2009年145套中考试卷精品分类26.相似

26．相似

一、选择题

16．（2009年张家界市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD?1BC，E为2AD上一点，AC与BE交于点F，若AE:DE?2:1，则F

C B

22．（2009年张家界市）（本小题9分） 如图，有两个动点E，F分别从正方形ABCD的两个顶点B，C同时出发，以相同速度分别沿边BC和CD移动，问：

（1）在E，F移动过程中，AE与BF的位置和大小有何关系？并给予证明． （2）若AE和BF相交点O，图中有多少对相似三角形？请把它们写出来． D F C E 6．（2009年湘潭市）同一时刻，身高2.26m的姚明在阳光下影长为1.13m；小林浩在阳光O 下的影长为0.64m，则小林浩的身高为（ ）

A．1.28m B．1.13m C．0.64m D．0.32m A B

12．(2009年营口市)如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB

∥CD，AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到CD的距离为2.7m，则AB与CD间的距离是 m． P

A B

1．（2009年上海市)如图1，已知AB∥CD∥EF，那么下列

C D 结论正确的是（ ）

A．

△AEF的面积A E ． ? D △CBF的面积ADBC? DFCEA C E 图1

B D F

B．

BCDF? CEADC．

CDBC? EFBED．

CDAD? EFAF

【关键词】平行线分线段成比例 【答案】A

2.（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：

D B A

C

（第9题图）

①?B??ACD； ②?ADC??ACB；

ACAB?； ④AC2?AD?AB． CDBC其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）

③

A．1 B．2 C．3 D．4 【关键词】三角形相似的判定. 【答案】C

3.（2009年台湾） 某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7。若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？ (A) 3：4 (B) 4：5 (C) 5：6 (D) 6：7 。

【关键词】比例 【答案】A

4.（2009年江苏省）如图，在5?5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平 移方法中，正确的是（ ）

A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格

【关键词】平移 【答案】D

5．(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为

(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 【关键词】 【答案】B

6．(2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形

【答案】D 7．（2009重庆綦江）若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）

A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶2 【关键词】 【答案】B

8.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ） A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个 【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】B

9.2009年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边

A

AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）

M N A．△AOM和△AON都是等边三角形

B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形

B D

C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 O D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 【关键词】位似

C 【答案】C

10.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为

A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 【关键词】黄金比 【答案】A 11．（2009年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （ ）

A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米 【关键词】相似三角形 【答案】B

，?B?60°，D是AC上一点，12．（2009恩施市）如图5，在△ABC中，?C?90°DE?AB于E，且CD?2，DE?1，则BC的长为（ ） A．2 B．

43 C．23 D．43 3【关键词】解直角三角形、相似

【答案】B

13．（2009年济宁市）如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）

2222

A. 2 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 16 cm

【关键词】相似多边形 【答案】C 14．（2009年衢州、舟山）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将

△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为 A．9.5 B．10.5

C．11 D．15.5

A

A

E B

C

B

F C

D D(A)

【关键词】线段的比和比例线段 【答案】D 15．（2009年衢州、舟山）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是

11A．?a B．?(a?1)

2211C．?(a?1) D．?(a?3)

22

A B y 1 C -1 O -1 1 B′ x A′

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】D 16．（2009白银市）9．如图3，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ） A．12m B．10m C．8m D．7m

图3

【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】A 17．（2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）

A

B C

A. B．

C．

D．

【关键词】相似三角形的判定 【答案】A 18．（2009年天津市）在△ABC和△DEF中，AB?2DE，AC?2DF，?A??D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ） A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6 【关键词】相似三角形的性质 【答案】A

19．(2009年牡丹江市)如图， △ABC中，CD?AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（ ） ①?1??A，②

CDDB，?，③?B??2?90°④

ADCD

⑤AC?BD?AC?CD

A．1 B．2 C．3 D．4

C 2 12

A

D

B

【关键词】三角形相似的判定和性质 【答案】C 20．（2009年孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为 A．(33?) B．221331 C．(?) D．(,)

2222

【关键词】旋转 【答案】A 21．（2009年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

【关键词】黄金比 【答案】C 22．（2009年甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ） A．12m B．10m C．8m D．7m

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】A 23．（2009年福州）如图2，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（ ）

A．2DE=3MN， B．3DE=2MN， C． 3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F

HMGCNFDBEA图2

【关键词】位似变换 【答案】B 24．（2009年宜宾）若一个图形的面积为2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【关键词】相似图形的性质 【答案】A.

25.（2009年台湾） 某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7。若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？ (A) 3：4 (B) 4：5 (C) 5：6 (D) 6：7 。

【关键词】比例 【答案】A 26．（2009年兰州）如图4，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是

A．24m B．25m C．28m D．30m

【关键词】相似三角形、灯光与影子 【答案】D

中，D，E，27．(2009年湖州)如图，在正三角形ABCF分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ） A．1∶3

B．2∶3

C．3∶2

D．3∶3

A F

E

B D （第11题）

C

【关键词】等边三角形的性质，相似的性质 【答案】A

28．(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )

A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张

【关键词】等腰三角形性质，三角形相似的性质，梯形中位线 【答案】C

29．（2009年广西梧州）如图（5），正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O， 则等于（ ）

AODO25 32 C．

3 A．D O A C F

1 31 D．

2

B．

E B 图（5）

【关键词】相似三角形 【答案】D

30．(2009年甘肃定西)如图3，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，

移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ） A．12m B．10m C．8m D．7m

【关键词】相似三角形 【答案】A 31．（09湖南怀化）如图1，D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE:S△ABC?（ ） A． 1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D． 2∶3

【关键词】相似三角形有关的计算 【答案】C 32．（2009年山西省）如图，AB是⊙O的直径，AD是线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB?2，OD?3,长为（ ） A．

⊙O的切则BC的

D．

2 3B．

3 2C．

3 22 2CC BB O

A

A 【关键词】圆周角和圆心角；切线定理；相似三角形有关的计算；相似三角形与圆

【答案】A

，BC?3，AC?4，AB的垂33．（2009年山西省）如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）

A．

B．A

D B E

D 725 C． 66 D．2

C 【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质 【答案】B

34．(2009年抚顺市)如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG?2，则CF的长为（ ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 A F E

G

C B

【关键词】中位线 35．（2009呼和浩特）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，

C CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形的个数有（ ） E A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

A 【关键词】相似三角形判定和性质 B O D 【答案】

二、填空题

1.(2009年滨州)在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(2，3)，若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A?B?C?，使△ABC与△A?B?C?的相似比等于的坐标为 ． 【关键词】三角形位似.. 【答案】（4，6）

2. （2009年重庆市江津区）锐角△ABC中，BC＝6,S?ABC?12,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x ＝ ，公共部分面积y最大，y最大值 ＝ ,

1，则点A?2 【关键词】三角形、正方形、二次函数极值 相似 【答案】x?3,y?6 3．（2009年吉林省）如图，△OAB的顶点B的坐标为（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果CB?1,那么OE的长为 ．

【关键词】平移，平面直角坐标系内的平移 【答案】7

（第2题图）

y A D 4.（2009山西省太原市）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为 cm．（结果精确到0.1cm）

O C B E x

解析：本题考查黄金分割的有关知识，由题意知AC2?BC?AB， ∴AC2??10?AC??10，解得x≈6.2，故填6.2.．

【关键词】黄金分割 【答案】6.2.

5 （2009山西省太原市）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到

距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高 为 米． 甲 小华乙

解析：本题考查相似的有关知识，设路灯高为x米，由相似得 1.55，解得x?9，所以路灯甲的高为9米，故填9. ?x30【关键词】相似三角形的应用 【答案】9. 6．（2009威海）如图，△ABC与△A′B′C ′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2A A′,S△ABC=8，则S△A′B′C ′=________．

C?

C O A? A B （第16题图）

B?

【关键词】位似图形

【答案】18

7．（2009烟台市）如图，△ABC与△AEF中，AB?AE，BC?EF，?B??E，AB交EF于D．给出下列结论： ①?AFC??C； ②DF?CF；

③△ADE∽△FDB； ④?BFD??CAF．

其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．

A E

D B

F C

【关键词】全等、相似 【答案】①，③，④

，8．(2009年牡丹江市)如图，Rt△ABC中，?ACB?90°直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AEG?A

1CFS四边形EBCG，? ． 则3ADE B

G C

F D

【关键词】相似三角形的性质 【答案】

1 29．（2009年孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ▲ ．

【关键词】相似三角形 【答案】144; 10．（2009年甘肃庆阳）如图11，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为

（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ．

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】（?2，0） 11．（2009年广西南宁）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图6所示）.现测得OA?20cm，OA??50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．

A′

A O 灯

三角尺 图6

投影

【关键词】投影；相似三角形 【答案】

2 512．（2009年日照市）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．

A

E B′

B

【关键词】相似三角形的性质 【答案】

F （第16题图）

C 12或2; 713．（2009年重庆）已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．

【关键词】相似三角形的性质 【答案】2:5．

14.（2009年宜宾）如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米．

【关键词】相似三角形的性质 【答案】1.

15．（2009年凉山州）已知△ABC∽△A?B?C?且S△ABC:S△A?B?C??1:2，则

??BAB:A= ．

【关键词】相似三角形的性质

【答案】1:2 ，16．（2009年牡丹江）如图，Rt△ABC中，?ACB?90°直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AEG?【关键词】相似三角形的面积比 【答案】

1CFS四边形EBCG，? ． 则3AD1 217．（2009年莆田）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20m，则AB=__________m．

A E C

F B

【关键词】相似三角形 【答案】40

18．(2009年宁德市)如图，△ABC与△DEF是位似图形，D

A 位似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长为 ____．

【关键词】位似

C F 【答案】6

O 19．（2009年山西省）如图，△ABC与△A?B?C?是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． B E y第18题图 11 10 9 8 7 6 5 A B?4 C? 3 B C 2 1 12 x O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A?

【关键词】解一元二次方程；一元二次方程根与系数的关系；中心投影 【答案】（9，0）

?1:220．（2009年黄石市）在□ABCD中，E在DC上，若DE:EC，则

BF:BE? ．

【关键词】平行四边形的性质；相似三角形判定和性质

D A

E C B

【答案】3:5 21．（2009年新疆乌鲁木齐市）如图2，在△ABC中，DE∥BC，A

，DE?2，BD?3，则BC? ． 若AD?1E D 【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】8

B C

图2 22．（2009年）11．如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC

和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10mm，则零件的厚度x?_____mm．

F x D O C A B ?25

【关键词】相似三角形 【答案】 23．（2009东营）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ． 【关键词】相似三角形

12或2; 724．（09四川绵阳）小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A = 30?．已知楼房CD21米，且与树BE之间的距离BC = 30米，则【答案】

此树的高度约为 米．（结果保留两个有效数字，3≈1.732）

【关键词】相似三角形

D E

【答案】3.7

三、解答题

N 1．（2009东营）某仓库为了保持库内的湿度和温度，M 四周墙上

均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，

C D 其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持

A B E 和AB平行的伸缩横杆．

（第23题图） （1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；

（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；

（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

【关键词】二次函数与面积，相似 【答案】 2．（2009年郴州市）如图8，在DABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3， （1）求

G AD的值，（2）求BC的长 ABD A E

【关键词】相似 【答案】解：（1）因为AD=4，DB=8

所以AB=AD+DB=4+8=12

AD41== AB123（2）因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC

DEAD= 所以 BCAB 因为DE=3

31= 所以

BC3所以BC=9

所以

B 图8

C

3．（2009年常德市）如图7，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．

【关键词】相似 【答案】

△ABE 与△ADC相似．理由如下： 在△ABE与△ADC中 ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90o， ∵AD是△ABC的边BC上的高， ∴∠ADC=90o， ∴∠ABE=∠ADC．

图7

又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA=∠DCA． ∴△ABE ～△ADC．

4．(2009武汉)如图1，在Rt中，?BAC?90°，AD⊥BC于点D，点O是AC交BC边于点E．

边上一点，连接BO交AD于F，

（1）求证：△ABF∽△COE；

（2）当O为AC边中点，

ACOF?2时，如图2，求的值； ABOEACOF?n时，请直接写出（3）当O为AC边中点，的值． ABOEB

D F A

O 图1

E C A

O 图2

B F D

E C

【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】解：（1）?AD⊥BC，??DAC??C?90°． ??BAC?90°，??BAF??C． ?OE⊥OB，??BOA??COE?90°，

，??ABF??COE．

?△ABF∽△COE；

G

B F A

D E

C

O

（2）解法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G． ?AC?2AB，O是AC边的中点，?AB?OC?OA．

由（1）有△ABF∽△COE，， ?BF?OE．

??BAD??DAC?90°，?DAB??ABD?90°，??DAC??ABD， 又?BAC??AOG?90°，AB?OA．

?△ABC≌△OAG，?OG?AC?2AB．

，?AB∥OG，?△ABF∽△GOF，

?B OFOG?，BFABD F E O C

．

A

，AC?2AB，AD⊥BC于D， 解法二：??BAC?90°ADAC??2． BDAB设AB?1，则AC?2，BC?5，BO?2，

211?AD?5，BD?AD?5．

525??BDF??BOE?90°，△?BDF∽△BOE， BDBO??． DFOE155由（1）知，设OE?BF?x，??DF11222x，?x?在△DFB中x??．

5103424OF3?OF?OB?BF?2?2?2．??33OE23OF?n． （3）OE．?2，?x?10DF． x2?2． 2

5．(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q

PQAD?（如图8所示）． PCAB（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图9所示），求线段PC的长；

3（2）在图8中，联结AP．当AD?，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的

2S△APQ距离为x，?y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求yS△PBC在射线AB上，且满足

关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图10所示），求?QPC的大小．

A

P D A

P

D A

P D

Q B 图8

C B （Q）

图9 ）

C

B

C

图10

Q

【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 【答案】（1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2， ∴

PQAD?=1，∠D=45° PCAB13BC?。 22∴PQ=PC即PB=PC， 过点P作PE⊥BC，则BE=而∠PBC=∠D=45° ∴PC=PB=

32 2（2）在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB ∴

EBAD33???2? EPAB2411?BC?PE??3?4k?6k， 22AQ2?x12?x12?x??S?APB???AB?PF???2?3k??3kAB22222

设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k ∴S?BPC?S?APQ=

?2?x??3k2∴y?S?BPC12k4 ??S?APQ?2?x??3k2?xD

A

P

P F

D

A

D

函数定义域为0?x?2 A F

P Q B E 图8

C B （Q）

图9 ）

C

B Q

E

图10

C

（3）答：90°

证明：在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB

EBAD? EPABPQADEBPF??∴= PCABPEPE∴

∴Rt△PQF∽Rt△PCE ∴∠FPQ=∠EPC

∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°

6．(2009年陕西省)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：

如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．

已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．

【关键词】利用相似知识测物高

【答案】解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，则EH＝AG＝CD＝1.2， DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30． ∵EF∥AB，

FHDH?∴． BGDG由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5． 0.50.8?∴，解之，得BG＝18.75． BG30∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0． ∴楼高AB约为20.0米．

E A D

F

B C

7．（2009年长春）如图，在矩形ABCD中，点E、F分

别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB?6，AE?9，DE?2，求EF的长．

【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】

解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6

∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9

∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=∵△ABE∽△DEF，

AE2?AB2?92?62?117

ABBE6117?，即? DEEF2EF117∴EF=

3∴

8．（2009年长春）如图，在ABCD中，?BAD?32°，分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE?BC，DF?DC，?EBC??CDF．延长AB交边EC于

F 点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF．

（1）求证：△ABE≌△FDA．（4分）

A （2）当AE⊥AF时，求?EBH的度数．

D 【关键词】平行四边形的性质、相似三角形有关的计算和证明 C B 【答案】

（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB=DC. H 又∵DF=DC，∴AB=DF. 同理EB=AD.

E 在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC.

又∵∠EBC=∠CDF，∴∠ABE=∠ADF，∴△ABE≌△FDA. （2）解：∵△ABE≌△FDA，

∴∠AEB=∠DAF.

∵∠EBH=∠AEB+∠EAB, ∴∠EBH=∠DAF+∠EAB. ∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°.

∵∠BAD=32°，∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°，∴∠EBH=58°. 9．（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B

＝α，

A M B 且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

G （2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长． F C 【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明

D

【答案】（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）第22题图 E 以下证明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ∴△AMF∽△BGM．

（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC

∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝22 ?AFBM ?AMBGAM?BM22?228?? ∴BG?AF33又∵AMF∽△BGM，∴

又AC?BC?42cos45??4，∴CG?4?84?，CF?4?3?1 3345∴FG?CF2?CG2?12?()2?

3310.（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(?8，0)，

直线BC经过点B(?8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转?度得到四边形OA?B?C?，此时直线OA?、直线B?C?分别与直线BC相交于点P、Q． （1）四边形OABC的形状是 ， 当??90°时，

BP的值是 ； BQBP的值； BQ②如图3，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时，求△OPB?的面积．

（3）在四边形OABC旋转过程中，当0??≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使

1BP?BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2（2）①如图2，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时，求y y ?B A? ?Q） ?BQ C B C （ B AP P C? A O x O x A C? （图2） （图3）

【关键词】相似三角形有关的计算和证明 10题） （第【答案】解：（1）矩形（长方形）；

y B C A O （备用图） x BP4?． BQ7（2）①??POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°， ?△COP∽△A?OB?． CPOCCP6???， ，即A?B?OA?6897?CP?，BP?BC?CP?．

22同理△B?CQ∽△B?C?O， CQB?CCQ10?6???，即， 68C?QB?C??CQ?3，BQ?BC?CQ?11． BP7??． BQ22②在△OCP和△B?A?P中，

??OPC??B?PA?，? ??OCP??A??90°，?OC?B?A?，??△OCP≌△B?A?P(AAS)． ?OP?B?P． 设B?P?x，

在Rt△OCP中， (8?x)2?62?x2，解得x?25． 412575?S△OPB????6?．

2441BQ． 23?7???点P的坐标是P，?9?6，6P6?． 2??，1??42????（3）存在这样的点P和点Q，使BP?对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．

过点Q画QH⊥OA?于H，连结OQ，则QH?OC??OC，

?S△POQ?11PQ?OC，S△POQ?OP?QH， 22?PQ?OP． 设BP?x，

1?BP?BQ，

2?BQ?2x，

① 如图1，当点P在点B左侧时， OP?PQ?BQ?BP?3x，

在Rt△PCO中，(8?x)?6?(3x)，

222y B?P B Q C H A?A O y C? 336，x2?1?6（不符实际，舍去）． 223?PC?BC?BP?9?6，

23???P?9?6，61??．

2??解得x1?1?②如图2，当点P在点B右侧时，

?OP?PQ?BQ?BP?x，PC?8?x． 在Rt△PCO中，(8?x)?6?x，解得x?222x B?B A?P H O C Q C? A x 25． 4?PC?BC?BP?8?257?， 44?7??P2??，6?．

?4?综上可知，存在点P1??9???13?7??6，6?，P2??，6?，使BP?BQ．

22?4??

11.(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（1）当x=0时，折痕EF的长为 # .； 当点E与点A重合时，折痕EF的长为 # .； （2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取

值范围，并求出当x=2时菱形的边长；

（3）令EF2?y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断?EAP与?PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。

温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

【关键词】相似三角形 【答案】

解：（1）3， 2 （2）1≤x≤3．

当x?2时，如图1，连接DE、PF， ?EF为折痕，?DE?PE， 令PE为m，则AE?2?m，

在Rt△ADE中，AD?AE?DE，

222D

F

C

A

E P 图1

B

?1?(2?m)2?m2，

55解得m?，此时菱形边长为．

44（3）如图2，过E作EH⊥BC， 易证△EFH∽△DPA， FHAP??，?FH?3x EHAD?y?EF2?EH2?FH2?9?9x2

当F与点C重合时，如图3，连接PF，

D E O A P D E O 图3 图2

C F H B (F) C H B

A P ?PF?DF?3，?PB?32?12?22，

?0≤x≤3?22．

显然，函数y?9?9x2的值在y轴的右侧随x的增大而增大，

当x?3?22时，y有最大值． 此时?EPF?90°，△EAP∽△PBF．

综上所述，当y取最大值时，△EAP∽△PBF，x?3?22（?EPF?90°不写不扣分）． 12．（2009年吉林省）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F， 使DF?AD，连接BC、BF．

A D E C B

（1）求证：△CBE∽△AFB； （2）当

F

O BE5CB?时，求的值 FB8AD【关键词】相似三角形判定和性质

【答案】（1）证明：?AE?EB,AD?DF,

?ED是△ABF的中位线，

?ED∥BF,

??CEB??ABF, 又?C??A, ?△CBE∽△AFB,

（2）解：由（1）知， △CBE∽△AFB,

?CBBE5??. AFFB8又AF?2AD, CB5??． AD4

13.（2009年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

0)，（1）如图1，若F1：y?x，经过变换后，得到F2：y?x?bx，点C的坐标为(2，22

则①b的值等于______________； ②四边形ABCD为（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

（2）如图2，若F1：y?ax2?c，经过变换后，点B的坐标为(2，c?1)，求△ABD的面积；

1227x?x?，经过变换后，AC?23，点P是直线AC上333的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

（3）如图3，若F1：y?

【关键词】平移变换 【答案】

14．(2009年安顺)如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3） △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质 【答案】（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），

∴设抛物线解析式为y?ax2?bx?3(a?0) 根据题意，得??a?b?3?0?a??1，解得?

?9a?3b?3?0?b?2∴抛物线的解析式为y??x2?2x?3 (5′)

(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） 设对称轴与x轴的交点为F ∴四边形ABDE的面积===

（3）似

如图，BD=BG?DG?1?1?2； ∴BE=BO?OE?3?3?32

DE=

222222BD?BE?20DE?20 ∴,

111?1?3?(3?4)?1??2?4=9 2222222

2222即： BD?BE?DE,所以?BDE是直角三角形 ∴?AOB??DBE?90?,且

AOBO2, ??BDBE2∴?AOB∽?DBE

015．（2009年济宁市）如图，?ABC中，?C?90，AC?4，BC?3.半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t（单位：. s）（1）当t为何值时，⊙P与AB相切； （2）作PD?AC交AB于点D，如果⊙P和线段BC交于点E，证明：当t?时，四边形PDBE为平行四边形.

16s5BBD E

AP· C

AP图2

C 图1

【关键词】相似

【答案】(1)解：当⊙P在移动中与AB相切时，设切点为M，连PM，

0则?AMP?90.

∴?APM∽?ABC.∴∵AP?t,AB?∴

APPM?. ABBCAC2?BC2?5,

t15?.∴t?. 533(2)证明：∵BC?AC，PD?AC，∴BC∥DP.

1616s时，AP?. 当t?5543164?.∴EC?PE2?PC2?12?()2?. 5555312∴BE?BC?EC?3??.

5516PDAPPD5?∵?ADP∽?ABC,∴.∴， ?BCAC3412∴PD?.∴PD?BE.

5∴PC?4?∴当t?16s时，四边形PDBE为平行四边形. 5 16．（2009年清远）如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC． （1）求证：△ABC∽△POA； （2）若OB?2，OP?A 7，求BC的长． 2P O C B

【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】（1）证明：?BC∥OP ??AOP??B ?AB是直径 ??C?90°

?PA是⊙O的切线，切点为A ??OAP?90° ?C??OAP

?△ABC∽△POA

（2）?△ABC∽△POA BCAB?? OAPO7?OB?2，PO?

2?OA?2，AB?4 BC4??

722716?BC?8， BC? 27A P O 17．（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，?B和?C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h．

（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？

A

C B M N

B

C

【关键词】分类讨论思想 【答案】解：（1）?MN∥BC ?△AMN∽△ABC

?hx? 68?h?3x4 （2）?△AMN≌△A1MN ?△A1MN的边MN上的高为h， ①当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时，

y?S1△A1MN=2MN·h?1332x·4x?8x2（0?x≤4） ②当A1落在四边形BCNM外时，如下图(4?x?8)，

设△A1EF的边EF上的高为h1， 则h2h?6?31?2x?6

?EF∥MN?△A1EF∽△A1MN

?△AMN1∽△ABC?△A1EF∽△ABC S2△A1EFS???h1?△ABC?6?? ?32?S1?x?6??32△ABC?2?6?8?24 ?S△A1EF???26??24?x?1x2??2????y?S3?3?9△A1MN?S△A1EF?8x2???2x2?12x?24????8x2?12x?24

所以 y??928x?12x?24(4?x?8)

综上所述：当0?x≤4时，y?328x，取x?4，y最大?6

当4?x?8时，y??928x?12x?24，

取x?163，y最大?8

?8?6

?当x?163时，y最大，y最大?8

2 4

A

M N

B

E A1

F C

18．（2009泰安）将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。

（1） 求证：DB∥CF。

（2） 当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB。

【关键词】相似、切线 【答案】证明：（1）连接OF，如图 ∵AB且半圆O于F， ∴OF⊥AB。

∵CB⊥AB ，∴BC∥OF。 ∵BC=OD，OD=OF， ∴BC=OF。

∴四边形OBCF是平行四边形， ∴DB∥CF。

（2）

∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90°， ∴∠A∠OBF∠BOF

∵∠OBF=∠BFC，∠BFC＞∠A， ∴∠OBF＞∠A

∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。 ∴∠A与∠BOF是对应角。

∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=

43 319．（2009泰安）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。 （1） 求证：FD2=FB●FC。 （2） 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？

并说明理由。

【关键词】相似、垂直 【答案】证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点 ∴DE=EA ∴∠A=∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠A

∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ∴∠FDC=∠FBD ∵F是公共角

∴△FBD∽△FDC

FBFD? FDFC2∴FD?FB?FC

∴

（2）GD⊥EF 理由如下：

∵DG是Rt△CDB斜边上的中线， ∴DG=GC ∴∠3=∠4

由（1）得∠4=∠1 ∴∠3=∠1

∵∠3+∠5=90° ∴∠5+∠1=90° ∴DG⊥EF 20、（2009江西）问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm. 乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.

丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm. 任务要求

（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；

（2）如图3，设太阳光线NH与?O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562?2082?2602）. E N

KE E ME OE B

【关键词】相似、光影 【答案】解：（1）由题意可知：∠BAC?∠EDF?90?，?BCA??EFD．

∴△ABC∽△DEF．

∴

ABAC8060?，?．即 DEDFDE900∴DE=1200（cm）．

所以，学校旗杆的高度是12m． （2）解法一： 与①类似得：

ABAC8060?，?．即 GNGHGN156∴GN=208．

在Rt△NGH中，根据勾股定理得： NH2?1562?2082?2602. ∴NH=260．

设?O的半径为rcm，连结OM， ∵NH切?O于M，∴OM?NH． 则∠OMN??HGN?90?，又∠ONM?∠HNG．

OMON?． HGHN又ON?OK?KN?OK?(GN?GK)?r?8．

rr?8?，∴解得：r=12． 156260∴△OMN∽△HGN．∴

所以，景灯灯罩的半径是12cm．

E

B

80cm C D A 900cm 60cm 图1

图2

图3

NKE E ME OE 200cm F

G 156cm H

解法二： 与①类似得：

ABAC8060?，?．即 GNGHGN156∴GN=208．

设?O的半径为rcm，连结OM， ∵NH切?O于M，∴OM?NH． 则∠OMN??HGN?90?，又∠ONM?∠HNG， ∴△OMN∽△HGN．

OMMNrMN?，?．即 HGGN1562084∴MN?r，又ON?OK?KN?OK?(GN?GK)?r?8．

3在Rt△OMN中，根据勾股定理得：

∴

2?4?即r2?9r?36?0． r??r???r?8?，?3?解得：r，r2??3（不合题意，舍去） 1?1222所以，景灯灯罩的半径是12cm．

21．（2009年甘肃庆阳）（10分）如图16，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．

△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F． （1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．

图16

【关键词】相似三角形 【答案】 本小题满分10分 证明：（1）

∵ AC?3,BC?6?3,DC2 CE42 ∴ AC?BC.

DCCE 又 ∠ACB=∠DCE=90°， ∴ △ACB∽△DCE．

（2） ∵ △ACB∽△DCE，∴ ∠ABC＝∠DEC． 又 ∠ABC＋∠A =90°，∴ ∠DEC＋∠A=90°． ∴ ∠EFA=90°． ∴ EF⊥AB．

22．(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE； （2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

G

G

D

A D F F

【关键词】四边形中三角形全等G 和相似的运用 M B E C N M B E C N A D 解：（1）∵四边形ABCD和四边形图（1）

AEFG是正方形 图（2）

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝

F

∠EAG＝90o

∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD

E M B C H N ∴∠BAE＝∠DAG

图（1） ∴△ BAE≌△DAG

（2）∠FCN＝45o 理由是：作FH⊥MN于H ∵∠AEF＝∠ABE＝90o

∴∠BAE +∠AEB＝90o，∠FEH+∠AEB＝90o ∴∠FEH＝∠BAE

又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90o

∴△EFH≌△ABE

∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH ∵∠FHC＝90o，∴∠FCH＝45o （3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变， 理由是：作FH⊥MN于H

由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90o 结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG

A 又∵G在射线CD上

∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90o ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，

M B EHFHFHE

∴＝＝ ABBECH

FHEHb

∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝

CH ABa

b

∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝

a

23.(2009年潍坊)已知△ABC，延长BC到D，使交AC于点E．

（1）求的值；

（2）若AB?a，FB?EC，求AC的长．

B

解：（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M． ?F为AB的中点

F G D F

C 图（2）

H

N

．取AB的中点F，连结FDA

E C A

E M C D D

1AC． 2由FM∥AC，得?CED??MFD， ?ECD??FMD，△?FMD∽△ECD DCEC2??? DMFM32211?EC?FM??AC?AC

33231AC?ACAEAC?EC23???? ACACAC311?FB?AB?a （2）?AB?a，22?M为BC的中点，FM?又

F B

?EC?13AC，?AC?3EC?a． 32

24.(2009年咸宁市)如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A?C?D?．

（1）证明△A?AD?≌△CC?B；

??（2）若?ACB?30°，试问当点C?在线段AC上的什么位置时，四边形ABCD? D是菱形，

D 并请说明理由．

C A?? CA B 0（第 BC25?3题）25．（2009年济宁市）如图，?ABC中，?C?90，AC?4，.半径为1的圆的

圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t（单位：. s）（1）当t为何值时，⊙P与AB相切； （2）作PD?AC交AB于点D，如果⊙P和线段BC交于点E，证明：当t?时，四边形PDBE为平行四边形.

16s5BBD E

AP· C

AP图2

C 图1

【关键词】相似

【答案】(1)解：当⊙P在移动中与AB相切时，设切点为M，连PM，

0则?AMP?90.

∴?APM∽?ABC.∴∵AP?t,AB?∴

APPM?. ABBCAC2?BC2?5,

t15?.∴t?. 533(2)证明：∵BC?AC，PD?AC，∴BC∥DP.

1616s时，AP?. 55164?. ∴PC?4?55当t?43PE2?PC2?12?()2?.

55312∴BE?BC?EC?3??.

55∴EC?16PDAPPD5?∵?ADP∽?ABC,∴.∴， ?BCAC3412∴PD?.∴PD?BE.

5∴当t?16s时，四边形PDBE为平行四边形. 5 26、（2009年凉山州）如图，△ABC在方格纸中 （1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2，，3)C(6，2)，并求出B点坐标； （2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A?B?C?；

（3）计算△A?B?C?的面积S． A

C 【关键词】位似、相似比、面积 B 【答案】（1）画出原点O，x轴、y轴．B(2， 1)，（2）画出图形△A?B?C?． y

A?

A B? B O （3）S?

（第18题）

C?C x 1?4?8?16． 2（第18题答图）

27．（2009年中山）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直， （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BM?x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值． 【关键词】相似三角形有关的计算和证明

【答案】（1）在正方形ABCD中，A?BB?C4，?CD??°9，B?C ??AM?MN， ??AMN?90°，

??CMN??AMB?90°．

在Rt△ABM中，?MAB??AMB?90°， ??CMN??MAB，

?Rt△ABM∽Rt△MCN． （2）?Rt△ABM∽Rt△MCN，

ABBM4x?，??， MCCN4?xCN?x2?4x?CN?，

4?1??x2?4x11?y?S梯形ABCN???4??4??x2?2x?8??(x?2)2?10

2?422?当x?2时，y取最大值，最大值为10． （3）??B??AMN?90°，

AMAB?， ?要使△ABM∽△AMN，必须有

MNBMAMAB?由（1）知， MNMC?BM?MC，

?当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x?2．

? 28．（2009年牡丹江）如图，ABCD在平面直角坐标系中，AD?6，若OA、OB的长

2是关于x的一元二次方程x?7x?12?0的两个根，且OA?OB． y （1）求sin?ABC的值．

?16，求经过D、E两点的直线的解A 3析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点

O F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，B 请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）若E为x轴上的点，且S△AOE?D C x 【关键词】三角函数，一次函数，菱形，相似三角形的综合应用 【答案】（1）解x2?7x?12?0得x1?4，x2?3 ?OA?OB

?OA?4，OB?3

在Rt△AOB中，由勾股定理有AB?OA2?OB2?5

?sin?ABC?OA4? AB516 3（2）∵点E在x轴上，S△AOE?116?AO?OE? 238?OE?

3?8??8??E?，0?或E??，0?

33????由已知可知D（6，4）

?8??3?6?k??4?6k?b???5解得? 8?160?k?b??b??3??5?616?yDE?x?

55616?8?同理E??，0?时，yDE?x?

1313?3?设yDE?kx?b，当E?，0?时有

8 3，OA?4，OD?6 在△AOD中，?OAD?90°OEOA?? OAOD?△AOE∽△DAO

，OA?4，OE?在△AOE中，?AOE?90°（3）满足条件的点有四个

?7522??4244?F1(3，；8)F2(?3，；0)F3??，??；F4??，??

7??14?2525?

29．(2009年南充)如图8，半圆的直径AB?10，点C在半圆上，BC?6． （1）求弦AC的长；

（2）若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．

C E A

P

B

【关键词】圆的性质，三角形相似的性质

【答案】解：?AB是半圆的直径，点C在半圆上， ??ACB?90°．

在Rt△ABC中，AC?AB?BC?10?6?8 （2）?PE⊥AB，

??APE?90°．??ACB?90°， ??APE??ACB． 又??PAE??CAB， ?△AEP∽△ABC，

2222PEAP? BCAC110?PE2 ??683015?PE??．

84?

30．(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8，与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F． (1)求m，n的值；

(2)求直线AB的函数解析式； (3)求证：△AEC∽△DFB．

【关键词】反比例函数的定义，待定系数法确定一次函数的解析式，相似的判定 【答案】解：（1）由题意得1=

m ∴m=6 6

∴n=

6 ∴n=2 3（2）设直线AB的函数解析式为y=kx+b

?k?b?6

?3k?b?2?k??2解得?

b?8?由题意得? ∴直线AB的函数解析式为y=－2x+8。

（3）∵y=－2x+8

∴A（0，8），B（4，0） ∵CE⊥y轴，DF⊥x轴， ∴∠AEC=∠DFB=Rt∠ ∵AE=DF=2，CE=BF=1， ∴△AEC≌△DFB。

31．(2009年温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE． ’ (1)当BD=3时，求线段DE的长；

(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．

【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定 【答案】解：（1）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5，

∵DB为直径，

∴∠DEB=∠C=90°，

又∵∠B=∠B ，∴△DBE∽△ABC

DEBD? ACAB9∴DE=。

5∴

即

DE3? 35（2）解法一：连结OE，

∵EF为半圆O的切线， ∴∠DEO+∠DEF=90°， ∵∠AEF+∠DEF=90°， ∴∠AEF=∠DEO， ∵△DBE∽△ABC， ∴∠A=∠EDB，

又∵∠EDO=∠DEO， ∴∠AEF=∠A，

∴△FAE是等腰三角形。

解法二：连结OE，

∵EF为半圆O的切线， ∴∠AEF+∠OEB=90°， ∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°， ∵OE=OB

∴∠OEB=∠B， ∴∠AEF=∠A

∴△FAE是等腰三角形。

32．（2009临沂）如图，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0，?2)三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM?x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

y

【关键词】抛物线的解析式，相似的性质，二次函数的最值问题

【答案】解：（1） ?2)，?该抛物线过点C(0，?可设该抛物线的解析式为y?ax?bx?2．

0)，B(1，0)代入， 将A(4，2O B 1 ?2 C 4 A x 1?a??，?16a?4b?2?0，??2得?解得? ?a?b?2?0.?b?5.??215?此抛物线的解析式为y??x2?x?2．

22（2）存在．

y B O 1 ?2 C D P A M E 4 x 如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为?当1?m?4时，

125m?m?2， 2215AM?4?m，PM??m2?m?2．

22又??COA??PMA?90°，

AMAO2??时， ?①当

PMOC1△APM∽△ACO，

5?1?即4?m?2??m2?m?2?．

2?2?解得m1?2，?P(2，1)． ，m2?4（舍去）

AMOC115??时，△APM∽△CAO，即2(4?m)??m2?m?2． ②当

PMOA222解得m1?4，m2?5（均不合题意，舍去）

1)． ?当1?m?4时，P(2，类似地可求出当m?4时，P(5，?2)． 当m?1时，P(?3，?14)．

综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，?14)． ?2)或(?3，125（3）如图，设D点的横坐标为t(0?t?4)，则D点的纵坐标为?t?t?2．

22过D作y轴的平行线交AC于E．

1由题意可求得直线AC的解析式为y?x?2．

2?1??E点的坐标为?t，t?2?．

?2?151?1??DE??t2?t?2??t?2???t2?2t．

222?2?1?1??S△DAC????t2?2t??4??t2?4t??(t?2)2?4．

2?2??当t?2时，△DAC面积最大．

?D(2，1)．

33．（2009肇庆）23．如图 8，在△ABC中，AB?AC，?A?36°，线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D，交 AC 于 E，连接BE． A （1）求证：∠CBE=36°； （2）求证：AE2?AC?EC． D E

【关键词】三角形相似 C B

EB【答案】证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴EA?图8 ，

∴?EBA??A?36°．∵AB?AC，?A?36°，∴?ABC??C?72°．∴?CBE??ABC??EBA?36°．?C?72°，?CBE?36°，（2）由（1）得，在△BCE中， ∴?BEC??C?72°，∴BC?BE?AE．在△ABC 与△BEC中，?CBE??A，?C??C，

∴△ABC∽△BEC．

ACBC2?，即BC? AC?EC． BCEC2故AE? AC?EC．

∴

34．（2009年莆田）已知，如图1，过点E?0，?1?作平行于x轴的直线l，抛物线y?12x4上的两点A、B的横坐标分别为?1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线

l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．

（1）求点A、B、F的坐标； （2）求证：CF?DF；

y y B F A O C E D l x F O C E 备用图

（3）点P是抛

D x （图1）

12x对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在4点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存

物线y?在，请说明理由．

【关键词】二次函数、抛物线、一次函数、相似三角形 （1）解:方法一，如图1，当x??1时,y?当x?4时,y?4

1 4

y B F A O C E D l x

（图1）

∴A??14? ，? B?4，1?4?设直线AB的解析式为y?kx?b

13???k?b?k???则?4 解得?4 ???4k?b?4?b?13∴直线AB的解析式为y?x?1

4当x?0时,y?1?F?01，?

H,方法二:求A、B两点坐标同方法一,如图2,作FG?BD,AH?BD,垂足分别为G、

交y轴于点N,则四边形FOMG和四边形NOMH均为矩形,设FO?x

??y B F A O C E G H M D l x

（图2）

?△BGF∽△BHA BGFG?? BHAH4?x4??

154?4解得x?1 ?F?0，1?

(2)证明：方法一：在Rt△CEF中，CE?1,EF?2 ?CF2?CE2?EF2?12?22?5 ?CF?5 在Rt△DEF中，DE?4，EF?2 ?DF2?DE2?EF2?42?22?20

?DF?25 由（1）得C??1，?1?，D?4，?1? ?CD?5

?CD2?52?25 ?CF2?DF2?CD2 ??CFD?90° ?CF⊥DF

55?3?方法二：由 （1）知AF?1????，AC?

44?4??AF?AC 同理：BF?BD ??ACF??AFC ?AC∥EF

??ACF??CFO ??AFC??CFO

同理：?BFD??OFD

??CFD??OFC??OFD?90° 即CF⊥DF

（3）存在.

解：如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M

y P 2F O C E M l D 图3 又?PQ⊥OP

Q x

?Rt△OPM∽Rt△OQP PMOM?? PQOPPQPM?? OPOM12?1?设P?x，x2??x?0?，则PM?x，OM?x

4?4?①当Rt△QPO∽Rt△CFD时，

PQCF51??? OPDF25212xPM41??? OMx2解得x?2 ?P，? 1?21②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时， PQDF25???2 OPCF512xPM4???2 OMx解得x?8?P，? 2?816综上，存在点P，，?使得△OPQ与△CDF相似. ?、P2?8161?21 35．（2009年包头）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC?PC，?COB?2?PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC?1AB； 2（3）点M是?AB的中点，CM交AB于点N，若AB?4，求MN?MC的值．

C C A

O N B P A

O N B P

M M

【关键词】圆、切线

??A??ACO， 解：（1）?OA?OC，又??COB?2?A，?COB?2?PCB， ??A??ACO??PCB． 又?AB是⊙O的直径， ??ACO??OCB?90°，

??PCB??OCB?90°，即OC⊥CP， 而OC是⊙O的半径， ?PC是⊙O的切线．

??A??P， （2）?AC?PC，??A??ACO??PCB??P，

又??COB??A??ACO，?CBO??P??PCB，

??COB??CBO，?BC?OC，?BC?1AB． 2（3）连接MA，MB，

?，??ACM??BCM， AB的中点，??AM?BM?点M是?而?ACM??ABM，??BCM??ABM，而?BMN??BMC，

BMMN?△MBN∽△MCB，??，?BM2?MN?MC，

MCBM?， 又?AB是⊙O的直径，?AM?BM??AMB?90°，AM?BM． ?AB?4，?BM?22，?MN?MC?BM2?8．

36.（2009年广西钦州）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．

C DAEO?B

（1）求证：BC＝CD； （2）求证：∠ADE＝∠ABD； （3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长． 【关键词】切线长定理、相似三角形. 【答案】 解：（1）∵∠ABC＝90°，

∴OB⊥BC． ∵OB是⊙O的半径，

C DAEO?B∴CB为⊙O的切线．

又∵CD切⊙O于点D， ∴BC＝CD； （2）∵BE是⊙O的直径，

∴∠BDE＝90°．

∴∠ADE＋∠CDB ＝90°． 又∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD＋∠CBD＝90°．

由（1）得BC＝CD，∴∠CDB ＝∠CBD． ∴∠ADE＝∠ABD； （3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．

∴△ADE∽△ABD．

ADAE＝． ABAD21∴＝，∴BE＝3，

21?BE∴所求⊙O的直径长为3．

∴32

x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、43C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是

4t线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

37.（2009年广西钦州）如图，已知抛物线y＝

（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

yQHPAOBxC（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由． 【关键词】二次函数、相似三角形.

9【答案】解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．

4 yQHPAOBxC（2）由（1），得y＝

329x－x－3，它与x轴交于A，B44两点，得B（4，0）．

∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5． 由题意，得△BHP∽△BOC， ∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5， ∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5， ∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t． ∴OH＝OB－HB＝4－4t．

3由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．

4t∴OQ＝4t．

①当H在Q、B之间时， QH＝OH－OQ

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