电场强度计算

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描述电场的物理量——电场强度电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力。

电场强度的计算

E=

F q0

Aq 0++++++

FA

Bq0

FB

(1)点电荷的电场

电场强度的计算(1)点电荷的电场 (2)场强叠加原理和点电荷系的电场 (3)连续分布电荷的电场

F=

q0 q r, r= rer 4πε0 r 3 1q

Fq0E场点

1 q F E== r q0 4πε 0 r 3 E E

r

源点

+

r

r

(2)电场强度叠加原理和点电荷系的场强

点电荷系的电场

F= F1+ F2+

+ Fn=∑ Fii=10

n

Fi

F2

E=∑ Eir2

- q2

FiE=

qi对q

的作用

q

0

F F1+ F2+= q0 q0

+ Fnq2F1

q1qi+

E2

= E1+ E2+电场强度叠加原理

+ En

r1Ei= 1 qi ri 4πε 0 ri3

E

E=∑ Ei

q1

场点

E1

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(3)连续带电体的电场：体分布、面分布、线分布电荷体密度

dl dV所以,电荷元： dq电荷线分布电荷面分布

ρ= lim

Δτ→ 0

ΔqΔVΔqΔS

电荷面分密度

σ= lim

Δ S→0

dS

电荷体分布

dq=ηdl dq=σ dS dq=ρdV

dS dq

dV

dE=dl

电荷线分布密度

η= lim

ΔqΔ l→0Δl

1 dq r 4πε 0 r 3

rP

计算时将上式在坐标系中进行分解，再对坐标分量积分。

.dE

线电荷分布的带电体的电场 面电荷分布的带电体的电场 体电荷分布的带电体的电场

E=

∫ 4πεl

η dl0

r3

r

解题思路及步骤：1、根据题意建立坐标系;

E=

∫∫S

σ dS r 4πε 0 r 3

关键是得到电荷元的微分形式，即dq

E=∫∫∫V

ρdV r 4πε 0 r 3

计算时将上式在坐标系中进行分解，再对坐标分量积分，即先分后和：

Ex=∫ dEx,

Ey=∫ dEy,

EZ=∫ dEZ

注意使用对称性

2、确定电荷密度: 3、求电荷元电量dq;

r 4、根据库仑定律确定电荷元的 dE= 4πε 0 r 3电场强度dE: dE:5、确定dE在坐标系中分量形式：dE i, dE在坐标系中分量形式： 6、积分求场强分量： Ei=∫ dEi, 7、求总场的大小和方向

1 dq

i= x, y, x

i= x, y, x2

2 2 E= E x+ E y+ EZ

例1.求电偶极子中垂面上的电场。解：

用矢量形式表示为：

E+E E ql/2l/2θ

E = E+=

1 q 4πε 0[ r 2+ ( l ) 2]2q

E= 2 E+ cosθ= 2×

E+θ

P E= 2 4πε0 ( r+ l 2/ 4 )3/ 2 1

Pr

1 4πε0

E

P若 r>> l

θ

l 2 l[r 2+ ( ) 2]1/ 2 2

[r

2

l+ ( )2] 2

E

r

1 P E= 4πε0 r 3

++ q

θ

ql/2l/2

++ q

ql= 2 4πε 0 (r+ l 2/ 4)3/ 2

1

电偶极矩(电矩) P= ql

P

l

+

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例2.求一均匀带电直线在P点的电场解：建立直角坐标系取线元 d x带电

y

积分变量代换 x

Ex=∫

dEP

dE=

1

λdx

dq=λdx

θr

r= a/ sinθ= a cscθ

1λ cosθ d x 4πε 0 r 2y

x= a× ctgθ

dEP

4πε 0 r 2

a

θdx

dx= adθ/ sin2θ= a csc2θdθ代入积分表达式

θr

x

将 dE投影到坐标轴上

x

1λdx dEx= cosθ 4πε0 r 2

Ex=∫

1

λ

4πε

0 r 2

cosθ d x

1λdx dEy= sinθ 4πε0 r 2 1λ Ey=∫ sinθ d x 4πε 0 r 2

θ1

a

θθdx

2

x4πε 0

Ex=∫

1

λ2

4πε 0 r

cosθ d x=λ

∫θ

θ21

cosθ a csc2θdθ a csc2θ2

Ex==

λθ2 cosθ 2∫θ1 2 2 a cscθdθ 4πε0 a cscθλθ2∫θ 1 cosθ dθ 4πε 0 ay

Ex=dEP

λ (sin 2 sinθ1)θ 4πε0aλ (cosθ1 cosθ2 ) 4πε0a

θr

Ey=x

λ= (sinθ 2 sinθ1 ) 4πε 0 a同理可算出

θ1

a

θθdx

均匀带电直线的总场强：2

λ (cosθ1 cosθ 2 ) Ey= 4πε 0 a

x

2 E= E x2+ E y=

λ2πε 0 a

1 (1 cos(θ1 θ 2 )) 2

极限情况，当直线长度

L→∞

θ 0{θ1→π 2→

例3半径为R的均匀带电圆环总电量为q,求轴线上任一点x处的电场。(课堂练习) R x

λλ×2= Ey= 4πε 0 a 2πε 0 a记住：无限长均匀带电直线的场强解：d E

Ex= 0

p

=

E= Ey=

λ 2πε 0 a

dq 4πε 0 r 2 1

由对称性

Ey= Ez= 0

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dq

E= E x=∫ dE cosθ

R

θ

r

yp

dq

yx z dE

.

xz

θ

x

R

=

∫

cosθ d q= q cosθ 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2

dE

qx/ r qx qx== 2= 3 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 ( R 2+ x 2 ) 3/ 2

当dq位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。所以，由对称性

dE

E y= Ez= 0

例4求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。解：由例3均匀带电圆环轴线上一点的电场

E=讨论： 1.当 R P

E=

xq 4πε 0 ( R 2+ x 2 ) 3/ 2 R dExσ 2π r d r 4πε 0 ( r 2+ x 2 ) 3/ 2

σ x 1 2ε 0 ( R 2+ x 2 ) 1/ 2

xdq dE= 4πε 0 ( r 2+ x 2 ) 3/ 2

= E=

rdr

x∵

>> xσ E=无限大均匀带电平面的场强，匀强电场 2ε 0 2.当 R<< xx ( R 2+ x 2 )1/ 2= 1

2πσ x 4πε 0

∫

R

0

rdrσ x = 2 3/2 1 ( R 2+ x 2 )1/ 2 2ε 0 (r+ x ) 2

∴

E=

σR 2 q=可视为点电荷的电场 4ε 0 x 2 4πε 0 x 2

1 R 2 ( ) 2 x

场源的定性规律二维无限大均匀带电面场强渐进行为一维无限长均匀带电线附近的场强渐进行为点电荷场强的渐进行为电偶极子场强的渐进行为电四极子场强的渐进行为σ 1 E=→ 0 2ε 0 rE=

定性和定量的关系1 r

λ2πε 0 r

→

1. 2. 3.

渐进分析定性分析物理直觉的建立

E=

1 q 1→ 2 4πε 0 r 2 r

E=

p 1→ 3 4πε0 r 3 r

1

E→

1 r4

电三极子？

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课下作业1、如图四个电荷分布在边长为2a的正方形顶角,每个电荷的带电量大小为q,计算在x轴的p点(-h,0, 0 )电场强度E。

z

p++q -q

y

x 2、1.3.8 3、1.3.9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fb2i.html