线性代数与空间解析几何（电子科技大）课后习题答案第三单元

习题3.11.写出下列平面的方程:(1)过点M(1,1,1)且平行于平面?:-2x?y-z?1?0;(2)过点M1(1,2,0)和M2(2,1,1)且垂直于平面?:y?x?1?0;(3)过z轴且与平面2x?y-5z?0的夹角为?3.?解:(1)所求平面与?平行,故其法向量n???2,1,?1?,由点法式方程, 所求平面方程:?2(x?1)?(y?1)?(z?1)?0,即:2x?y?z?2?0?????(2)法一:设所求平面的法向量为n,则由已知条件n垂直于平面?的法向量n0?{?1,1,0}???ijk??????????? 与M1M2?{1,?1,1},?n??110?i?j1?11 由点法式方程,所求平面方程为(x?1)?(y?2)?0,即x?y?3?0法二:设所求平面方程为Ax+By+Cx+D=0将M1,M2的坐标代入,且由向量{A,B,C}与平面?A?2B?D?0???? ?的法向量n0?{?1,1,0}垂直得方程组?2A?B?C?D?0??A?B?0? 解得A?B?? -1313D,C?0,所求平面方程为Dy?D?0,即x?y?3?0.Dx?13(3)因平面过z轴,故可设其方程为Ax?By?0,因其与已知平面的夹角为?3,????? ?其法向量n?{A,B,0}与已知平面的法向量n0?{2,1,?5}的夹角为,3????n?n0?2A?B1???? ?cos???,2232||n||?||n0||10?A?B ?6A?16AB?6B22?0,即A?13B或?3B ?平面x?3y?0或3x-y?0为所求.2.下列图形有何特点?画出其图形. (1)2z?3?0;(2)y?0;(3)3x?4y?z?0.解:(1)平面平行于xOy面,图形如下图.

(2)与xOz面重合,图形如下图. (3)平面过原点,其图形如下图.3.由原点向平面作垂线,垂足为(x0,y0,z0),求此平面的方程.解:连结(x0,y0,z0)点与原点的向量{x0,y0,z0},可作为平面的法向量, 由平面的点法式方程得: x0(x?x0)?y0(y?y0)?z0(z?z0)?0,即 x0x?y0y?z0z?x0?y0?z0为所求平面方程.4.平面过点A(?2,3,0),B(1,?1,2)且与向量a?(4,5,1)平行,求此平面的方程.?????解法一:平面的法向量n与AB?{3,?4,2}与a垂直,???ijk???????? ?n?a?AB?451?14i?5j?31k,由点法式方程得3?42222 14(x?2)?5(y?3)?31z?0 即14x?5y?31z?43?0.解法二:设平面的一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,将A,B坐标代入,?-2A?3B?D?0? 并由其法向量{A,B,C}与a垂直可得方程组?A?B?2C?D?0,?4A?5B?C?0?14?A?D?43?5? 解得?B??D.43?31?C??D?43?由此得平面方程:14x?5y?31z?43?0.5.求以平面xa?yb?zc?1与三坐标轴的交点为顶点的三角形面积.解法一:设原点为O,平面与坐标轴的三个交点为A,B,C,则四面体OABC的体积 V?16|abc|,平面ABC上的高为O到平面的距离d?11a2?1b2?1c2,

??ABC的面积 S?3Vd?12bc?ac?ab.222222解法二:设所求平面与三个坐标轴的交点为A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),???????? 则AB?{?a,b,0},AC?{?a,0,c},则?ABC的面积???ijk???????????111 S?||AB?AC||??ab0?||bci?acj?abk||222?a0c ?12bc?ac?ab2222226.平面?过点M(2,0,?8)且与二平面x?2y?4z?7?0,3x?5y?2z?3?0都垂直,求?的方程.???????解法一:所求平面的法向量n与两已知平面的法向量n1,n2都垂直,???ijk?????????? ?n?n1?n2?1?24??16i?14j?11k,35?2 由点法式方程得所求平面方程为 16(x-2)-14y-11(z?8)?0,即16x-14y-11z-120?0.解法二:设所求平面的一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,将点M的坐标代入,?????? 由其法向量与两已知平面的法向量n1,n2垂直可得方程组16?A??D?120?14?解得?B?D120?11?C?D?120??2A?8C?D?0? ?A?2B?4C?0?3A?5B?2C?0??所求平面方程为16x?14y?11z?120?0

7.求由平面?1:x?3y?2z?5?0与?2:3x?2y?z?3?0所成二面角的平分面方程.解法一:设平面上任一点的坐标为(x,y,z),则由平面上任一点到两已知 平面的距离相等得: |x-3y?2z-5|14?13x?2y?z?3114, 从而得所求平面方程为: 2x?y?3z?8?0,或4x?5y?z?2?0.解法二:过平面?1,?2的交线的平面束方程为 (3??)x?(2?3?)y?(2??1)z?3?5??0.? 由于它为?1,?2的平分面,因此其法向量n与?1,?2的法向量有相等的夹角. 得 |(3??)?3(2?3?)?2(2?-1)||3(3??)?2(2?3?)?(2??1)|???14?||n||14?||n|| 解得??1或?1, 因此,所求平面方程为4x-5y?z-2?0或2x?y-3z?8?0.

习题3.41.对于直线?x?1??? l1:?y??1?2?,与l2?z???(1)证明:l1//l2;(2)求l1与l2的距离;(3)求l1与l2所确定的平面方程.??解:(1)l1的方向向量s1?{1,2,1},l2的方向向量???ijk???????? s2?2?10?{2,4,2},s2?2s1,01?2????? ?s1//s2,得l1//l2. (2)法一:在l2上找一点A(1,-3,0),过该点作垂直于l2的平面 (x?1)?2(y?3)?z?0,即x?2y?z?5?0, 将l1的参数方程代入 1???2?4????5?0, 解得???23,从而得平面与l1的交点?2x?y?5?0:??y?2z?3?0172 B(,-,-).333 则A与B的距离|AB|?233为所求.????法二:在l1上找一点C(1,?1,0),l2上找一点A(1,-3,0),设AC与l1的夹角为?,则???????s1?AC?421????? cos????,而sin??,||s1||?||AC||2663????2 则所求距离d?||AC||sin??3.3(3)法一:在l1上找一点C(1,?1,0),l2上找一点A(1,-3,0),则平面的法向量???ijk??????? n?s1?AC?121?{2,0,?2},0?20 由点法式方程得2(x-1)-2z?0,即x-z-1?0为所求. 法二:在l1上找两点C(1,?1,0),D(0,?3,?1),l2上找一点A(1,?3,0)

设平面的一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,将A,C,D的坐标代入得方程组?A?3B?D?0? ?A?B?D?0解得??3B?C?D?0? 从而得平面方程x?z?1?0.?A??D??B?0?C?D?2.证明:二直线?2x?y?3z?3?0 l1:?与l2?x?10y?21?0?2x?y?0:??7x?z?6?0 相交,并求出l1与l2的交点,夹角以及l1与l2所确定的平面.???ijk????解法一:l1的方向向量s1?2?13?{?30,3,21},取s1?{?10,1,7},1100??? 在l1上找一点A(21,0,?15),l2的方向向量s2?{1,2,?7}, l2上找一点B(0,0,6) 从而得l1与l2的参数式方程?x?21?10?? l1:?y??,l2?z??15?7???x???:?y?2?,令?z?6?7???21?10?1??2???1?2?2 解得?1?2,?2?1,分别代入l1,l2的参数方程得(1,2,?1)为l1,l2的交点?????1919 cos?l1,l2??cos?s1,s2??,??l1,l2??arccos,3030?????? 平面的法向量n?s1?s2?{?21,?63,?21}? 取n?{1,3,1},得平面方程(x-21)?3y?(z?15)?0,即x?3y?z-6?0.?????????????????????解法二:s1,s2,A,B同上,则由s1,s2,AB?0,知l1与l2共面,而s1//s2,?l1与l2?? 相交,将l2的参数式方程代入l1的第一个方程解得??1,从而得交点 坐标(1,2,-1),其余同解法一.

3.求与平3.求与平面2x-3y-6z?14?0平行,且与坐标原点的距离为5的平面方程.解法一:由已知条件可设平面的一般式方程为2x-3y-6z?D?0, 原点到平面的距离 d?|D|49?5,得D??35,????解法二:设原点到平面垂线的垂足为A(x,y,z),由OA与已知平面法向量 平行可设????????5 OA?{2k,?3k,?6k},由||OA||?7|k|?5,得k??,71530??10 ?A的坐标为??,?,??,777?? 由点法式方程得平面方程 2(x?107)-3(y?157)-6(z?307)?0,即2x-3y-6z?35?0. ?平面方程为2x?3y?6z?35?0?x?y?4z?12?04.求点M(3,1,?4)关于直线l:?的对称点.?2x?y?2z?3?0??ij?解法一:设对称点的坐标为A(x,y,z),l的方向向量s?1?121?k?4?{6,?6,3}?2? 取s?{2,?2,1},过M作垂直于l的平面?为:2(x-3)-2(y-1)?(z?4)?0,即 2x-2y?z?0. 在l上找一点B(-5,7,0),得l的参数式方程?x?2?-58 ?代入平面?,得??,3?y??2??7158x?31y?15z?48 从而l与?的交点(,,)为MA的中点,即?,?,?,333232323158 从而l与?的交点(,,)为MA的中点,即333 x?32?1y?15z?48,?,?,从而32323

得对称点坐标(-7728,,).333????x?3y?1z-4解法二:设对称点为A(x,y,z),由MA的中点(,,)在l上及MA222?x?y?4z??42?? 与l的方向向量s?{2,?2,1}垂直可得方程组?2x?y?2z??21,?2x?2y?z?0?7?x???3?77728? 解得?y?,得对称点为(?,,).3333?28?z??3?5.求点P(3,1,2)在直线l:x?3t,y?t?1,z?t?1上的投影P?,并求点P到l的距离d.解法一:过点P作垂直于l的平面,其方程为3(x-3)?(y-1)?(z-2)?0,即3x?y?z-12?0,将l的参数式方程代入得9t?t-1?t?1-12?0,解得t?得投影点P?的坐标(36,1,23)及P到l的距离d?|PP|?1121111011111111.解法二:设l上任一点的坐标为A(3t,t?1,t?1),则P,A的距离|PA|?(3t?3)?(t?2)?(t?1)11011222?11t?24t?14,当t?36,1,23).21211时,此距离取得最小值即为P到l的距离d?,从而得投影点坐标(111111

6.求直线?x?2y?3z?5?0l:?的标准方程和在三个坐标面上的投影.2x?y?z?2?0????ijk??解:l的方向向量为s?12?3?{?1,?7,?5},取s?{1,7,5}.2?11x1?y?17?z?15.取l上一点A(0,1,?1),得直线标准方程法一:在l的一般式方程中消去z得7x-y?1?0,?7x-y?1?0从而得在xOy面上的投影??z?0在l的一般式方程中消去y得5x-z-1?0,?5x-z-1?0从而得在xOz面上的投影??y?0在l的一般式方程中消去x得5y-7z-12?0,?5y-7z-12?0从而得在yOz面上的投影??x?0法二:过l的平面束为(2??1)x?(???2)y?(?-3)z?(2?-5)?0,其中与xOy面垂直?的平面?1的法向量与k?{0,0,1}垂直,得??3,从而得?1的方程7x-y?1?0,从而得l在xOy面上的投影?7x-y?1?0?5x-z-1?0,同样方法可得其在xOz面上的投影,在yOz面上的投影??z?0y?0???5y?7z?12?0??x?0

7.证明:直线l1;x?12?y?2?3?z?54与l2;x?73?y?22?z?1?2位于同一平面内,并求这平面及两直线间的夹角.?x?1?2??解法一:l1,l2的参数式方程为?y??2?3??z?5?4???1?2?1?7?3?1??1?0解方程组?得?,??2?3?1?2?2?2??2??2将?1代入l1的参数式方程得l1与l2的交点(1,?2,5),???ijk??l1与l2共面,平面的法向量n?2?34?{?2,16,13},3由点法式方程得平面方程2x-16y-13z?31?0,两直线间的夹角为其方向向量的夹角?????8cos?l1,l2??cos(s1,s2)?-,493???l1,l2??arccos?????.493?82?2?x?7?3??,?y?2?2?,?z?1?2???????????解法二:在l1,l2上分别取两点A(1,?2,5),B(7,2,1),?[s1,s2,AB]?0,?l1与l2共面,设平面一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,将A,B坐标代入,且由其法向量与l1的方向向量垂直得方程组2?A?D?31?A-2B?5C?D?0?16??7A?2B?C?D?0,解得B??D,??31?2A?3B?4C?0??13?C??D?31?得平面方程2x-16y-13z?31?0,其余与法一同.

8.对于直线l1:x?73?y?44?z?3?2与l2:x?216?y?5?4?z?2?1(1)证明:它们不在同一平面上;(2)写出过l2且平行于l1的平面方程.解:(1)法一:l1,l2的参数式方程为?x??7?3???y??4?4??z??3?2???x?21?6??,?y??5?4?,?z?2?????7?3?1?21?6?2解???4?4?1??5?4?228???1??9得?,将?1,?2代入l1,l2的参数式方程知l1,l2无公共交点.28????2?9?而l1//l2,?l1与l2不在同一平面上.法二:l1,l2上分别取一点A(?7,?4,?3),B(21,?5,2)3?????????则?s1,s2,AB??6??284?4?1?2?1??507?0,?l1与l2不共面.5(2)法一:取l2上点B(21,-5,2),平面的法向量???ijk???????n?s1?s2?34?2?{?12,?9,?36},取n?{4,3,12}6?4?1由点法式方程得平面方程4x?3y?12z?93?0在l2上取两点B(21,?5,2),C(27,?9,1).设平面的一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,??将B,C的坐标代入,且其法向量与s1垂直可得?21A?5B?2C?D?0? ?27A?9B?C?D?0,?3A?4B?2C?0?4?A??D?93?1?解得?B??D,代入得平面方程.4x?3y?12z?93?031?4?C??D?31?

复习题三1.设a,b均为非零向量,且||b||?1,?a,b??lim||a?xb||?||a||x?4,求x?0解:a?b?||a||?cos?原式?lim?4?222||a||,2(a?xb)?ax?0x(||a?xb||?||a||)?lim2a?bx?x||b||22x?0x(||a?xb||?||a||)?2||a||2||a||?22.2.设向量r与a?i?2j?2k共线,与j成锐角,且||r||?15,求r.????解:由于r与a共线,设r?{k,?2k,?2k},||r||?3|k|?15.???得k??5,由r与j成锐角,?取k??5,得r?{?5,10,10},3.设向量p和向量q?3i?6j?8k与x轴都垂直,且||p||?2,求向量p.?????????解:由于p与q和x轴都垂直,?p平行于q?i??6k?8j??????186?设p?{0,8k,?6k},||p||?10|k|?2,得k??,从而p?{0,?,?}.5554.设向量?1,?2,?3两两垂直,且符合右手系规则:||?1||?4,||?2||?2,||?3||?3.计算(?1??2)??3.??????????????????解:由于?1,?2,?3两两垂直,且符合右手系规则,???1??2,?3??0?(?1??2)??3?||?1??2||?||?3||?||?1||?||?2||?||?3||?sin????????????????????????????2?24.5.平面?过M1(1,1,1)和M2(0,1,?1)且与平面x?y?z?0垂直,求?的方程.????????????解法一:由已知条件,平面的法向量n与M1M2?{?1,0,?2}和n1?{1,1,1}均垂直.???ijk?????n??10?2?2i?j?k,由点法式方程得平面方程2x-y-z?0.111解法二:设?的一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,将M1,M2的坐标代入?A?B?C?D?0?由?的法向量与已知平面的法向量垂直得方程组?B?C?D?0,?A?B?C?0?

?A??2B?解得?C?B?D?0?从而得?的方程: 2x-y-z?0.6.平面?过?1:2x?3y?z?1?0与?2:x?y?z?0的交线且与平面?2垂直,求?的方程.解法一:过?1,?2的平面束方程为(2??1)x?(1?3?)y?(1??)z???0且由其法向量与?2的法向量垂直得2??1?1-3??1-??0,解得??从而得?的方程 8x-7y-z?3?0.解法二:化?1,?2的交线为标准方程x?12?y?13??iz?2?5??jk31?5?{8,?7,?1},132,??????其方向向量s?{2,3,?5},?的法向量n?s?n1?21由点法式方程得?的方程8x?7y?z?3?0.解法三:设?的一般式方程为:Ax?By?Cz?D?0,在?1,?2的交线上找两点(?1,?1,2),(1,2,?3),将其代入?的方程,且由?与?2垂直可得方程组8?A?D?3?-A-B?2C?D?0?7??A?2B?3C?D?0解得B??D??3?A?B?C?0??1?C??D?3?从而得?的方程8x?7y?z?3?07.求点A(1,-2,1)到直线l:x?32?y?1?3?z?24的距离.

?x??3?2t?解:法一:将l写成参数方程:?y?1?3t?z??2?4t?点A(1,?2,1)到l上一点(?3?2t,1?3t,?2?4t)的距离为:d?(4?2t)?(?3?3t)?(3?4t)222?29t?58t?34?229(t?1)?52最小值为d?5,此即点A到l的距离法二:过点A做一平面与l垂直,平面方程为2(x-1)-3(y?z)?4(z-1)?0?2(x-1)-3(y?2)?4(z-1)?0?求平面与直线的交点?x?3,解得y?1z?2????34?2故距离为d?(-1-1)?(?2?2)?(2?1)222?x??1?:?y??2,?z?2??5.8.求过点A(?1,2,3)与向量??(4,3,1)垂直,并与直线l:直线方程.解:关键是求出待求直线与已知直线l的交点法一:过点A且与向量?垂直的平面方程为4(x?1)?3(y-2)?(z-3)?0此平面与l的交点应满足:?4(x?1)?3(y-2)?(z-3)?05510?,求得交点为(,?,)?x?1y?2z?3333????211故待求直线方程为:x?1?8?y?211?z?3?1.x?12?y?21?z?31相交的法二:设待求之交点为(1?2t,?2?t,3?t),此交点与A的连线应与向量?垂直即连线向量与?之内积为0,即(2?2t,-4?t,t)(4,3,1)?0?4(2?2t)?3(-4?t)?t?0?t?15510?交点为(,?,)3333x?18?y?211?z?3?1.故待求直线方程为:?

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