初等数论 文档

02013 初等数论

江苏教育学院编

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

第一章 整数的可除性

一、自学要求

（一）掌握整除的基本概念，会使用带余数除法和辗转相除法。

（二）掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，会求最大公因数和最小公倍数。

（三）掌握质数的性质和算术基本定理，会用筛选法求不超过给定正整数的质数。

（四）掌握数论函数［x］的概念，会求 N！的标准分解式。

二、考试内容

（一）整除性，带余数除法，辗转相除法。

（二）最大公因数，最小公倍数，质数及其性质，算术基本定理，筛选法。

（三）数论函数［x］，N！的标准分解式。

第二章 不定方程

一、自学要求

（一）掌握二元一次不定方程有解的充要条件，熟练掌握二元一次不定方程的解法。

（二）了解多元一次不定方程有解的充要条件，掌握三元一次不定方程的解法。

（三）了解勾股数，掌握不定方程 x2 + y2 = z2的正整数解的表示方法。

二、考试内容

（一）二元一次不定方程。

（二）多元一次不定方程，三元一次不定方程。

（三）勾股数，不定方程 x2 + y2 = z2。

第三章 同余

一、自学要求

（一）掌握同余的定义，理解并熟练掌握同余与整除的关系、同余的基本性质及其在算术中的应用。

（二）掌握剩余类与完全剩余系的定义和性质结构。

（三）掌握欧拉函数与简化剩余系。

（四）熟练掌握欧拉定理和费马定理的推导及其对循环小数的应用。

二、考试内容

（一）同余的定义，同余的基本性质，同余的应用。

（二）剩余系，完全剩余系。

（三）欧拉函数，简化剩余系。

（四）欧拉定理，费马定理，循环小数。

第四章 同余式

一、自学要求

（一）掌握同余式及其解的定义，掌握一次同余式有解的充分必要条件，熟练掌握一次同余式的解法。

（二）掌握孙子定理的推导，能熟练利用孙子定理解一次同余式组。

（三）了解高次同余式的解数，掌握质数模的高次同余式的解法。

二、考试内容

（一）一次同余式的概念及解法。

（二）孙子定理，一次同余式组。

（三）高次同余式，质数模的高次同余式。

第五章 二次同余式与平方剩余

一、自学要求

（一）掌握平方剩余和平方非剩余的定义，熟练掌握欧拉判别法，掌握单质数模同余式的平方剩余和平方非剩余。

（二）掌握勒让德符号的定义，理解掌握勒让德符号的性质及推导，熟练掌握几个基本勒让德符号的值，熟练掌握二次反转定律。

（三）掌握雅可比符号的定义和性质，理解雅可比符号与勒让德符号的关系，熟练掌握雅可比符号的计算。

（四）了解合数模二次同余式有解的条件及解的个数。

二、考试内容

（一）二次同余式，平方剩余，平方非剩余，欧拉判别法，单质数模二次同余式。

（二）勒让德符号，二次反转定律。

（三）雅可比符号，合数模二次同余式。

第六章 原根和指标

一、自学要求

（一）掌握指数和原根的概念，掌握指数的基本性质。

（二）掌握模存在原根的充要条件，会求最小正原根。

（三）掌握指标和指标组的概念、性质，会构造模的指标组表。

二、考试内容

（一）指数的概念，指数的基本性质。

（二）模存在原根的重要条件，最小正原根。

（三）指标和指标组的概念、性质及应用。

第七章 连分数

一、自学要求

（一）掌握连分数的概念，熟练掌握渐近分数的概念和计算。

（二）了解简单连分数和实数的关系，会把实数表成简单连分数。

（三）了解循环连分数的概念及计算。

二、考试内容

（一）连分数，简单连分数，渐近分数的概念与计算。

（二）无限简单连分数，循环连分数的概念。

第八章 代数数和超越数

一、自学要求

（一）掌握代数数和代数整数的概念，会判断一个数是否为代数数或者代数整数。

（二）了解幺数、相伴和质代数整数的概念，会进行质代数整数的分解。

二、考试内容

（一）代数数和代数整数的概念和判定。

（二）幺数，相伴，质代数整数，质代数整数的分解。

第九章 数论函数和质数分布

一、自学要求

（一）掌握可乘函数的定义和性质，会判定数论函数是否为可乘函数，掌握默比乌斯函数的定义，掌握除数函数的定义和计算。

（二）了解质数的分布情况。

二、考试内容

（一）可乘函数的定义和性质，默比乌斯函数的定义。

（二）整数的因数和的计算，除数函数的计算。

自学教材：

本课程使用教材为：

《初等数论》（第三版），闵嗣鹤、严士健编，高等教育出版社，2003年。

参考教材：

《初等数论》，洪修仁编著，成都科技大学出版社，1997年。

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