2015年中考专题《二次函数（基础复习）》导学案

二次函数（基础复习）

★二次函数知识点汇总★

1.定义：一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax的性质

(1)抛物线y?ax（a?0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y?ax的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点

3.二次函数 y?ax?bx?c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

24.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中

222222h??b4ac?b2. ，k?2a4a25.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①y?ax；②y?ax?k；③y?a?x?h?22；④y?a?x?h??k；⑤

2y?ax2?bx?c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向：

当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y轴(或重合)的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4ac?b2b?4ac?b2?2（?，）(1)公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称轴??2a4a2a4a??b是直线x??.

2a2(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是x?h.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 9.抛物线y?ax?bx?c中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.

2(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线x??b,

2222a故：①b?0时，对称轴为y轴；②b?0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；

a③b?0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.

a(3)c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.

当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点(0，c)： ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴.

22 1

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b?0.

a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 x?0(y轴) y?ax2 (0,0) y?ax2?k y?a?x?h? 2x?0(y轴) 当a?0时 开口向上 当a?0时 开口向下 (0, k) (h,0) (h,k) x?h y?a?x?h??k2 x?h bx?? 2ay?ax?bx?c 2b4ac?b2，(?) 2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 〈一〉三点式。

2

1，已知抛物线y=ax+bx+c 经过A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线

的解析式。

２

2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。

22

1，已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。

2

2，已知抛物线 y=4(x+a)-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。

1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=〈四〉定点式。

1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y??1a(x-2a)(x-b)的解析式。 2125?ax?x?2a?2经过x 轴上一22定点Q，直线y?(a?2)x?2经过点Q,求抛物线的解析式。

2，抛物线y= x +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

2

3，抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。

〈五〉平移式。

2

1， 把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线

2

y=a( x-h) +k,求此抛物线解析式。 2，

抛物线y??x?x?3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.

22

〈六〉距离式。

2

1，抛物线y=ax+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2

2，已知抛物线y=m x+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 〈七〉对称轴式。

22

1， 抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到

2

y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

已知抛物线y=-x+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=

2

3OC，4求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。

1.平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。

2

2.求与抛物线y=x+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。 〈九〉切点式。

22

1，已知直线y=ax-a(a≠0) 与抛物线y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。

2

2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。 〈十〉判别式式。

2

1.已知关于X的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线

2

y=-x+(m+1)x+3解析式。

2

2.已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。

2

3.已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。 12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0,c)

(2)与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah2?bh?c). (3)抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对一元二次方程

222ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别

式判定：

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.

(5)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，由方程组 ?y?kx?n的解的数目来确定： ?2?y?ax?bx?c①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.

22(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为

A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故

bcx1?x2??,x1?x2?

aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?2b2?4ac??b?4c ?4x1x2???????aaa?a?3

2

13．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程y?ax?bx?c是二次函数y?ax?bx?c当y的值为0时的情况． (2)二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当

2222y?0时自变量x的值，即一元二次方程ax2?bx?c?0的根．

2(3)当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程y?ax2?bx?c有两个不相等的实数根；当二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴有一

个交点时，则一元二次方程ax?bx?c?0有两个相等的实数根；当二次函数

2y?ax2?bx?c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2?bx?c?0没有实数根

14.二次函数的应用：

(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

【课堂练习】

x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使成立？则正确的是结论是（ ） A．m=0时成立 B． m=2时成立 C． m=0或2时成立 D． 不存在 +

=0

已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为 2

（2010年杭州月考）已知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①abc?0 ②当x?1时，函数有最大值。③当x??1或x?3时，函数y的值都等于0. ④4a?2b?c?0其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

12

x 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） 211112222

A. y=(x+8)-9 B. y=(x-8)+9 C. y=(x-8)-9 D. y=(x+8)+9

22222二次函数y??x?1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ） ．．

抛物线y=

A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2 C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x>0时，y随x增大而增大 二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示，反比列函数y?一坐标系内的大致图像是（ ）

2a

与正比列函数y?bx在同x

4

y O 第12题 二次函数y?x y y y y O A

x O B

x O C

x O D

x 22 x的图像如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，

3A3，…，A2009在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2009在二

次函数y?22x第一象限的图像上，若△A0B1A1,△A1B2A2，△32009A2B3A3，…，△A2008BA2都0为等边三角形，计算出△

A2008B2009A2009的边长为 .

Y=-2(x-1) ＋5 的图象开口向 ，顶点坐标为 ，当x＞1时，y值随着x值的增大而 。

我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问： （1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？

（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确到0.1%）

某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件． （1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．

某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．

2

5

（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．

（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？

市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30?元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y(千克)?与销售单价x(元) (x?30）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y与x的函数关系式；

⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，?现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(?直接写出答案)．

有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元． (1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？

研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为了投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系

12P乙（万投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价P甲、x?5x?90，

10元）均与x满足一次函数关系。（注：年利润=年销售额-全部费用）

1（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，P甲??x?14，请你用含x的代数式表

20式y?示甲地当年的年销售额，并求年利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；

（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，P乙??1，且在乙地当x?n（n为常数）

10年的最大年利润为35万元。试确定n的值；

（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得

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较大的年利润？

一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？

西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?

在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成．

（1）求两队单独完成此项工程各需多少天?

（2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?

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