分为3*52%+1*48%=2.04； 万达=3*10%+2*38%+1*52%=1.58 由此可以看出，太阳神将获此殊荣。

（3）他们只需要有40人把第二选择全都改成万达，其余12人依旧选择太阳神为第二选择即可。 太阳神=1.98 万达=1.98

而申花得分为2.04，由此可以看出申花将获此殊荣。

5.（1）中=2+4+4+3+1=14 德=4+3+2+2=11 美=1+3+3+4+1=15

因此，美国获得冠军，中国队亚军，德国队季军。 （2）中=1+3+3+2=9 德=3+2+1+1=7 美=2+2+3=7

因此，中国获得冠军，德国与美国并列亚军。 （3）第一种记分：中=4+4+4+1+3=16 德=2+2=4 美=3+3+3+4+1=17

所以，美国获得冠军，中国队亚军，德国队季军。 第二种记分： 中=3+3+3+2=11 德=1+1=2 美=2+2+2+3=9

因此，中国获得冠军，美国获得亚军，德国季军。

6.A首先被淘汰。 紧接着B淘汰 然后淘汰C 接着E淘汰

最后留下了D，因此D为赢家。

7.（1）三人各选择一个，不会有结果。

（2）再用波分计分法，加上第二选择，甚至第三选择，依然不会有结果。（3）主席即使有权利随时停止，但是仍然不能使他想选择的a脱颖而出。

五、怎样看待权力？

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1.根据二项展开式：

可以把2^n看成（1+1）^n

而n个元素的子集里面所含的元素数目可以是从0到n。

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012n因此子集数目应该是Cn+Cn+ Cn+??+ Cn=2

n

六、公平分配与小数（详细见excel文档：第六章作业）

1.（1）

A B C 房屋 145000 149999 165000 地皮 135000 130001 128000 农具 110000 80000 127000 公平分配 1估价总和 390000 360000 420000 2公平分享 130000 120000 140000 3实物分享 地皮 房屋、农具 4余额 -5000 120000 -152000 5全附加 37000 6附加分享 12333.33333 7分配结果 实物 地皮 房屋、农具 现金 7333.333333 132333.3333 -139666.67

2) A B C 房屋 145000 149999 165000 地皮 135000 130001 128000 农具 110000 80000 127000 公平分配 1估价总和 390000 360000 420000 2公平分享 195000 108000 84000 3实物分享 地皮 房屋、农具 4余额 60000 108000 -208000 5全附加 40000 6附加分享 13333.33333 7分配结果 实物 地皮 房屋、农具 现金 73333.33333 121333.333 -194666.7

3) A B C 房屋 145000 149999 165000 地皮 135000 130001 128000 25

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农具 110000 80000 127000 公平分配 1估价总和 390000 360000 420000 2公平分享 195000 90000 105000 3实物分享 地皮 房屋、农具 4余额 60000 90000 -187000 5全附加 37000 6附加分享 12333.3333 7分配结果 实物 地皮 房屋、农具 现金 72333.3333 102333.3333 -174666.67 2.（1）

产业 E F G 字画 18 15 15 铜器 18 24 20 陶器 16 12 16.5 文物 14 15 13.5 房屋 24 18 22 公平分配 1估价总和 90 84 87 2公平分享 30 28 29 3实物分享 字画、房屋 铜器、文物 陶器 4余额 -12 -11 12.5 5全附加 10.5 6附加分享 3.5 7分配结果 实物 字画、房屋 铜器、文物 陶器 现金 -8.5 -7.5 16

2）产业 E F G 字画 18 15 15 铜器 18 24 20 陶器 16 12 16.5 文物 14 15 13.5 26

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房屋 24 18 22 公平分配 1估价总和 90 84 87 2公平分享 45 21 21.75 3实物分享 字画、房屋 铜器、文物 陶器 4余额 3 -18 5.25 5全附加 9.75 6附加分享 3.25 7分配结果 实物 字画、房屋 铜器、文物 陶器 现金 6.25 -14.75 8.5

3）产业 E F G 字画 18 15 15 铜器 18 24 20 陶器 16 12 16.5 文物 14 15 13.5 房屋 24 18 22 公平分配 1估价总和 90 84 87 2公平分享 45 28 14.5 3实物分享 字画、房屋 铜器、文物 陶器 4余额 3 -11 -2 5全附加 10 6附加分享 3.33333333 7分配结果 实物 字画、房屋 铜器、文物 陶器 现金 6.33333333 -7.66666667 1.33333333

3.d=10000/100=100

人数 百分比 百分比（整） 调整 哈 镇 8785 87.850% 88 90 89 村1 126 1.260% 1 1 2 村2 125 1.250% 1 1 1 27

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村3 村4 村5 村6 村7 村8 村9 村10 合计

124 123 122 121 120 119 118 117 10000 1.240% 1.230% 1.220% 1.210% 1.200% 1.190% 1.180% 1.170% 1 1 1 1 1 1 1 1 1 98 1 1 1 1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1 1 1 1 100 成人员 数 i pi 97 98 99 100 101 102 d的值 103 104 105 106 107 108 109 整分方法 11杰 威 亚 0 908988878686858483828281807987988镇 .5.6.7.8.9.1.2.4.6.8.1.3.6.885 0 9 0 7 4 4 5 8 3 9 7 7 8 0 4 0 6 村121.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 2 2 1 6 30 29 27 26 25 24 22 21 20 19 18 17 16 15 村121.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 1 2 2 5 29 28 26 25 24 23 21 20 19 18 17 16 15 14 村121.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 1 2 3 4 28 27 25 24 23 22 20 19 18 17 16 15 14 13 村121.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 1 2 4 3 27 26 24 23 22 21 19 18 17 16 15 14 13 12 村121.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 1 2 5 2 26 24 23 22 21 20 18 17 16 15 14 13 12 11 村121.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 1 2 6 1 25 23 22 21 20 19 17 16 15 14 13 12 11 10 村121.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 1 2 7 0 24 22 21 20 19 18 17 15 14 13 12 11 10 09 村111.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 1 2 8 9 23 21 20 19 18 17 16 14 13 12 11 10 09 08 村111.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 1 2 9 8 22 20 19 18 17 16 15 13 12 11 10 09 08 07 村111.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 1 2 10 7 21 19 18 17 16 15 14 13 11 10 09 08 07 06 110杰 和 99 98 97 96 96 95 94 93 92 92 91 90 89 00 0 威 和 1010199 98 97 96 95 94 94 93 92 91 91 90 1 0 0 28

[社会科学中的数学课程论文]

0 11111101010101010101010101010亚 和 01 0 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 1 0

（3）亚当斯法与配额条件相违背。镇的配额明显少于应有配额。

4.（1）女秘书用的是亚当斯法。 （2）杰：d=194 威：d=198 亚：d=206

第二篇 谋求最优化

二、排好您的时刻表 （详细见excel文档：第二章作业）

0 29

[社会科学中的数学课程论文]

3.(a)主要矛盾线为CFG 假定启动两条流水线。

C B E F A D G

共计用时36. （b）主要矛盾线BEG 假定启动两条流水线。

B A D G I C E F H 共计用时38.

（c）主要矛盾线ACEG/ACFH

A D E G B C F H 共计用时34.

4.（1）主要矛盾线是AFG/CEG

C E G A F H

B D

假定三条流水线。

其中CEG缩短，加工时间就会缩短。而ABFDH都不具备。 （2）A或E 5.（1）

A E G K B F C D I J

用时31. (2)

A C E H K B D F G I J 用时45. 6.(1)

A F G

B E H C D

(2)

B A E D C G F H

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[社会科学中的数学课程论文]

三、储藏室问题

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[社会科学中的数学课程论文]

七、邮递员与网络

4.（1）7条。

（2）6条。

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（3）9条。

（4）10条

5.（1）4*100+400=800 （2）6*100=600

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八、推销员与网络

1.（1）扇形与mn无关。 （2）m，n中至少有一个为偶数。

5.由于（b）（d）已经不是回路了，没办法用克鲁斯卡方法消棱，因此只对（a）（c）进行修改。如下：

九、配料与利润

1.（1）P=700

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[社会科学中的数学课程论文]

（2）P=200 （3）P=940

2.（1）P=2450 （2）P=1750 （3）P=2600

3. 200*x+100*y<=1400; x,y是整数;

4.利用lingo求解线性规划： 模型如下： model: max=10*x+13*y; 0.5*x+0.4*y<=800; 0.1*y<=40; @gin(x); @gin(y); end

求解如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 18000.00 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost X 1280.000 0.000000 Y 400.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 18000.00 1.000000 2 0.000000 20.00000 3 0.000000 50.00000 所以：生产1280箱梳打饼干，400箱甜饼干获利最大为18000.00元。

5.利用lingo求解线性规划： 模型如下： model:

max=5000*x+2500*y; 40*x+10*y<=100; 180*x+150*y<=660;

35

[社会科学中的数学课程论文]

@gin(x); @gin(y); End

求解如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 15000.00 Objective bound: 15000.00 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 1

Variable Value Reduced Cost X 2.000000 -5000.000 Y 2.000000 -2500.000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 15000.00 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 所以：生产2令A纸，2令B纸即可获利最大，最大利润为15000.00元。

6.利用lingo求解线性规划： 模型如下：

1）当医院追求最大利润时： Model1:

max=3*x*7+7*5*y; 10*x+5*y<=62500/7; 5*x+25*y<=11000/7; 5*x+10*y<=5000/7; @gin(x); @gin(y); End

求解如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 2982.000 Objective bound: 2982.000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 1

36

[社会科学中的数学课程论文]

Variable Value Reduced Cost X 142.0000 -21.00000 Y 0.000000 -35.00000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 2982.000 1.000000 2 7508.571 0.000000 3 861.4286 0.000000 4 4.285714 0.000000 2）当医院追求最大服务能力时： Model2: max=7*x+7*y; 10*x+5*y<=62500/7; 5*x+25*y<=11000/7; 5*x+10*y<=5000/7; @gin(x); @gin(y); End

求解如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 994.0000 Objective bound: 994.0000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost X 142.0000 -7.000000 Y 0.000000 -7.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 994.0000 1.000000 2 7508.571 0.000000 3 861.4286 0.000000 4 4.285714 0.000000

所以：医生每天工作x*5=710min，护士每天工作x*10=1420min,化验室每天工作x*5=710min,即可在服务能力最大化的同时最大化收益，最大收益为2982.00元。

7.在我们没有考虑市场需求是，为获得最大利润，利用lingo求解过程如下：

37

[社会科学中的数学课程论文]

模型： Model1: max=3*x+4*y; 0.75*x+0.5*y<=2000; 0.25*x+0.5*y<=1000; !2*x<=y; @gin(x); @gin(y); End

求解如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 10000.00 Objective bound: 10000.00 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost X 2000.000 -3.000000 Y 1000.000 -4.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 10000.00 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000

所以：此时生产2000L“老头乐”，1000L“娃娃乐”利润最大，最大利润为10000.00元。

但是，从常识看来，老人对这种饮料的需求不会多余小孩，因此上述生产分配是不合理的，极可能使 “老人乐”供过于求，导致市场价格走低，或者产品滞销，同时“娃娃乐”产量不足导致利润流失。所以应当考虑到市场需求对我们生产的指导作用，现在假设市场对“老人乐”和“娃娃乐”的需求比例小于1:2。

模型构建如下： Model2: max=3*x+4*y; 0.75*x+0.5*y<=2000; 0.25*x+0.5*y<=1000; 2*x<=y; @gin(x); @gin(y);

38

[社会科学中的数学课程论文]

End

求解如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 8800.000 Objective bound: 8800.000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost X 800.0000 -3.000000 Y 1600.000 -4.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 8800.000 1.000000 2 600.0000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000

所以：在符合假定市场规律的前提下，我们应该生产800L“老人乐”和1600L“娃娃乐”以获得最大利润，此时最大利润为8800.00元。

第三篇 统计（数字的艺术）

一、形状、匹配与人口

1.（1）若其身高减半，估计体重也减半为100千克。 （2）假定体重与身高正比相关。 （3）60平方厘米=0.006平方米 P=200/0.006=33333.33千克/平方米 （4）M=10*200=2000千克

15000

3.（1）P==6997.62元

(1+10%)815000

（2）P==8104.04元

(1+8%)8

39

[社会科学中的数学课程论文]

7.（1）P=30(1+2.4%)^10=38.03亿 （2）P1=30(1+2.4%)^5=33.78亿

P2=33.78(1+2%)^5=37.30亿

（3）P=30（1

+2.4%?（1?

112

））=37.29亿

10

第四篇 走向非线性

十、瓷砖拼装不简单

2.（1）由于三角形内角和为180°，因此，不论其单个的角度为多少度，都可以凑成180°的整数，所以可以拼出360°的整数，所以可以全平面拼装。

（2）同理，由于四边形内角和为360°，因此，不论其单个的角度为多少度，都可以凑成360°的整数，所以可以全平面拼装。

（3）有两对对边平行，可以构成一个全平面拼装。

我们可以将这个六边形，如上图切割，相互平行的边上一点向另一边做垂线。形成一个五边形以及一个四边形。我们看左边的五边形，由于做垂线，可以得知两个角分别为90°，其和为180°。而我们又知道，五边形的内角和为540°，因此，本身就为六边形上的三个角的和就为540°-180°，等于360°，由于是360°的整数倍，因此，不论如何都可以用这三个角构成全平面拼装。

（4）因为这个五边形有一对对边平行，我们可以做如下切割。相互平行的边上一点向另一边做垂线，形成一个五边形和一个三角形。

我们看左边的五边形，由于做垂线，可以得知两个角分别为90°，其和为180°。而我们又知道，五边形的内角和为540°，因此，本身就为五边形上的三个角的和就为540°-180°，等于360°，由于是360°的整数倍，因此，不论如何都可以用这三个角构成全平面拼装。

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