三重积分

§5.三重积分

数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！） 1.球面:x2?y2?z2?a2?a?0?表示以原点为球心，半径为a的球面。

2.柱面：平行于定直线L并沿定曲线C移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。

?f(x,y)?0一般地，方程f(x,y)?0表示以曲线C:?为准线，母线平行于z轴的柱面。

z?0?类似可以写出方程f(y,z)?0和f(z,x)?0表示的曲面。 注：当准线是直线时，柱面退化为平面。

几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）

x2y2（1）2?2?1表示母线平行于z轴的椭圆柱面。特别地，当a?b时，它表示母线平行

ab于z轴的圆柱面。这里的定直线L就是z轴。

（2）y2?2px?p?0?表示母线平行于z轴的抛物柱面。

x2z2（3）-2?2?1表示母线平行y轴的双曲柱面。

ab

3.旋转曲面：平面曲线C绕该平面上一条定直线L旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。 其中平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线L叫做旋转曲面的轴。

例如平面曲线C:??f(y,z)?0,绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为

?x?0f(?x2?y2,z)?0。

记忆口诀：绕谁谁不变，用另外两个变量的平方和的正负算术平方根代替方程中另外一个变量。

如果取旋转曲面的母线为坐标面曲线，旋转轴为坐标轴，则可以得到以下几种常用的旋转曲面。（旋转曲面的名称与母线名称对应） （1） 旋转椭球面

?x2y2x2?z2y2?2?2?1,?2?1，绕x轴的旋转曲面方椭圆?a绕y轴旋转而成的曲面方程为b2ab?z?0,?程请大家自行给出。

（2） 旋转双叶双曲面

?x2y2x2y2?z2?2?2?1?1（旋转双叶双曲面） 双曲线?a绕x轴旋转而成的曲面方程为2?b2ab?z?0?

（3） 旋转单叶双曲面

?x2y2x2?z2y2?2?2?1?2?1（旋转单叶双曲面） 双曲线?a绕y轴旋转而成的曲面方程为b2ab?z?0?

（4） 旋转抛物面

?y2?2pz(p?0)抛物线?绕z轴旋转而成的曲面方程为x2?y2?2pz。（经常出现）

x?0?

（5） 圆锥面（也是旋转曲面） 直线??y?kx?k?0?222222绕x轴旋转一周而成的曲面方程为?y?z?kx,即y?z?kx

?z?0（经常出现，注意圆锥面的半顶角）

（6） 椭球面

x2y2z2方程2?2?2?1?a?0,b?0,c?0?表示的曲面为椭球面。

abc注：当a?b?c时，方程表示的曲面为球面；当a,b,c中有两数相等时，它表示旋转椭球面。（见前面（1））

4.抛物面：椭圆抛物面和双曲抛物面

由于椭圆抛物面在数学分析中较少出现，我这里就不展开了。

关于双曲抛物面这里大家只要掌握如下的双曲抛物面z?xy(出现时，大家注意下它的投影曲线一定要结合图像，因为单从方程出发经常会遗漏一部分曲线)的图像就够了，当然这是我做题的一点感受而已，大家完全可以多掌握几种常用的双曲抛物面的图像。 说明：由于双曲抛物面的图像的形状像马鞍子，故也称为马鞍面。（见例8，这里先简单做下说明，没时间的话请大家自行考虑一下） 5.双曲面：单叶双曲面和双叶双曲面。 说明：我个人觉得这两种双曲面的图像不用掌握太多，只要掌握旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面的图像就足够了，而这两种曲面的图像前面已给出。 6.锥面

这里大家只要掌握圆锥面的图像就足够了，而这种曲面的图像前面已给出。 7.平面

这个曲面大家比较熟悉，我这里就不展开了。

注：空间中任何一个平面与关于x,y,z的三元一次方程具有一一对应关系。

0?r???,0???2?,???z???;

三组坐标面分别为：r=常数，即以z轴为中心轴的圆柱面； ?=常数，即过z轴的半平面； Z=常数，即与xoy面平行的平面。 于是点M的直角坐标与柱面坐标的关系见书上变换?。

温馨提示：请记住该变换的雅可比行列式，这很重要！

就我个人的理解，其实只要记住二重积分中的极坐标变换的雅可比行列式就可以忘记该公式。具体理由如下：因为在用柱面坐标变换计算三重积分时，通常利用坐标面投影法找出积分区域V在xoy面上的投影区域Dxy，即当

时， V??(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),(x,y)?Dxy?,其中z?z1(x,y),z?z（2x,y）???Vz2(x,y)f(x,y,z)dxdydz???G（x,y）dxdy??????z(x,y)f(x,y,z)dz??dxdy.

1??DDxyxy其中最右面的叠积分中的二重积分只要利用极坐标变换计算即可。

注：一般情况下，当表示积分区域Ｖ的边界曲面?的方程或被积函数中含有x?y或

22x2?y2?z2时，可以考虑利用柱面坐标变换计算三重积分。

说明：当积分区域Ｖ的某一边界曲面是柱面时，通常用柱面坐标变换公式计算可能会方便些。

例２：计算

22222zdxdydz，其中Ｖ是球面与抛物面 x?y?z?4x?y?3z所围区域。???V

（２）利用球面坐标计算三重积分（即球面坐标变换）见图２１－３５

设Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）为空间中一点，则点Ｍ也可以用这样三个有次序的数r,?,?来确定。其中ｒ为原点ｏ与点Ｍ的距离，?为OM与ｚ轴正向的夹角，?为OM在ｘｏｙ面上的投影向量OP与ｘ轴正向间的夹角，这样的三个数r,?,?叫做点Ｍ的球面坐标。这里规定r,?,?的变化范围为：0?r???,0????,0???2?;

三组坐标面分别为：ｒ＝常数，即以原点为中心的球面；

?＝常数，即以原点为顶点，ｚ轴为轴的圆锥面； ?＝常数，即过ｚ轴的半平面。 于是点Ｍ的直角坐标与球面坐标的关系见书上。

温馨提示：请记住球面坐标变换的雅可比行列式，这很重要！

重要注记：一般情况下，当表示积分区域Ｖ的边界曲面?的方程或被积函数中含有x?y或x?y?z时，可以考虑利用球面坐标变换计算三重积分。

说明：当积分区域Ｖ的某一边界曲面是球面时，通常用球面坐标变换公式计算可能会方便些。 例３：计算

??x???zeV222222?y2?z2?dxdydz，其中Ｖ为锥面z?x2?y2与球面x2?y2?z2?1所

围的闭区域。

这里：我只介绍利用球面坐标变换计算，请大家自行考虑用柱面坐标变换来计算。

（３）利用广义球面坐标计算三重积分（即广义球面坐标变换）

?x?arsin?cos?,?广义球面坐标变换?：?y?brsin?sin?,这里规定0?r???,0????,0???2?。

?z?crcos?,?该变换的雅可比行列式为J(r,?,?)?abcrsin?。（温馨提示：切记一定要记住哦！）

2

x2y2z2注：一般情况下，当表示积分区域Ｖ的边界曲面?的方程或被积函数中含有2?2?2abc时，可以考虑利用广义球面坐标变换计算三重积分。

这方面的例子可以见课后题７.这里由于时间关系，我就不展开了。书上的例3也可以用广义球面坐标来计算。（请有兴趣的同学自行给出，会方便很多的） （４）利用对称性简化三重积分计算

设函数f(x,y,z)在V上连续，而Ｖ可以分为具有某种对称性（例如：关于某直线对称，关于某点对称，关于某平面对称）的两部分V1和V2，则

１. 如果f(x,y,z)在V1上各点处的值与其在V2上各对称点处的值互为相反数，那么

???f(x,y,z)dxdydz?0。

V２. 如果f(x,y,z)在V1上各点处的值与其在V2上各对称点处的值恒相等，那么

???f(x,y,z)dxdydzV?2???f(x,y,z)dxdydz。

V1下面给出应用 例４：计算

222222zdxdydz，其中Ｖ是由 x?y?z?4z和x?y?z?2z所围成的区域。???V

使用对称性计算三重积分应注意：

１. 积分区域关于坐标面的对称性（这个出现较多）。 ２. 被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性；

一般地，当积分区域Ｖ关于ｘｏｙ面对称，且被积函数f(x,y,z)是关于ｚ的奇函数，则三重积分为零；若被积函数f(x,y,z)是关于ｚ的偶函数，则三重积分为积分区域Ｖ在ｘｏｙ面上方的半个闭区域上的三重积分的两倍。 下面给出一道综合性和技巧性较强的例题。（包括了对称性的应用） 例5：计算

其中V是由抛物面z?x????x?y?z?dxdydz，

V22?y2和球面x2?y2?z2?2所围成的空间闭区域。

小结：（三重积分换元法）柱面坐标变换 球面坐标变换 广义球面坐标变换 一般变量代换

对称性的应用可以简化三重积分的计算。

最后再补充两道关于三重积分在计算曲面所围立体体积上的应用和三重积分一般变量代换公式的应用。（不是柱面坐标变换和球面坐标变换）。有时间讲一下，没时间请大家自行考虑下。

例6：计算抛物面x2?y2?az(a?0),柱面x2?y2?2ax与平面z?0所围立体V的体积。

大家可以参考课后题4，都可以作为这方面的练手。

例7：计算

????x?y?z??x?y?z??y?z?x?dxdydzV，

其中V??x,y,z?0?x?y?z?1,0?x?y?z?1,0?y?z?x?1。

注：该例题是三重积分一般变量代换公式的应用。

关于例8是结合马鞍面的三重积分，如果没时间讲解，请大家自行给出计算（如果你觉得有必要的话）。 例8：计算

?????xydxdydzV，其中V是由双曲抛物面z?xy，平面x?y?1和平面z?0所

围成的区域V.

董吕修 杭州师范大学

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