高中数学公式大全(文科)

高中文科数学公式

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

x A x CUA,x CUA x A.

2. 德摩根公式

CU(A B) CUA CUB;CU(A B) CUA CUB.

3. 包含关系

A B A A B B A B CUB CUA

A CUB CUA B R

4. 容斥原理

card(A B) cardA cardB card(A B)

card(A B C) cardA cardB cardC card(A B)

card(A B) card(B C) card(C A) card(A B C).

5. 集合{a1,a2, ,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集

有2n –1个；非空的真子集有2n–2个. 6. 二次函数的解析式的三种形式

① 一般式f(x) ax2 bx c(a 0); ② 顶点式f(x) a(x h)2 k(a 0); ③ 零点式f(x) a(x x1)(x x2)(a 0). 7. 解连不等式N f(x) M常有以下转化形式：

N f(x) M [f(x) M][f(x) N] 0

|f(x)

f(x) NM NM N

0 |

M f(x)22

11

.

f(x) NM N

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8. 方程f(x) 0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2) 0不等价,

前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程

ax2 bx c 0(a 0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于

f(k1)f(k2) 0,或f(k1) 0且k1 k1 k2b

k2. 22a

bk1 k2

,或f(k2) 0且

2a2

9. 闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x) ax2 bx c(a 0)在闭区间 p,q 上的最值只能在

b

处及区间的两端点处取得，具体如下： 2a

b

① 当a>0时，若x p,q ，

2ab

则f(x)min f( ),f(x)max max f(p),f(q) ；

2a

b

x p,q ，f(x)max max f(p),f(q) ，f(x)min min f(p),f(q) .

2a

b

② 当a<0时，若x p,q ，则f(x)min min f(p),f(q) ，

2a

b

若x p,q ，则f(x)max max f(p),f(q) ，

2ax

f(x)min min f(p),f(q) .

10. 一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n) 0，则方程f(x) 0在区间(m,n)内至少有一个 实根 .设f(x) x2 px q，则

① 方程f(x) 0在区间(m, )内有根的充要条件为f(m) 0或

p2 4q 0

； p

m 2

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② 方程f(x) 0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n) 0或

f(m) 0 f(n) 0 f(m) 0 f(n) 0 2

或或 ； p 4q 0

af(n) 0af(m) 0

m p n 2

③ 方程f(x) 0在区间( ,n)内有根的充要条件为f(m) 0或

p2 4q 0

. p

m 2

11. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

① 在给定区间( , )的子区间L（形如 , ， , ， , 不同）

上含参数的二次不等式f(x,t) 0(t为参数)恒成立的充要条件是

f(x,t)min 0(x L).

② 在给定区间( , )的子区间上含参数的二次不等式f(x,t) 0(t为

参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man 0(x L).

a 0

a 0 42

③ f(x) ax bx c 0恒成立的充要条件是 b 0或 2.

c 0 b 4ac 0

12. 真值表

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13. 常见结论的否定形式

14. 四种命题的相互关系

原命题

逆命题 互 否

否命题 逆否命题 互逆 若非ｑ则非ｐ 15. 充要条件

① 充分条件：若p q，则p是q充分条件. ② 必要条件：若q p，则p是q必要条件.

③ 充要条件：若p q，且q p，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

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16. 函数的单调性

① 设x1 x2 a,b ,x1 x2那么

(x1 x2) f(x1) f(x2) 0

f(x1) f(x2)

0 f(x)在 a,b 上是

x1 x2

增函数；

(x1 x2) f(x1) f(x2) 0

f(x1) f(x2)

0 f(x)在 a,b 上是

x1 x2

减函数.

② 设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f (x) 0，则f(x)为增函

数；如果f (x) 0，则f(x)为减函数.

17. 如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数

f(x) g(x)也是减函数; 如果函数y f(u)和u g(x)在其对应的定义

域上都是减函数,则复合函数y f[g(x)]是增函数. 18. 奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果 一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数 的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19. 若函数y f(x)是偶函数，则f(x a) f( x a)；若函数y f(x a)

是偶函数，则f(x a) f( x a).

20. 对于函数y f(x)(x R),f(x a) f(b x)恒成立,则函数f(x)的对

称轴是函数x 直线x

a b

;两个函数y f(x a)与y f(b x) 的图象关于2

a b

对称. 2

a

21. 若f(x) f( x a),则函数y f(x)的图象关于点(,0)对称; 若

2

f(x) f(x a),则函数y f(x)为周期为2a的周期函数.

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22. 多项式函数P(x) anxn an 1xn 1 a0的奇偶性

① 多项式函数P(x)是奇函数 P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为

零.

② 多项式函数P(x)是偶函数 P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为

零.

23. 函数y f(x)的图象的对称性

① 函数y f(x)的图象关于直线x a对称 f(a x) f(a x)

f(2a x) f(x).

② 函数y f(x)的图象关于直线x

f(a b mx) f(mx).

a b

对称 f(a mx) f(b mx) 2

24. 两个函数图象的对称性

① 函数y f(x)与函数y f( x)的图象关于直线x 0(即y轴)对称. ② 函数y f(mx a)与函数y f(b mx)的图象关于直线x

称.

③ 函数y f(x)和y f

1

a b

对2m

(x)的图象关于直线y=x对称.

25. 若将函数y f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数

y f(x a) b的图象；若将曲线f(x,y) 0的图象右移a、上移b个单

位，得到曲线f(x a,y b) 0的图象.

26. 互为反函数的两个函数的关系：f(a) b f 1(b) a.

1

27. 若函数y f(kx b)存在反函数,则其反函数为y [f 1(x) b],并不

k1

是y [f 1(kx b),而函数y [f 1(kx b)是y [f(x) b]的反函数.

k

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28. 几个常见的函数方程

① 正比例函数f(x) cx,f(x y) f(x) f(y),f(1) c. ② 指数函数f(x) ax,f(x y) f(x)f(y),f(1) a 0.

③ 对数函数f(x) logax,f(xy) f(x) f(y),f(a) 1(a 0,a 1). ④ 幂函数f(x) x ,f(xy) f(x)f(y),f'(1) . ⑤ 余弦函数f(x) cosx,正弦函数g(x) sinx，

f(x y) f(x)f(y) g(x)g(y)，f(0) 1,lim

x 0

g(x)

1. x

29. 几个函数方程的周期(约定a>0)

① f(x) f(x a)，则f(x)的周期T=a； ② f(x) f(x a) 0，或f(x a)

1

(f(x) 0),

f(x)

1

(f(x) 0)， f(x)

或f(x a)

1或2

f(x a),(f(x) 0,1 ),则f(x)的周期T=2a； 1

(f(x) 0)，则f(x)的周期T=3a；

f(x a)

f(x1) f(x2)

且

1 f(x1)f(x2)

③ f(x) 1

④ f(x1 x2)

f(a) 1(f(x1) f(x2) 1,0 |x1 x2| 2a)，则f(x)的周期T=4a；

⑤ f(x) f(x a) f(x 2a)f(x 3a) f(x 4a)

f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a),则f(x)的周期T=5a；

⑥ f(x a) f(x) f(x a)，则f(x)的周期T=6a.

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30. 分数指数幂

①

a

mn

mn

1

mn

a 0,m,n N ，且n 1）.

② a （a 0,m,n N ，且n 1）.

a

31. 根式的性质

①

n a.

② 当n

a；

a,a 0

当n

|a| .

a,a 0

32. 有理指数幂的运算性质

① ar as ar s(a 0,r,s Q). ② (ar)s ars(a 0,r,s Q). ③ (ab)r arbr(a 0,b 0,r Q).

注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．

上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33. 指数式与对数式的互化式

logaN b ab N(a 0,a 1,N 0).

34. 对数的换底公式

logaN

logmN

(a 0,且a 1,m 0,且m 1, N 0). logma

推论：logambn

n

logab(a 0,且a 1,m,n 0,且m 1,n 1, m

N 0).

35. 对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 ① loga(MN) logaM logaN; ② loga

M

logaM logaN; N

③ logaMn nlogaM(n R).

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36. 设函数f(x) logm(ax2 bx c)(a 0),记 b2 4ac.若f(x)的定义

域为R,则a 0，且 0;若f(x)的值域为R,则a 0，且 0.对于

a 0的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若a 0,b 0,x 0,x

1

,则函数y logax(bx) a11

① 当a b时,在(0,)和(, )上y logax(bx)为增函数.

aa11

② 当a b时,在(0,)和(, )上y logax(bx)为减函数.

aa

推论:设n m 1，p 0，a 0，且a 1，则 ① logm p(n p) logmn. ② logamlogan loga2

38. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值

m n

. 2

y，有y N(1 p)x.

39. 数列的同项公式与前n项的和的关系

n 1 s1,

an ( 数列{an}的前n项的和为sn a1 a2 an).

s s,n 2 nn 1

40. 等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d dn a1 d(n N*)；

其前n项和公式为：sn

n(a1 an)n(n 1)d1

na1 d n2 (a1 d)n. 2222

a1n

q(n N*)； q

41. 等比数列的通项公式：an a1qn 1

a1(1 qn) a1 anq

,q 1,q 1

其前n项的和公式为：sn 1 q 或sn 1 q.

na,q 1 na,q 1

1 1

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42. 等比差数列 an :an 1 qan d,a1 b(q 0)的通项公式为

b (n 1)d,q 1

an bqn (d b)qn 1 d；

,q 1 q 1

其前n项和公式为

nb n(n 1)d,(q 1)

sn . d1 qnd

(b ) n,(q 1) 1 qq 11 q

43. 分期付款(按揭贷款)

ab(1 b)n

每次还款x 元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

(1 b)n 1

44. 常见三角不等式

① 若x (0,)，则sinx x tanx.

2② 若x

(0,)，则1 sinx cosx 2③ |sinx| |cosx| 1.

45. 同角三角函数的基本关系式

sin

，tan cot 1. sin2 cos2 1，tan =

cos

46. 正弦、余弦的诱导公式

n

n ( 1)2sin ,sin( ) n 1

2 ( 1)2cos ,

n

n ( 1)2cos ,cos(

) n 1

2 ( 1)2sin ,

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47. 和角与差角公式

sin( ) sin cos cos sin ;

cos( ) cos cos sin sin ;

tan( )

tan tan

.

1 tan tan

sin( )sin( ) sin2 sin2 (平方正弦公式); cos( )cos( ) cos2 sin2 .

asin

bcos )(辅助角 所在象限由点(a,b)的象限

决定,tan

48. 二倍角公式

b

). a

sin2 2sin cos .

cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .

2tan

. 2

1 tan

49. 三角函数的周期公式

tan2

函数y sin( x )，x∈R及函数y cos( x )，x∈R(A,ω, 为常数， 且A≠0，ω＞0)的周期T

2

；函数y tan( x )，x k

2

,k Z

(A,ω, 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T 50. 正弦定理 abc

2R. sinAsinBsinC51. 余弦定理

a2 b2 c2 2bccosA; b2 c2 a2 2cacosB; c2 a2 b2 2abcosC.

.

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52. 面积定理

111

① S aha bhb chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.

222111

② S absinC bcsinA casinB.

222

③

S OAB 53. 三角形内角和定理

在△ABC中，有A B C C (A B)

C A B

2C 2 2(A B).

222

54. 简单的三角方程的通解

sinx a x k ( 1)karcsina(k Z,|a| 1). cosx a x 2k arccosa(k Z,|a| 1).

tanx a x k arctana(k Z,a R).

特别地,有

sin sin k ( 1)k (k Z).

cos cos 2k (k Z).

tan tan k (k Z).

55. 最简单的三角不等式及其解集

sinx a(|a| 1) x (2k arcsina,2k arcsina),k Z.

sinx a(|a| 1) x (2k arcsina,2k arcsina),k Z. cosx a(|a| 1) x (2k arccosa,2k arccosa),k Z. cosx a(|a| 1) x (2k arccosa,2k 2 arccosa),k Z.

tanx a(a R) x (k arctana,k ),k Z.

2tanx a(a R) x (k

2

,k arctana),k Z.

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56. 实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么 ① 结合律：λ(μa)=(λμ)a; ② 第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; ③ 第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 57. 向量的数量积的运算律：

① a·b= b·a （交换律）;

② （ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）; ③ （a+b）·c= a ·c +b·c. 58. 平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2． 不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 59. 向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b 0，则a b(b 0) x1y2 x2y1 0. 60. a与b的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62. 平面向量的坐标运算

① 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1 x2,y1 y2). ② 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1 x2,y1 y2).

③ 设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB OB OA (x2 x1,y2 y1).

④ 设a=(x,y), R，则 a=( x, y).

⑤ 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2 y1y2). 63. 两向量的夹角公式

cos

(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64. 平面两点间的距离公式

d

A,B=|AB| (x1,y1)，B(x2,y2)).

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65. 向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b 0， 则A||b b=λa x1y2 x2y1 0. a b(a 0) a·b=0 x1x2 y1y2 0. 66. 三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),

x1 x2 x3y1 y2 y3

,). 33

67. 三角形五“心”向量形式的充要条件

则△ABC的重心的坐标是G(

设O为 ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

2 2 2

① O为 ABC的外心 OA OB OC.

② O为 ABC的重心 OA OB OC 0.

③ O为 ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA.

④ O为 ABC的内心 aOA bOB cOC 0.

⑤ O为 ABC的 A的旁心 aOA bOB cOC.

68. 常用不等式：

① a,b R a2 b2 2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． ② a,b

R

a b

(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2

③ a3 b3 c3 3abc(a 0,b 0,c 0). ④ 柯西不等式

(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2,a,b,c,d R.

⑤ a b a b a b. 69. 极值定理

已知x,y都是正数，则有

① 若积xy是定值p，则当x y时和x y有最小值2p；

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1

② 若和x y是定值s，则当x y时积xy有最大值s2.

4

推广： 已知x,y R，则有(x y)2 (x y)2 2xy ① 若积xy是定值,则当|x y|最大时,|x y|最大；

当|x y|最小时,|x y|最小.

② 若和|x y|是定值,则当|x y|最大时, |xy|最小； 当|x y|最小时, |xy|最大.

70. 一元二次不等式ax2 bx c 0(或 0)(a 0, b2 4ac 0)，如果a与

ax2 bx c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2 bx c异号，则

其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1 x x2 (x x1)(x x2) 0(x1 x2)； x x1,或x x2 (x x1)(x x2) 0(x1 x2).

71. 含有绝对值的不等式

当a> 0时，有

x a x2 a a x a.

2

x a x2 a2 x a或x a. 72. 无理不等式

①

f(x) 0

g(x) 0 .

f(x) g(x)

f(x) 0

f(x) 0

g(x) g(x) 0或 .

g(x) 0 f(x) [g(x)]2

f(x) 0

g(x) g(x) 0.

f(x) [g(x)]2

②

③

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73. 指数不等式与对数不等式

① 当a 1时,

af(x) ag(x) f(x) g(x);

f(x) 0

logaf(x) logag(x) g(x) 0.

f(x) g(x)

② 当0 a 1时,

af(x) ag(x) f(x) g(x);

f(x) 0

logaf(x) logag(x) g(x) 0

f(x) g(x)

74. 斜率公式

k

y2 y1

（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）. x2 x1

75. 直线的五种方程

① 点斜式 y y1 k(x x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． ② 斜截式 y kx b(b为直线l在y轴上的截距). ③ 两点式

y y1x x1

(y1 y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1 x2)). y2 y1x2 x1

xy

④ 截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b 0)

ab

⑤ 一般式 Ax By C 0(其中A、B不同时为0). 76. 两条直线的平行和垂直

① 若l1:y k1x b1，l2:y k2x b2

i. ii.

l1||l2 k1 k2,b1 b2; l1 l2 k1k2 1.

② 若l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,且A1、A2、B1、B2都不

为零,

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i. ii.

l1||l2

A1B1C1

；

A2B2C2

l1 l2 A1A2 B1B2 0；

77. 四种常用直线系方程

① 定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为

y y0 k(x x0)(除直线x x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x x0) B(y y0) 0,其中A,B是待定

的系数．

② 共点直线系方程：经过两直线

l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0的交点的直线系方程为(A1x B1y C1) (A2x B2y C2) 0(除l2)，其中λ是待定的系数．

③ 平行直线系方程：直线y kx b中当斜率k一定而b变动时，表示

平行直线系方程．与直线Ax By C 0平行的直线系方程是

Ax By 0( 0)，λ是参变量．

④ 垂直直线系方程：与直线Ax By C 0 (A≠0，B≠0)垂直的直线

系方程是Bx Ay 0,λ是参变量．

78. 点到直线的距离

d

(点P(x0,y0),直线l：Ax By C 0).

79. Ax By C 0或 0所表示的平面区域

设直线l:Ax By C 0，则Ax By C 0或 0所表示的平面区域是： ① 若B 0，当B与Ax By C同号时，表示直线l的上方的区域；当B

与Ax By C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

② 若B 0，当A与Ax By C同号时，表示直线l的右方的区域；当A

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与Ax By C异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

80. (A1x B1y C1)(A2x B2y C2) 0或 0所表示的平面区域

设曲线C:(A1x B1y C1)(A2x B2y C2) 0（A1A2B1B2 0），则

(A1x B1y C1)(A2x B2y C2) 0或 0所表示的平面区域是： (A1x B1y C1)(A2x B2y C2) 0所表示的平面区域上下两部分； (A1x B1y C1)(A2x B2y C2) 0所表示的平面区域上下两部分.

81. 圆的四种方程

① 圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r2.

② 圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F＞0).

x a rcos ③ 圆的参数方程 .

y b rsin

④ 圆的直径式方程 (x x1)(x x2) (y y(圆的直径的端1)(y y2) 0

点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

82. 圆系方程

① 过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) [(x x1)(y1 y2) (y y1)(x1 x2)] 0

(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) (ax by c) 0,

其中ax by c 0是直线AB的方程,λ是待定的系数．

② 过直线l:Ax By C 0与圆C:x2 y2 Dx Ey F 0的交点的

圆系方程是x2 y2 Dx Ey F (Ax By C) 0,λ是待定的系数．

③ 过圆C1:x2 y2 D1x E1y F1 0与圆

C2:x2 y2 D2x E2y F2 0的交点的圆系方程是

高中文科数学公式

x2 y2 D1x E1y F1 (x2 y2 D2x E2y F2) 0,λ是待定的

系数．

83. 点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(x a)2 (y b)2 r2的位置关系有三种

若d ① d r 点P在圆外; ② d r 点P在圆上; ③ d r 点P在圆内.

84. 直线与圆的位置关系

直线Ax By C 0与圆(x a)2 (y b)2 r2的位置关系有三种: ① d r 相离 0; ② d r 相切 0; ③ d r 相交 0. 其中d

Aa Bb CA B

2

2

.

85. 两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2 d

d r1 r2 外离 4条公切线;d r1 r2 外切 3条公切线; r1 r2 d r1 r2 相交 2条公切线; d r1 r2 内切 1条公切线; 0 d r1 r2 内含 无公切线.

86. 圆的切线方程

① 已知圆x2 y2 Dx Ey F 0．

i.

若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

D(x0 x)E(y0 y)

F 0. 22

x0x y0y

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