考研数二历年真题(2016-2002)

2016年考研数学二真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1１．当x?0时，若ln?(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围

?是（ ）

（A）(2,??) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,) 2．下列曲线有渐近线的是

（A）y?x?sinx （B）y?x2?sinx（C）y?x?sin （D）y?x?sin12121x21 x3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（ ）

（A）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （B）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f??(x)?0时，f(x)?g(x)

?x?t2?7,4．曲线? 上对应于t?1的点处的曲率半径是（ ） 2?y?t?4t?1（Ａ）

1010（Ｂ） (Ｃ）1010 （Ｄ）510 501005．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf'(?)，则limx?0?2x2?（ ）

（Ａ）1 （Ｂ）

121 （Ｃ） （Ｄ）

332?2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0?x?y?2u?2u及． ?2?0，则（ ）2?x?y

1

（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

7．行列式

0aa0b00b0cd0c00d等于

22（A）(ad?bc) （B）?(ad?bc) （C）ad?bc （D）?ad?bc

222222228．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量

?1,?2,?3线性无关的

（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．

?1??1dx? ． 2x?2x?510．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)?2(x?1),x??0,2?，则

f(7)? ．

11．设z?z(x,y)是由方程e2yz?x?y2?z?7确定的函数，则dz|?11?? ．

?,?4?22?12．曲线L的极坐标方程为r??，则L在点(r,?)?????? ,?处的切线方程为 ．

22??213．一根长为1的细棒位于x轴的区间?0,1?上，若其线密度?(x)??x?2x?1，则该细棒的质心坐标x? ．

2

2214．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围

是 ． 三、解答题 15．（本题满分10分）

?求极限limx???x1(t(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x．

21t16．（本题满分10分）

已知函数y?y(x)满足微分方程x2?y2y'?1?y'，且y(2)?0，求y(x)的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）

22xsin(?x?y)22dxdy 设平面区域D?(x,y)|1?x?y?4,x?0.y?0．计算??x?yD??18．（本题满分10分）

?2z?2z设函数f(u)具有二阶连续导数，z?f(ecosy)满足?2?(4z?excosy)e2x．若2?x?yxf(0)?0,f'(0)?0，求f(u)的表达式．

19．（本题满分10分）

设函数f(x),g(x)在区间?a.b?上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1，证明： （1） 0?（2）

?bxag(t)dt?x?a,x??a,b?；

f(x)dx??f(x)g(x)dx．

ab?a??ag(t)dta20．（本题满分11分） 设函数f(x)?x,x??0,1?，定义函数列 1?xf1(x)?f(x)，f2(x)?f(f1(x))，?,fn(x)?f(fn?1(x)),?

设Sn是曲线y?fn(x)，直线x?1,y?0所围图形的面积．求极限limnSn．

n??21．（本题满分11分）

3

已知函数f(x,y)满足

?f且f(y,y)?(y?1)2?(2?y)lny，求曲线f(x,y)?0?2(y?1)，

?y所成的图形绕直线y??1旋转所成的旋转体的体积． 22．（本题满分11分）

?1?23?4???设A??01?11?，E为三阶单位矩阵．

?1203???（1） 求方程组AX?0的一个基础解系； （2） 求满足AB?E的所有矩阵．

23．（本题满分11分）

?1??1证明n阶矩阵????1?1?1??0?01????1?1??0?02?与?相似． ????????????1?1??0?0n??

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二

试题及答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、下列反常积分中收敛的是（）

??（A）

?21dx （B）x???2lnxdx (C)xx2t???21dx (D)xlnx???2xdx xe2、函数f(x)?lim(1?t?0sint)在(??,??)内（） x（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点

4

1???xcos?,x?0(??0,??0)，若f?(x)在x?0处连续，则（） 3、设函数f(x)??x?0,x?0?（A）????1 (B)0?????1 (C)????2 (D)0?????2

4、设函数f(x)在(??,??)连续，其二阶导函数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)的拐点个数为（）

（A）0 (B)1 (C)2 (D)3

5、设函数f(u，v)满足f(x?y,)?x?y，则

yx22?f?f与依次是（） ?uu?1?vu?1v?1v?1（A）

1111,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,- 22226、设D是第一象限中曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则

???f(x,y)dxdy=（）

D（A）

??d??241sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)dr（B）??2d??41sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr

?（C）

??34d??1sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)dr（D）??3d??4f(rcos?,rsin?)dr

?111??1?????7、设矩阵A=?12a?，b=?d?,若集合Ω=?1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷多个解的充

?14a2??d2?????分必要条件为（）

（A）a??,d?? (B)a??,d?? (C)a??,d?? (D) a??,d??

2228、设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3,其中P=(e1,e2,e3)，若

Q?(e1,e3,?e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为（ ）

222222222222(A)2y1 (B) 2y1 (C) 2y1 (D) 2y1 ?y2?y3?y2?y3?y2?y3?y2?y3二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

5

?x?arctantd2y9、设?,则2? 3dxt?1?y?3t?t10、函数f(x)?x2在x?0处的n 阶导数f11、设函数f(x)连续，?(x)?2x(n)(0)?

?x20xf(t)dt,若?(1)?1，?'(1)?5，则f(1)?

'12、设函数y?y(x)是微分方程y?y?2y?0的解，且在x?0处y(x)取值3，则y(x)= 13、若函数z?z(x,y)由方程ex?2y?3z''?xyz?1确定，则dz(0,0)=

214、设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，B?A?A?E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式B=

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）

2设函数f(x)?x??ln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx，若f(x)与g(x)在x?0是等价无穷小，

求a,b,k的值。 16、（本题满分10分）

设A?0，D是由曲线段y?Asinx(0?x??2)及直线y?o,x??2所形成的平面区域， V1，V2分别表示D绕X轴与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若V1?V2，求A的值。 得：A?8?

17、（本题满分10分）

已知函数f(x,y)满足fxy\(x,y)?2(y?1)ex，fx(x,0)?(x?1)e，f(0,y)?y2?2y，求

'xf(x,y)的极值。

18、（本题满分10分） 计算二重积分

222D?(x,y)x?y?2,y?x，其中 x(x?y)dxdy????D

19、（本题满分10分） 已知函数f(x)?

?1x1?tdt??2x211?tdt，求f(x)零点的个数。

6

20、（本题满分11分）

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120?C的物体在20?C的恒温介质中冷却，30min后该物体降至

30?C，若要将该物体的温度继续降至21?C，还需冷却多长时间？

21、（本题满分11分）

已知函数f?x?在区间?a，设b?a，+??上具有2阶导数，f?a??0，f??x??0，f''?x??0，曲线y?f?x?在点b,f?b?处的切线与x轴的交点是?x0，0?，证明a?x0?b 22、（本题满分11分）

??

?a10???设矩阵A??1a?1?且A3?O.

?01a???(1) 求a的值；

(2) 若矩阵X满足X?XA2?AX?AXA2?E，E为3阶单位阵，求X.

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二

试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

11、当x?0时，若ln(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的取值范围是（ ） （A）(2,??) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,) 2、下列曲线中有渐近线的是（ ）

（A）y?x?sinx （B）y?x?sinx （C）y?x?sin2??1212112 （D）y?x?sin xx 7

?x?t2?7,?4、曲线?上对应于t?1的点处的曲率半径是（ ） 2??y?t?4t?1（A）

1010 （B） （C）1010 （D）510 501005、设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf?(?)，则limx?0?2x2?（ ）

（A）1 （B）

121 （C） （D）

332?2u6、设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足?0?x?y?2u?2u及2?2?0，则（ ） ?x?y（A）u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得 （B）u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部取得

（C）u(x,y)的最大值在D的内部取得，u(x,y)的最小值在D的边界上取得 （D）u(x,y)的最小值在D的内部取得，u(x,y)的最大值在D的边界上取得

0a7、行列式

0cab000b?（ ）

cd000d22（A）(ad?bc) （B）?(ad?bc) （C）ad?bc （D）bc?ad

8、设?1,?2,?3为3维向量，则对任意常数k,l，向量组?1?k?3,?2?l?3线性无关是向量组

22222222?1,?2,?3线性无关的（ ）

（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件

8

（C）充分必要条件

（D）既非充分也非必要条件

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．9、

10、设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f?(x)?2(x?1),x?[0,2]，则f(7)?

11、设z?z(x,y)是由方程e

12、曲线L的极坐标方程是r??，则L在点(r,?)?(是 .

13、一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上，若其线密度?(x)??x?2x?1，则该细棒的质心坐标x? .

2214、设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围

22yz1???x2?2x?5dx? .

1

?x2?y2?z?7确定的函数，则dz(1,1)? . 422??,)处的切线的直角坐标方程

22是 .

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）

?求极限limx???x1[t(e?1)?t]dt1x2ln(1?)x21t

9

16、（本题满分10分）

已知函数y?y(x)满足微分方程x2?y2y??1?y?，且y(2)?0，求y(x)的极大值与极小值. 17、（本题满分10分）

xsin(?x2?y2)dxdy. 设平面区域D??(x,y)1?x?y?4,x?0,y?0?，计算??x?yD2218、（本题满分10分）

?2z?2z设函数f(u)具有2阶连续导数，z?f(ecosy)满足2?2?(4z?excosy)e2x.

?x?yx若f(0)?0，f?(0)?0，求f(u)的表达式. 19、（本题满分10分）

设函数f(x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1. 证明：（Ⅰ）（I）0?（II）

?xag(t)dt?x?a，x?[a,b]；

b?a?g(t)dt?abaf(x)dx??f(x)g(x)dx

a 20、（本题满分11分） 设函数f(x)?x，x?[0,1].定义数列 1?xf1(x)?f(x)，f2(x)?f(f1(x))，?，fn(x)?f(fn?1(x))，?

记Sn是由曲线y?fn(x)，直线x?1及x轴所围平面图形的面积，求极限limnSn.

n?? 21、（本题满分11分） 已知函数f(x,y)满足

?f?2(y?1)，且f(y,y)?(y?1)2?(2?y)lny.求曲线f(x,y)?0所?y 10

?11???11?????23.A为三阶实矩阵，R(A)?2，且A?00???00?

??11??11?????（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A

2010年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解答

一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）

x2?x1f(x)?21?2x?1x的无穷间断点数为（ ） （1）函数

（A）0 （B）1 （C） 2 （D）3

（2）设函数

得

y1，

y2??是一阶非齐次微分方程y?p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?，使

?y1??y2是该方程的解，

?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）

（A）

??

1111????????2，2 （B）2，2 2122

??????3，3 （D）3，3

（C）

??

2y?x（3）曲线与y?alnx（a?0）相切，则a?（ ）

（A）4e （B）3e （C）2e （D）e

（4）设m、n为正整数，则反常积分

?1m0ln2(1?x)nxdx的收敛性（ ）

（A）仅与m有关 （B）仅与n有关 （C）与 m、n都有关 （D）与 m、n都无关 （5）设函数z?z(x,y)由方程

F(yz,)?0F??0xx确定，其中F为可微函数，且2。则

x

?z?z?y??x?y（ ）

21

（A）x （B）z （C）?x （D）?z

（6）

lim??n??i?1nn?22(n?i)(n?j)j?1（ ）

x1111dydxdy(1?x)(1?y2) （B）?0?0(1?x)(1?y) 1111dydxdy2??00(1?x)(1?y) （D）(1?x)(1?y)

n（A）

??10dx?dx?010x0（C）

（7）设向量组

（ ）

I:?1,?2,...,?r可由向量组

II:?1,?2,...,?s线性表示，下列命题正确的是

（A）若向量组I线性无关，则r?s （B）若向量组I线性相关，则r?s （C）若向量组II线性无关，则r?s （D）若向量组II线性相关，则r?s

（8）设A是4阶实对称矩阵，且A?A?O，若R(A)?3，则A相似于（ ）

2?1??1?????11????????1?1????00? （B）?? （A）??1???1??????1?1?????????1?1????0?0???（C） （D）

二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）

??????（9）3阶常系数齐次线性微分方程y?2y?y?2y?0的通解为 y?

2x3y?2x?1的渐近线方程为 （10）曲线

22

(n)y?ln(1?2x)y(0)? x?0n（11）函数在处的阶导数

???e0????（12）当时，对数螺线的弧长为

（13）已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l?12cm，

w?5cm时，它的对角线增加速率为

?1?1A?B?2A?B?A?3B?23AB（14）设，为阶矩阵，且，，则

三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤。） （15）（本题满分10分）

求

f(x)??x21(x2?t)e?tdt2的单调区间与极值。

（16）（本题满分10分）

（I）比较

?10lnt?ln(1?t)?dt1n与

n?10tnlntdt（n?1,2,3,...）；

（II）记

un??lnt?ln(1?t)?dt0（n?1,2,3,...），求n??limun。

（17）（本题满分11分）

?x?2t?t2?y??(t)（t??1）所确定，其中?(t)具有二阶导数，且y?f(x)设函数由参数方程?d2y35??(1)?24(1?t)，求函数?(t)。 2，??(1)?6。已知dx

（18）（本题满分10分）

一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中

23

3b2油面高度为时（如图），计算油的质量。

（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数?kg/m）

3

（18题图）

（19）（本题满分11分）

?2u?2u?2u42?12?52?0?x?y?y设函数u?f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式?x，确定a，b???x?ay?2u?0???x?by的值，使等式在变换?下简化为????。

（20）（本题满分10分）

计算二重积分

I???r2sin?1?r2cos2?drd?DD?{(r,?)0?r?sec?,0???，其中

?4。

}

（21）（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，f(0)?0，

f(1)?13。证明：存

24

在

??(0,)11??(,1)222，2，使得f?(?)?f?(?)????。

（22）（本题满分11分）

11????a?????A??0??10?b??1??1??1?1?????，已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解。 设，

（I）求?，a； （II）求Ax?b的通解。

（23）（本题满分11分）

?0?14???A???13a?1T(1,2,1)T?4a0???，正交矩阵Q使得QAQ为对角矩阵，若Q的第一列为6设，

求a，Q。

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

x?x3（1）函数f?x??的可去间断点的个数，则（ ）

sinnx?A?1.

?B?2. ?C?3.

2?D?无穷多个.

（2）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?是等价无穷小，则（ ）

?A?a?1,b??6. ?B?a?1,b?6. ?C?a??1,b??6. ?D?a??1,b?6.

（3）设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy，则点?0,0?（ ）

1111?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点. ?C?是f?x,y?的极大值点. ?D?是f?x,y?的极小值点.

25

（4）设函数f?x,y?连续，则

?21dx?f?x,y?dy??dy?x1224?yyf?x,y?dx?（ ）

?A??dx?1224?x14?yf?x,y?dy. f?x,y?dx.

?B??dx?124?xxf?x,y?dy.

?C??1dy?1?D?.?1dy?yf?x,y?dx

22（5）若f???x?不变号，且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x2?y2?2，则f?x?在区间

?1,2?内（ ）

?A?有极值点，无零点. ?B?无极值点，有零点. ?C?有极值点，有零点. ?D?无极值点，无零点.

（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：

f(x)O 0 -1 x-2 1 2 3 x

则函数F?x???f?t?dt的图形为（ ）

0f(x)1 0 -1 f(x)1 -2 1 2 3 x

?B?.

-2 -1 0 1 2 3 x

?A?.

26

f(x)1 0 f(x)1 -1 1 2 3 x

**-2 0 -1 1 2 3 x

?C?.?D?.

（7）设A、B均为2阶矩阵，A，B分别为A、B的伴随矩阵。若A=2，B=3，则分块矩

阵??0?BA??的伴随矩阵为（ ） 0?

?03B*??A?.?*?

0??2A?03A*??C?.?*?

0??2B?0?B?.?*?3A?0.?D??*?3B2B*?? 0?2A*?? 0?

?100???TT（8）设A，P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP=?010?，若

?002???T，则QAQ为（ ） P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3）?210??110?A?.??? ?002????200??010?C?.??? ?002???

?110??120?B?.??? ?002????100?

?

020?D?.??? ?002???

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

1-t?u2?x=edu??（0，0）（9）曲线?在处的切线方程为 0?y?t2ln(2?t2)?

27

（10）已知

+?kx???edx?1,则k?

1?x（11）lim?esinnxdx?

n??0d2y（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则2dxyx=0=

（13）函数y?x2x在区间?01，?上的最小值为

?200?

??

(14)设?，?为3维列向量，?T为?的转置，若矩阵??T相似于?000?，则?T?=

?000???

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求极限limx?0?1?cosx??x?ln(1?tanx)?

sin4x（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1??1?x)dx (x?0) x?2z（17）（本题满分10分）设z?f?x?y,x?y,xy?，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与

?x?y（18）（本题满分10分）

设非负函数y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。 （19）（本题满分10分）求二重积分其中D????x?y?dxdy，

D??x,y??x?1???y?1?22?2,y?x

?（20）（本题满分12分）

（-?，?）（-设y?y(x)是区间内过

?，）的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点处的

2228

?

法线都过原点，当0?x??时，函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式 （21）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则存在???a,b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?f??x??A，则f???0?存在，且f???0??A。 内可导，且lim?x?0?1?1?1???1?????1?，?1??1? （22）（本题满分11分）设A???11?0?4?2???2?????（Ⅰ）求满足A?2??1,A2?3??1的所有向量?2,?3

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。

（23）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3

222（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；

22（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1，求a的值。 ?y22008年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设f(x)?x(x?1)(x?2)，则f(x)的零点个数为（ ）

2'?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3

（2）曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分

?a0aft(x)dx（ ）

?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积.

29

?D?三角形ACD面积.

（3）在下列微分方程中，以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（ ）

?A?y'''?y''?4y'?4y?0 ?C?y'''?y''?4y'?4y?0

''' ?B?y''? y'?4y?4y?0

?D?y'''?y''?4y'?4y?0

（5）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）

?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.

（6）设函数f连续，若F(u,v)?Duv

?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.

dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则

?F? ?u??f(x2?y2)x2?y2?A?vf(u2) ?C?vf(u)

?B?uvf(u2)

?D?vf(u) u3（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A?0，则（ ）

?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.

（8）设A??

?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆.

?12??，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） 21??

??21?A????. ?1?2??2?1?B????. ??12??1?2??.

?21???C???21??. 12??

?D??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

30

（9） 已知函数f(x)连续，且limx?01?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1，则f(0)?____.

（10）微分方程(y?x2e?x)dx?xdy?0的通解是y?____.

（11）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. （12）曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______. （13）设z??23?z?y?，则??x?x?xy(1,2)?____.

（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.

三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

sinx?sin?sinx??sinx???(15)（本题满分9分）求极限lim. x?0x4 (16)（本题满分10分）

?dxx?x(t)??2te?x?0??设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题?dtt2y??ln(1?u)du??xt?0?00???2y的解.求2.

?x (17)（本题满分9分）求积分 (18)（本题满分11分）

求二重积分

?1xarcsinx1?x20dx.

??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}

D (19)（本题满分11分）

设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的

t??0,???，直线x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成

一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.

31

(20)（本题满分11分）

(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得

?baf(x)dx?f(?)(b?a) (2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足

32?(2)??(1),?(2)???(x)dx，证明至少存在一点??(1,3),使得???(?)?0

（21）（本题满分11分）

求函数u?x2?y2?z2在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）

?2a1??2?a2a??，现矩阵A满足方程AX?B，其中X??x,?,x?T，设矩阵A??1n???1???2a2a??n?nB??1,0,?,0?，

（1）求证A??n?1?an；

（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.

（23）（本题满分10分）

设A为3阶矩阵，向量?3满足A?3??2??3， ?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，（1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P???1,?2,?3?，求PAP.

?12007年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0时，与x等价的无穷小量是

? 32

（A）1?ex （B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]

1?x(ex?e)tanx（2）函数f(x)?在???,??上的第一类间断点是x? [ ] 1??x?ex?e????? （A）0 （B）1 （C）? （D）

22（3）如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)?论正确的是：

?x0f(t)dt，则下列结

（A）F(3)??35F(?2) (B) F(3)?F(2) 4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ]

44

（4）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：

f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 .

x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) （C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0.

x?0x?0xx （A）若lim [ ] （5）曲线y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：

33

(A) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散

(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. [ ] （7）二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充要条件是[ ] （A）

(x,ylim)??0,0??f(x,y)?f(0,0)??0.

（B）limf(x,0)?f(0,0)x?0x?0,且limf(0,y)?f(0,0)y?0y?0.

（C）

x,y)?f(0,0)(x,ylimf()??0,0?x2?y2?0.

（D）lim?x?0?fx?(x,0)?fx?(0,0)???0,且lim?y?0?fy?(0,y)?fy?(0,0)???0.

（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分??1?dx

2?sinxf(x,y)dy等于（A）?1?0dy???arcsinyf(x,y)dx （B）

?1?0dy???arcsinyf(x,y)dx

（C）

?10dy???arcsiny （D）?1?f(x,y)dx 0dy???arcsiny?f(x,y)dx

22（9）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则 (A) ?1??2,?2??3,?3??1

(B) ?1??2,?2??3,?3??1

(C)

?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D)

?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. ?（10）设矩阵A??2?1?1??100???12?1??,B???010??，则A与B

???1?12????000??(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.

(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） limarctanx?sinxx?0x3? __________.

34

[ ]

] [

?x?cost?cos2t?（12）曲线?上对应于t?的点处的法线斜率为_________.

4?y?1?sint（13）设函数y?1，则y(n)(0)?________. 2x?3（14） 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为y?________. （15） 设f(u,v)是二元可微函数，z?f??yx??z?z,?，则x?y? __________.

?x?y?xy??0?0?（16）设矩阵A??0??0100001000??0?3

，则A的秩为 . 1??0????上单调、可导的函数，且满足?4??三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设f(x)是区间?0,?f(x)0f?1(t)dt??t0xcost?sintdt，其中f?1是f的反函数，求f(x).

sint?cost（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区

域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.

2（19）（本题满分10分）求微分方程y??(x?y?)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.

（20）（本题满分11分）已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程

y?xey?1dz?1所确定，设z?f?lny?sinx?，求

dxd2zx?0,dx2x?0.

（21） (本题满分11分)设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).

35

?x2,|x|?|y|?1?1（22） (本题满分11分) 设二元函数f(x,y)??，计算二重积分

,1?|x|?|y|?2?x2?y2???f(x,y)d?，其中D???x,y?|x|?|y|?2?.

D

（23） (本题满分11分)

?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有

?2?x1?4x2?ax3?0公共解.

（24） (本题满分11分)

设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量，记B?A?4A?E，其中E为3阶单位矩阵.

（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线y?53x?4sinx 的水平渐近线方程为

5x?2cosx?1x2?3?0sintdt,x?0（2）设函数f(x)??x在x?0处连续，则a? .

??a,　　　　 x?0（3）广义积分

???0xdx? .

(1?x2)2y(1?x)的通解是 x36

（4）微分方程y??

（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xey确定，则 （6）设矩阵A??dydxx?0?

?21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则 ?12?? B? .

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，

?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则[ ]

(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.

(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .

（8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则

（A）连续的奇函数.

（C）在x?0间断的奇函数

（9）设函数g(x)可微，h(x)?e

（A）ln3?1. （C）?ln2?1.

1?g(x)?x0f(t)dt是

（B）连续的偶函数

（D）在x?0间断的偶函数. [ ]

,h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于

（B）?ln3?1. （D）ln2?1.

[ ]

（10）函数y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是

（A）y???y??2y?3xe.

x

?40

1（B）y???y??2y?3e.

（D）y???y??2y?3e. [ ]

xx（C）y???y??2y?3xe.

x（11）设f(x,y)为连续函数，则

221?x2?d??f(rcos?,rsin?)rdr等于

0（Ａ）

?0dx?xf(x,y)dy. （B）?220dx?1?x20f(x,y)dy.

37

(C)

?220dy?1?y2yf(x,y)dx. (D)

?220dy?1?y20f(x,y)dx . [ ]

（12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ]

(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （13）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是 [ ]

(A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.

(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. （14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得

?110???C，记P??010?，则

?001???（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.

（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

试确定A,B,C的值，使得e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x)，其中o(x)是当x?0时比xx2333?1?1TT高阶的无穷小.

38

arcsinexdx. （16）（本题满分10分）求 ?ex（17）（本题满分10分）设区域D?(x,y)x?y?1,x?0， 计算二重积分

?22?1?xydxdy. 22??1?x?yD（18）（本题满分12分）设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)

1?xn?1?xn2（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；（Ⅱ）计算lim??. n??n???xn?（19）（本题满分10分）

证明：当0?a?b??时，

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.

（20）（本题满分12分）

设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f（I）验证f??(u)??x?y22??2z?2z满足等式2?2?0.

?x?yf?(u)?0； u（II）若f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式. （21）（本题满分12分）

?x?t2?1,已知曲线L的方程?（II）过点(?1,0)引L的(t?0)（I）讨论L的凹凸性；2?y?4t?t切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分）

已知非齐次线性方程组

?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩?ax?x?3x?bx?134?12（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解. r?A??2；

39

（23）（本题满分9分）

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方

TT程组Ax?0的两个解.

(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??.

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设y?(1?sinx)x，则dyx?? = .

（2）曲线y?1(1?x)x32的斜渐近线方程为 .

（3）

?(2?x0xdx2)1?x2? .

1的解为 . 9（4）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??（5）当x?0时，

?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则

k= .

（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵

A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B? .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

40

（7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有

(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]

?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的

?y?ln(1?t)横坐标是

11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88(C) ?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]

(A)

22（10）设区域D?{(x,y)x?y?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，

则

??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d??

aba?b?. (C) (a?b)?. (D) ? . [ ] 22(A) ab?. (B)

（11）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?一阶导数，则必有

?x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，? 具有

?2u?2u?2u?2u (A) ??2. （B） 2?2. 2?x?y?x?y?2u?2u?2u?2u(C) . (D) . [ ] ???x?y?x2?x?y?y2（12）设函数f(x)?1exx?1,则 ?1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.

(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]

41

（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是

(A)

?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]

（14）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则 [ ]

(C) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B.

*****(C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

***?（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.

（16）（本题满分11分）

如图，C1和C2分别是y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的2曲线C3是一单调增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与

ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 （18）（本题满分12分）

2 用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x)y???xy??y?0，并求其满足

?(x032?x)f???(x)dx.

y

x?0?1,y?x?0?2的特解.

42

（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：

（I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得

f?(?)f?(?)?1.

（20）（本题满分10分）

已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域

y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.

42（21）（本题满分9分）

计算二重积分

??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.

（22）（本题满分9分）

确定常数a,使向量组

?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组

?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，但向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示.

（23）（本题满分9分）

?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），????36k??且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.

2004年考硕数学（二）真题

一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）

（1）设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? .

n??nx2?13??x?t?3t?1（2）设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值范围

3??y?t?3t?1为____..

（3）

?1??dxxx?12?_____..

43

（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则3（5）微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足y?z?z??______. ?x?y?x?16的特解为_______. 5?210????（6）设矩阵A??120?, 矩阵B满足ABA??2BA?E, 其中A?为A的伴随矩阵,

?001???E是单位矩阵, 则B?______-.

二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把x?0时的无穷小量????0xcostdt, ??2?0x2tantdt, ???x0sint3dt排列起来,

使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

（A）?,?,?. （B）?,?,?.

（C）?,?,?. （D）?,?,?. （8）设f(x)?x(1?x), 则

（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点.

??

??

（9）limlnn(1?)(1?)?(1?)等于

n??1n22n2nn2（A）（C）2?12ln2xdx. （B）2?lnxdx.

1222?1ln(1?x)dx. （D）?1ln44

2(1?x)dx

??

（10）设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得

（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减小. （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).

（D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0). （11）微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为

（A）y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx). （B）y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). （C）y??ax2?bx?c?Asinx.

（D）y??ax2?bx?c?Acosx （12）设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x?y?2y, 则

1?x2??

??

?22???f(xy)dxdy等于

D（A）

??1dx??1?x?0dy?0?212f(xy)dy. f(xy)dx.

（B）2（C）（D）

2y?y2?0d??0?0?2sin?f(r2sin?cos?)dr.

f(r2sin?cos?)rdr ?d??2sin?0?

（13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为

?010??010?????（A）?100?. （B）?101?.

?101??001????? 45

?010??011?????（C）?100?. （D）?100?.

?011??001?????（14）设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有

（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.

??

??

三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

（15）（本题满分10分）

1求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.

3??????（16）（本题满分10分）

??,?设函数f(x)在（?）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都

满足f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.

(Ⅰ)写出f(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导. （17）（本题满分11分） 设f(x)??xx??2sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以?为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域.

（18）（本题满分12分）

ex?e?x曲线y?与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋

2转一周得一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).

(Ⅰ)求

S(t)S(t)的值; (Ⅱ)计算极限lim.

t???V(t)F(t)46

22（19）（本题满分12分）设e?a?b?e2, 证明lnb?lna?4(b?a). 2e（20）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

注 kg表示千克,km/h表示千米/小时.

（21）（本题满分10分）设z?f(x?y,e),其中f具有连续二阶偏导数,求

22xy?z?z?2z. ,,?x?y?x?y（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组

?(1?a)x1?x2?x3?x4?0,?2x?(2?a)x?2x?2x?0,?1234 ?3x?3x?(3?a)x?3x?0,234?1??4x1?4x2?4x3?(4?a)x4?0,试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.

（23）（本题满分9分）

?12?3???设矩阵??14?3?的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化.

?1a5???2003年考研数学（二）真题

三、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1） 若x?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，则a= .

214（2） 设函数y=f(x)由方程xy?2lnx?y所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .

47

4

（3） y?2x的麦克劳林公式中x项的系数是__________.

（4） 设曲线的极坐标方程为??ea?(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.

n?1?11???TT（5） 设?为3维列向量，?是?的转置. 若????11?1，则

????1?11???T?= .

（6） 设三阶方阵A,B满足AB?A?B?E，其中E为三阶单位矩阵，若

2?101??，则

A??020B?________.

?????201??二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有

n??n??n??(A) an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.

(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ ]

n??n??3n?11?xndx, 则极限limnan等于 （2）设an??n?1xn??20 (A) (1?e)?1. (B) (1?e)?1.

(C) (1?e)?1. (D) (1?e)?1. [ ]

（3）已知y?3?1232323?12nxxyx是微分方程y????()的解，则?()的表达式为 lnxyxyy2y2 （A） ?2. (B) 2.

xx 48

x2x2 (C) ?2. (D) 2. [ ]

yy（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有

(A) 一个极小值点和两个极大值点.

(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]

y

O x ?（5）设I1??40tanxxdx,I2??4dx, 则

0xtanx? (A) I1?I2?1. (B) 1?I1?I2.

(C) I2?I1?1. (D) 1?I2?I1. [ ] （6）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关.

(C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关. [ ]

??ln(1?ax3),x?0,??x?arcsinx6,x?0, 三 、（本题满分10分）设函数 f(x)??ax2?e?x?ax?1x?0,,?x?xsin4?问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？

四 、（本题满分9分）

?x?1?2t2,d2y?u1?2lnte(t?1)所确定，求2 设函数y=y(x)由参数方程?y?dudx??1u?

49

x?9.

五 、（本题满分9分）计算不定积分 六 、（本题满分12分）

?xearctanx(1?x)232dx.

设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.

d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微分方2dydy程；

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?七 、（本题满分12分）

4讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?lnx的交点个数.

3的解. 2八 、（本题满分12分）

设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(Q，且线段PQ被x轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；

(2) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.

九 、（本题满分10分）

有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，液面的面

321,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为22积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.

2(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式； (2) 求曲线x??(y)的方程.

(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)

十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f?(x)?0.

50

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