数列求通项

数列求通项

【教学目标】

一、知识目标

1、解决形如Sn?f(n)、 Sn?f(an)、 Sn?1?Sn.f( n、) Sn?1?Sn?f(n)、通项公式的确定。 an+1?pan?f(n)(其中p是常数） 2、通过学习让学生掌握和理解几种类型的通项公式的求法。 二、能力目标

在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导入数列通项公式，培养学生类比思维能力。通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力。 三、情感目标

通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。 【教学重点】

通过学习让学生能够熟练准确的掌握通项公式的求法，并能解决实际问题。 【教学难点】

1、 如何将an+1?pan?f(n)转化为我们熟悉的等差和等比数列。

2、 理解和掌握an+1?pan?f(n)此类型的数列通项公式确定的数学思想方法。 【考点分析】

高考对数列的考察重点是等差、等比数列的定义，通项公式，以及前n项和的灵活运用。解答题中，大部分的数列题目都会要求先求出通项公式，因此掌握数列通项公式的求法是解决数列题目的关键。 【知识点梳理】

(n?1),?S 1、已知Sn?f(n)、 Sn?f(an)求数列通项公式用an=?1(n?2).?Sn?Sn?12、已知?a1?a?求数列通项公式用累加法

?an?1?an?f?n??a1?a?3、已知?an?1求数列通项公式用累乘法

?f?n???an4、已知an?1?pan?q求数列通项公式

1：可转化为an?1?an?p?an?an?1??n?2?令bn?an?1?an，则{bn}成等比数列； 2：可转化为an?1?k?p(an?k)，则?an?k?为等比数列 【典型例题】

题型一 利用公式法求通项

【例1】已知Sn为数列?an?的前n项和，求下列数列?an?的通项公式： ⑴ Sn?2n2?3n?1； ⑵Sn?2n?1.

【解题思路】已知关系式f(Sn,an,n)?0，可利用an??列通项的一个重要公式.

2【解析】⑴当n?1时，a1?S1?2?1?3?1?1?4，

（?S1n?1)，这是求数?Sn?Sn?1(n?2)当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2n2?3n?1)?2(n?1)2?3(n?1)?1?4n?1. 而n?1时，4?1?1?5?a1，?an?????4(n?1).

?4n?1(n?2)⑵当n?1时，a1?S1?2?1?3，

当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2n?1)?(2n?1?1)?2n?1.

1?1而n?1时，2?1?a1，?an???3(n?1). n?1?2(n?2)

【变式练习】

1.已知Sn为数列?an?的前n项和， Sn?3an?2(n?N?,n?2)，求数列?an?的通项公式.

【解析】当n?1时，a1?S1?3a1?2?a1??1，

当n?2时，an?Sn?Sn?1?(3an?2)?(3an?1?2).?2an?3an?1?an3? an?1233??an?是以为公比的等比数列，其首项为a1??1，?an??1?()n?1.

22

【方法与技巧总结】

任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an??若a1适合an，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.

【例2】若数列{an}的前n项和Sn??S1(n?1)

?Sn?Sn?1(n?2)21an?，则{an}的通项公式是an?_________. 33【解题思路】利用等差数列的判定方法⑴定义法；⑵中项法.

【方法与技巧总结】

判断或证明数列是等差数列的方法有：

⑴定义法：an?1?an?d（n?N?，d是常数）??an?是等差数列； ⑵中项法：2an?1?an?an?2(n?N?)??an?是等差数列； ⑶通项公式法：an?kn?b（k,b是常数）??an?是等差数列；

⑷前n项和公式法：Sn?An2?Bn（A,B是常数，A?0）??an?是等差数列.

题型二 、三应用迭加（迭乘、迭代）法求通项

【例1】⑴已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，求数列?an?的通项公式；

⑵已知Sn为数列?an?的前n项和，a1?1，Sn?n2?an，求数列?an?的通项公式.

【解题思路】⑴已知关系式an?1?an?f(n)，可利用迭加法或迭代法；

⑵已知关系式an?1?an?f(n)，可利用迭乘法.

【解析】⑴方法1：（迭加法）

?a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，?an?an?1?2n?1 ?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

?(2n?1)?(2n?3)?(2n?5)???5?3?1?n(2n?1?1)?n2

2方法2：（迭代法）?a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，

?an?an?1?2n?1?an?2?2(n?1)?2n?1

?an?3?2(n?2)?2(n?1)?2n?1??

?1?3?5???2(n?2)?2(n?1)?2n?1?n2，?an?n2.

⑵?a1?1，Sn?n2?an，?当n?2时，Sn?1?(n?1)2?an?1

?an?Sn?Sn?1?n2an?(n?1)2an?1?ann?1. ?an?1n?1?

an?anan?1an?2aa?????3?2?a1an?1an?2an?3a2a1?

n?1n?2n?3212???????1?.n?1nn?143n(n?1)

【变式练习】

已知数列?an?中，a1?2,(n?2)an?1?(n?1)an?0(n?N?)，求数列?an?的通项公式.

【解析】由(n?2)an?1?(n?1)an?0得，

an?1n?1 ?ann?2?

an?anan?1an?2aa?????3?2?a1an?1an?2an?3a2a1?

nn?1n?2324???????2?. n?1nn?143n?1【方法与技巧总结】

⑴迭加法适用于求递推关系形如“an?1?an?f(n)”； 迭乘法适用于求递推关系形如“an?1?an?f(n)“；⑵迭加法、迭乘法公式：

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

an?

anan?1an?2aa?????3?2?a1. an?1an?2an?3a2a1题型三：设数列{an}的首项a1?(0,1)，an=

（?）求{an}的通项公式。

3?an?1，n=2、3、4?? 2

1的等比数列 23?an?1113即an?p=?(an?1?p) 整理得：an=?an?1?p满足an=

2222331得 ?p= ∴p=-1 即新数列?an?1?首项为a1?1，q??的

2221n?11n?1（?）（?）等比数列 ∴an?1=(a1?1 故 an=(a1?1+1 ））22解：构造新数列?an?p?，使之成为q??

题型四：倒数法

例：已知满足an?1?

已知数列?an?满足an?1?an，{an}的通项公式是_______________.

2an?1（1）求?an?的通项公式；

2an1?（n?N)，a2011?.

2011an?222bn?1?bn4c?(n?N*)，求证： （2）若bn??4023，且n2bn?1bnan

【方法与技巧总结】

c1?c2???cn?n?1.

原数列{an}既不等差，也不等比。若把{an}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出an。该法适用于递推式形如an?1=ban?c或an?1=ban?f?n?或an?1= ban?cn其中b、c为不相等的常数，f?n?为一次式。

【巩固练习】

1.等差数列?an?中, a2?9,a5?33,则?an?的通项公式为 ．

2.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……

试用 n表示出第n个图形的边数．

3.已知数列?an?是等差数列，且a1?2,a1?a2?a3?12，求数列?an?的通项公式．

4.已知数列{an}满足a1=

5.已知数列?an?满足a1?1,an?an?1?3n?1(n?2)，求?an?的通项公式．

6. 数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an?1?2Sn ( n∈N),求{an}的通项公式。

7.数列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b，求数列?an?的通项公式．

?

2nan，求an。 ，an?1?3n?1

8.已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*). （I）证明：数列?an?1?an?是等比数列； （II）求数列?an?的通项公式．

9.数列{an}的前项的和Sn=

1?（an-1） (n?N)． 3(1)求a1；a2；

(2)求证数列{an}为等比数列．

10.数列{an}的前

n

项和为Sn，且Sn?3(an?1)，数列{bn}满足213bn?bn?1?(n?2),b1?3

44（I）求数列{an}与{bn}的通项公式

（II）设数列{cn}满足cn?an?log2(bn?1)，其前n项和为Tn，求Tn

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