教学案例--四年级数学上册《田忌赛马--对策问题》

教学案例--《田忌赛马》

按：下面的案例中指出：“适切的材料是学生探究活动能否成功的关键。探究材料必须具备以下特点：有结构，保证探究过程的丰厚；承载核心问题，保证探究活动的方向；学生容易理解和表达，保证探究活动的效度；探究空间大，促进思维提升。”探究材料的设计是本案例最大的亮点。

案例中又指出：“我们经常会说，要设计有挑战性的问题，让学生自主探究，但是问题的难度系数往往会影响探究进程，如果挑战性太大，学生将无从入手。因此探究问题的适度分解或分层，降低探究的门槛，让更多学生参与探究，应该是教师指导中需要考虑的问题。”探究坡度的设计，成为本案例第二大亮点。 对学生探究方案的反馈与指导，在学生探究中遭遇思维搁浅时教师的及时提示，也是本探究案例中教师指导上的亮点。

《田忌赛马》探究教学案例

一、基本情况分析

《田忌赛马》是人教版四年级上册第七单元“数学广角”例4的教学内容。从故事“田忌赛马”引入对策论的应用问题，对策论研究的是竞争的双方各自采取什么对策才能够战胜对手，让学生体会到对策论的方法在生活、比赛中的重要性。本节课教师在对学生自主探究进行指导时，需要注意如下几点。 （一）引导学生通过探究活动学习有序思考。

田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？学生的探究方法是把所有可以采用的策略列出来，发现田忌可以采用的策略一共有6种，但其中只有一种也就是他所使用的方法是唯一可以获胜的。教师应在学生探究应对方案时有针对性的引导学生理解，有序思考能够做到不重复不遗漏，可以更快地寻找到应对的策略

（二）给学生创设更具探究空间的学习情境。

“田忌赛马”获胜的必要条件有哪些？“田忌赛马”不仅仅是一个故事，而是一种策略。这一策略并不是“必胜宝典”，还是需要一定的前提。但学生对

田忌赛马故事内容熟悉，在教学中如果仅依赖“田忌赛马”的故事本身，不利于学生从对策论的角度进行探究。因此，教学中教师可以提供与“田忌赛马”同样结构的探究材料，以便于学生不断尝试、比较、发现、概括、归纳。具体地讲，通过比较两组扑克牌（各三张）的大小，分别经历“实力悬殊，胜负分明”“实力稍逊,以弱胜强”“实力同等，智者为王”，从而充分理解“田忌赛马”的具体对策和获胜的必要条件。

（三）引导学生理解和应用探究的结果。

田忌的这种策略在生活中还有哪些应用？课堂实践发现，四年级学生很难自主突破“田忌赛马”的模型，生活中也很少关注体育竞技比赛背后的方案布局，所以课堂上面对如上任务，往往是一片沉寂。在本节课的教学中，可变自行探究为欣赏分析，即教师提供一系列对策论的应用案例，让学生了解或描述具体对策。

二、教学理念

1．丰富过程感悟，重在自主探究

数学广角的教学，更要凸显过程性。如果仅仅让学生知道“田忌用下等马应对齐王的上等马，用中等马应对齐王的下等马，用上等马应对齐王的中等马，最后获胜”的方法，那么只需要讲故事即可。作为数学课应该立足过程，让学生自己用数学的方法进行自主探究，充分交流不同的学习成果，在这些探究活动中获得一些活动经验，充分理解和应用策略或者得到某个数学结论。 2．设计有结构的材料，提供更大的探究空间。

适切的材料是学生探究活动能否成功的关键。探究材料必须具备以下特点：有结构，保证探究过程的丰厚；承载核心问题，保证探究活动的方向；学生容易理解和表达，保证探究活动的效度；探究空间大，促进思维提升。

三、教学目标

1．通过比较扑克牌点数的大小，让学生初步体会对策论方法在实际中的应用，感受对策在生活中的重要作用。

2．尝试用数学方法来解决实际生活中的简单问题，使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。

3．初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，初步感知对策的数学思想方法。 四、教学过程

（一）通过比较扑克牌大小，了解基本应对规则。 1．游戏引入：比点数大小，一对一PK。

（1）红牌分别是10、7、4；黑牌分别是3、2、1，比较双方点数的大小。 生1：红10大于黑3，红7大于黑2，红4大于黑1；红方获胜。 生2：三张黑牌点数加起来也比10小。

生3：这三张黑牌都比红牌中最小的“4”还要小。

师：这就说明，红牌和黑牌双方大小悬殊明显，胜负分明。

（2）红牌不变，黑牌变为9、6、3，再次比较。比赛的结果会是怎样？说说你的理由。

生1：红方获胜；红10大于黑9，红7大于黑6，红4大于黑3。 师：三局比赛都是红方获胜，所以最终是红方胜。 2．抛出问题，突破定势。

师：红10与黑9比，红7与黑6比，红4与黑3比。这是双方对局的一种方法，请同学们想一想：

（1）还有没有其它的应对策略？一共有几种？

（2）在不同的比较过程中，黑牌是不是一定没有机会获胜？

师：请同学们把不同的应对策略都填在表格中，如果有困难可以同桌交流。 第一局 第二局 第三局 获胜方 红牌 10 7 4 黑牌1 黑牌2 黑牌3 ?? 学生活动。

设计说明：用游戏“比扑克牌的大小”代替故事“田忌赛马”，克服“策略皆知”的问题，学生又十分投入扑克牌游戏，有了探究“还有没有其它的应对

策略呢？一共有多少种？黑牌是否有机会获胜”的欲望。通过第一次比较大小，让学生明确“一对一，比大小”、“A”在游戏中代表“1”等规则。在课堂上学生总喜欢分别求出两组数的和再比较大小（也许是我们学生“看数就算”的条件反射吧），因此需要教师再次明确规则。通过第二次比较大小，引出与“田忌赛马”相同模型的数据，并且让学生突破根据扑克牌上下位置一一比较的定势，如红牌10可以和黑牌任意一张牌比较大小。

教师指导策略：全面了解学生认知特点，突破学生思维定势。教师在教学中对学生生活经验、思维习惯、思维水平、表达方式等方面的把握越准确，对学生的指导就会更有效。如学生看到课件中的红牌和黑牌，就喜欢上下对应进行一一比较，方法趋向唯一。面对如此状况，就应该调整红、黑牌的位置，变上下排放为左右排放，利于突破定势，使比较方法多样。这样的小细节，恰恰是影响学生思维的节点，都需要教师关注。

（二）在数学活动中体会策略的多样性，初识取胜的应对方法。 1．分层反馈，感受应对策略的多样及思维的有序。

（1）反馈不完整的、无序的方案，突出每一局的比较结果及最后的获胜方。 师：这位同学写了三种方案，我们来看看分别是哪一方取胜？（教师指这红、黑方的点数，学生一一判断，三局中黑方、红方分别赢了几次？） （2）反馈有序思考的完整方案，引导体会优势。 出示学生作品，如下：

第一局 第二局 第三局 获胜方 红牌 10 7 4 黑牌1 9 6 3 红方 黑牌2 9 3 6 红方 黑牌3 6 9 3 红方 黑牌4 6 3 9 红方 黑牌5 3 9 6 黑方 黑牌6 3 6 9 红方

师：请这位同学介绍他的方法。

生：当红牌出10时，黑牌出9，后面两局就有两种不同的应对方案，就是交换6、3的顺序；当红牌出10时，黑牌还可以出6，后面两局只要把9、3交换顺序；当红牌出10时，黑牌还可以出3，后面两局只要把9、6交换顺序。 师：同学们听懂了吗？他的方法有什么地方值得我们借鉴？ 生：他在排列时很有顺序，这样就不会漏掉了。 2．初步感受黑牌（弱队）取胜的策略。

师：我们发现当红牌分别出10、7、4时，黑方一共有6种应对方案。请看表格，你发现了什么？

生：6种方案中只有一种情况是黑方赢的。 生：红方赢的可能性大。

师：是的，一看红、黑牌的点数，觉得红方要比黑方大一些，但现在看来，黑方还是有取胜的可能，想一想，这种取胜的方法有什么高明之处？

生：用黑牌中的3去应对红方的10，用9应对红方的7，用6应对红方的4，黑方就赢了两局。

生：只要保证黑方赢两局就可以了。 生：用小牌去碰大牌。

师：刚才我们是怎样找到这种高明的方法？

学生回答后总结：把解决问题的所有可能性一一找出来，并从中找到最好的策略，这是数学中一种很重要的方法。 （课件出现）

设计说明：“尝试用数学方法来解决实际生活中的简单问题，使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识”是本节课的重要目标。学生的学习过程是：凭直觉得到一种方案，通过教师提问引导，思考得到所有的方案，并又一次感受到有序思考的力量，最后找到最优的方案。显然，这样的过程使学生畅游在数学思维之中，既有认识上的冲击，又有方法的共享，学生很尽兴。

教师指导策略：在学生探究过程中，教师要适度引导。通过适时的提问是教师实施指导功能的重要方式。如学生能有序排列所有方案时，教师及时提问“他的方法有什么地方值得我们借鉴？”，使学生在欣赏中进一步感受数学思想方法

的魅力。又如当学生发现黑方有一种方法可以取胜时，教师提问“这种取胜的方法有什么高明之处？”，让学生的思维从“取胜可能性的大小”转向“如何取胜”，当然，此时还不能期待学生非常概括的表达取胜方法，只需结合具体应对方法初步感受取胜策略即可。在第一次课堂教学中，学生回答“用黑3应对红10”时，教师还追问“为什么不能用6对10”，希望学生提炼出“用黑方最小的牌去应对红方最大的牌”，事实上学生只凭一次的方法感受还不足以高度概括，否则就是“赶鸭子上架”，为难学生了。

（三）多次体验，探究黑牌取胜的条件。 1．调换一张黑牌，保证黑方有取胜的可能。

师：黑牌9、6、3应对红牌10、7、4，也有取胜的可能，如果允许黑方变换一张牌，那黑方能否在比赛中还能有获胜的可能？你准备怎么换？ 生：把9换成10。

师：黑9换成黑10，怎样应对红牌就能取胜？

生：黑10对红10，黑6对红4，黑3对红7，这样就??，平了。 生：黑3对红10，黑6对红4，黑10对红7，黑方就胜了。 生：把黑3换成10。

师：看来你们的方法都是把黑牌变大，这样获胜当然也不奇怪了。能否把其中一张黑牌变小后，黑牌还能获胜，行吗？请把你调整黑牌后应对红方的方案填在下表。想一想，有几种不同的变换方法。 第一局 第二局 第三局 获胜方 红牌 10 7 4 黑牌 ] 汇报：

生1：把黑3变成黑2。黑2与红10比；黑9与红7比；黑6与红4比；黑方三局两胜，结果是黑方获胜。

生2：把黑3变成黑A。黑A与红10比；黑9与红7比；黑6与红4比；结果也是黑方获胜。

师：黑3变成黑2、黑A，黑方都还有可能获胜。

生3：0也可以； 生4：扑克中没有0。

师：如果扑克中有0，红、黑方怎样比较，黑方也有机会获胜？（学生说）看来把黑3变成比它更小的牌，都有获胜的可能，这是为什么呢？ 生：因为都是把这个黑牌与红10进行比较。 师：变化黑3有两种方法，那改变其它的牌行吗？

生：黑9变成黑8也行，黑3与红10比；黑8与红7比；黑6与红4比；结果也是黑方获胜。 师：还能再变小吗？

生：不行，变成7就平局了。黑3与红10比；黑7与红7比；黑6与红4比。 生：还可以把黑6变成黑5，黑3与红10比；黑9与红7比；黑5与红4比；结果也是黑方获胜。 师：黑6变成黑4呢？ 生：不行，成平局了。

2．同时变小三张黑牌，保证黑方有取胜的可能。

师：刚才把一张黑牌变小，依然有取胜的可能，现在如果把三张黑牌都变小，并且要尽可能小，使黑牌还有可能取胜，你们觉得三张黑牌分别可以是几？可以怎样对局？想好后，请填在下面表格内。（学生活动） 第一局 第二局 第三局 获胜方 红牌 10 7 4 黑牌 反馈：

生：可以是A、5、8。黑A与红10比；黑8与红7比；黑5与红4比。 3．初步提炼取胜的条件。

师：请同学思考，要使黑方在比赛中有获胜的可能。 你认为黑方要具备哪几个条件？

生1：必须有一个数要大，要比红7大；

生2：要三局两胜。 师：你的意思是?? 生2：要有两局胜红方。

师：要保证黑方有两局获胜，那?? 生：要有两张牌大于红方。 生3：黑方必须“牺牲”一张牌。 师：“牺牲”了哪张牌？ 生：最小的那张。

师：黑方最小的与红方最大的比较，结果是输了，但这不是用鸡蛋碰石头，而是一种应对的策略。 总结：

A．黑方要出最小的牌应对红方最大的牌，使对方最大牌发挥最小的作用。 B．要有2张牌大于红方（优势方）。 4．师生比赛，进一步完善取胜的策略。

师：老师想和同学们挑战一下，我是红方10、7、4，你们是黑方8、5、1，你们能赢吗？

比赛：学生出黑A，老师出红4；学生出黑5，老师出红7；学生出黑8，老师出红10。老师获胜。（学生的表情有点“奇怪”） 部分学生喊：老师您先出。

再比赛：师出红10，学生出黑A；师出红4，学生出黑5；师出红7，学生出黑8。

学生欢呼“胜利、胜利”。

师：从刚才的比赛中，你们有什么想法？ 生：要保证黑方取胜，一定要让红方先出牌。

小结: 刚才的两组牌，黑方实力稍逊,但应用策略还是能以弱胜强。

设计说明：让学生在活动中反复体验，不断感悟方法和策略，最后水到渠成。（1）在变换黑方一张牌时，让学生感受到最小牌可以变成比3更小的任何牌，以充分认识到黑方的最小牌只能去应对红方的最大牌，所以无所谓小到什么程

度；当黑9只可以换成黑8，黑6只可以换成黑5，学生能悟到这两张牌必须要分别大于对方，才能保证黑方可以三局两胜。（2）同时把黑方三张牌都变成最小，需要学生整体把握三张牌的大小和应对方法：小牌对最大牌，结果一定输，另外两张牌要保证赢。学生已经基本领会取胜的策略。（3）师生比赛，学生在“意外”失败中“醒悟”：一定要后出，才能见机行事。在这些活动过程中，学生思维活跃，善于发现、交流、提炼，在立与破中不断完善认识。

教师指导策略：适度分解要探究问题，引发学生自主探究。我们经常会说，要设计有挑战性的问题，让学生自主探究，但是问题的难度系数往往会影响探究进程，如果挑战性太大，学生将无从入手。因此探究问题的适度分解或分层，降低探究的门槛，让更多学生参与探究，应该是教师指导中需要考虑的问题。本教学环节中要求学生理解“田忌赛马”取胜的策略，要从大小、应对对象、应对顺序等多个角度去思考，四年级学生是很难主动的、有序的研究。在第一次教学中，是让同桌互相出三张牌，来研究对策。由于没有谁先出牌的规定（实际上在策略清晰前也无法规定），还有随机抽牌形成不同结构的局势，影响胜负的原因纷程复杂。整个活动学生只是凭着直觉出牌，沉溺于胜负的结果，无暇顾及思考胜负的原因，当然也就无法提炼出相应的策略了。因此本设计就分解成如上的教学过程，实践发现，通过不断换牌、应对、提炼，几乎所有的学生都理解或应用策略了。

5．应用策略，体会“实力均等智者胜”。 第三次比较：红牌：10、7、4；黑牌：10、7、4

生1：黑方获胜。黑4与红10比；黑7与红4比；黑10与红7比。 生2：也可能是平局。黑4与红10比；黑7与红7比；黑10与红4比。 生4：红方也有机会获胜，只要让黑方先出牌。红10与黑7比；红7与黑4比；红4与黑10比。

师：刚才同学们的每种比较都是正确的，当他们双方实力完全相等的情况下，就看谁懂得其中的策略，谁就能获胜。这就叫做实力均等，智者为王。 师：你认为，“智者”是怎么做的？

设计说明：在真实的双方对局中，必然会出现“实力悬殊”，“实力稍逊”“实力对等”等各种不同的情形，其对局结果也有所不同。通过对“实力稍逊，以弱

胜强”“实力均等，智者为王”两种情况的研究，让学生体会到学习和应用策略的重要价值。而通过对“实力悬殊，胜负分明”的学习，让学生感受到策略应用也要有一定的条件，并不是万能的。由此学生对对策的认识更为全面、立体。 （四）介绍故事“田忌赛马”，内化对策略的理解。

1．课件出示故事“田忌赛马”，让学生说说田忌的应对方法。 第一场 第二场 第三场 齐王 上等马 中等马 下等马 田忌 下等马 上等马 中等马 获胜 齐王 田忌 田忌

2．请学生用成语或是谚语来说说“玩牌游戏”和“田忌赛马”的共同点。 生：以弱克强、小材大用。 生：后发制人。

生：知己知彼·百战不殆。 生：扬长避短、反败为胜。 ??

设计说明：“田忌赛马”和“比较扑克牌的大小”，情境不同，结构相同。让学生从本质上体会两者的“同”，也就是又一次对策略更高层面的理解和内化。 （五）拓展学生对不同策略的认识。 1．取棋子活动，学生应用策略解决问题。

游戏规则：10颗棋子，两人轮流拿，每次只能拿一颗或两颗，谁最先拿到第10颗，谁就获胜。

（1）学生尝试，理解规则。

（2）游戏中思考：有没有策略，使自己必定获胜? （3）教师巡视指导，收集相关示意图。 反馈：

师：刚才一位同学取到7后，同桌就不取了，请问同桌你为什么不接着取了？ 生：如果我取8号，那9、10就被对方取走；如果取8号、9号，那10号也被对方取走。我一定输了。

师：如此说来，要想取到10，就必须取到7这个关键点。

教师在实物投影仪上呈现4张示意图，请学生思考：怎样能保证取到7号？ 2．介绍应用策略的案例，体会策略的价值。 案例一：扑克游戏中的对策

游戏规则：大牌压小牌，也可以选择不出牌，大的一方继续出牌，先出完的一方为胜。

场景描述：最后聪聪和明明都剩下三张牌，由聪聪接着出牌。 聪聪：3、10、K 明明：7、10、大王 问题：聪聪先出哪张牌就一定取胜？

具体对策：聪聪先出10，明明可以出大王，接下来明明出任何牌，都小于老K，然后聪聪把3打出，就胜了；聪聪出10时，明明如果选择不出牌，聪聪继续出3，此时明明如果出7或10，都被聪聪的老K压掉，所以此时明明要出大王，但接下来明明出7或10，都小于老K，聪聪也胜了。

案例二：囚徒困境的故事

有一天，一个富翁在家中被杀，财物被盗。警方在侦破过程中，抓到两个犯罪嫌疑人张三和李四，并从他们的住处搜出富翁家中丢失的财物。但是，张三和李四只承认偷了东西，却不承认杀过人。于是警方将两人分别关在不同的房间进行审讯。警察分别对张三和李四说，“已经确定你们偷过东西，可以判你们1年刑期。现在，如果你坦白杀人的罪行，我只判你3个月的监禁，但你的同伙要被判10年刑。如果你不坦白，而被同伙检举，那么你就将被判10年刑，他只判3个月的监禁。如果你们两人都坦白交代，那么两人都要被判5年刑。” 张三和李四会做怎样的选择呢？

张三、李四面临着两难的选择，要么坦白，要么抵赖。显然最好的策略是双方都抵赖，结果是大家都只被判一年。但是由于两人在不同房间，无法商量，就都会从有利于自己的方面进行选择。这两个人都会有这样一个盘算过程：假如他招了，我不招，得坐10年监狱，如果我也招了才5年，所以招了划算；假如我招了，他也招，得坐5年，他要是不招，我就只坐3个月，而他会坐10年牢，也

是招了划算。综合以上几种情况考虑，不管他招不招，对我而言都是招了划算。两个人都会动这样的脑筋，最终，两个人都选择了招，结果都被判5年刑期。这就是著名的“囚徒困境”。

案例三 体育比赛中排兵布阵的对策

某次羽毛球男团、女团的比赛，交战双方分别派出“三单两双”，根据竞赛办法，各队可自行安排各单项运动员的出场顺序，这无疑给了实力偏弱的一方以“可乘之机”：他们完全可以借鉴“田忌赛马”的策略，化劣势为优势。以甲队女队为例，作为第三档队伍的他们将迎来本次比赛的首个对手－－第二档的乙队。双方阵中都有一队实力不俗的女双选手，乙队拥有曾获混双金牌的“原配”两位选手A1/A2，甲队则拥有已提前获得女双决赛资格的两位选手B1/B2。从实力上来分析，如果双方在比赛中正面交锋的话，B1/B2几乎没有任何胜算，而甲队的另一女双组合C1/C2也很难再面对乙队的D1/D2时占到便宜。如此一来，甲队很可能在两局双打中惨败。不过假如B1/B2能够回避A1/A2而与D1/D2交锋的话，则获胜的机会很大，即使C1/C2输给A1/A2，两队也可以在双打项目上平分秋色（各赢一局）。

教师指导策略：学习材料的设计和选择是探究活动的基础。本节课在引导学生进行自主探究时也经历了对材料的“取舍”过程。（1）故事“田忌赛马”何去何从？在本案例的研究中，考虑到很多学生已经知道故事“田忌赛马”的结论了，因此经过实践研究，最后把它定位于“应对策略基本清晰后的简单呈现，在联系沟通中内化策略”，同时又十分自然的引出了策略名称。（2）“报数”游戏的改造。教材116页还提供了一个“报数”游戏：两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是10，谁就获胜。其目的在于让学生从“田忌赛马”的策略中走出来，拓展学生对不同策略的认识。“报数游戏”和“田忌赛马”都需要运用策略取胜，但两者在具体策略上却截然不同。尽管我们也认识到具体应对方法不是最重要，不能拘泥于细节和局部的讨论，更重要的是让学生体会运筹思想，感悟对策论方法在实际中的应用。可是看到学生在经历“报数”游戏中，苦苦寻求策略而不得时，我们想到了“舍弃”，并构想学生通过了解生活中应用策略的例子，来体会运筹思想和对策论方法。但最后还是保留了数学游戏，因为能更好地实现“尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题”的目标。于是作了一些改造，成为“取棋子”活动，既便于学生动手操作（圈一个棋子或两个棋子），又能留下活动过程的静态图，便于学生觉察到关键点“7”“4”“1”，从而领会获胜策略。另外，在学生探究中遭遇思维搁浅时，需要教师及时提示。如学生在取棋子游戏中无从研究时，教师就可以提示学生思考：因为每次可报1或2，如果你想取到最后一颗棋子，前一颗就必须取到哪一颗？还可以提示学生观察每一次取棋子的示意图，从而使学生豁然开朗，走出思维迷途。

田忌赛马 教学内容：四年级上册课本第116页例题4。

教学目标：1、通过田忌赛马的故事让学生体会对策论方法在实际中的应用，感

受对策在生活中的重要作用。

2、尝试用数学方法来解决实际生活中的简单问题，使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。

3、初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，初步感知对策

的数学思想方法。

学情分析：例4从“田忌赛马”的故事引入对策论的应用问题，对策论研究的是

竞争的双方各自采取什么对策才能够战胜对手。“田忌赛马”的故事学生可能已经了解，但是并不是从数学的角度去理解的。在这里，通过这个故事让学生体会对策论方法在实际中的应用。

教学重、难点：体会对策论方法在实际中的应用，能从多样化的方案中，选出最

满意的方案，实现方法最优化。

一、故事导入 师：同学们，你们听过田忌赛马的故事吗？喜欢吗？老师也非常喜欢这个充满了智慧的故事，让我们一起来分享这个故事吧！

(多媒体课件演示：齐王和田忌进行一次赛马比赛,他们各自的三匹马分别被分为上、中、下三个等级，分三场进行，相同等级的马进行赛跑，齐王连胜三场。)

师：同学们,你从刚才的比赛中知道了什么?

生：我看出齐王每个等级的马都比田忌的快，而且只快一点。。我知道齐王胜了三场。。我看出齐王的马很强,田忌的很弱。。我还知道最快的马是齐王的上等马，最慢的马是田忌的下等马。

师：从马的比赛成绩上可以给马排个名次吗？

生：可以 ，第一名是齐王的上等马，第二名是田忌的上等马……最后一名是田

忌的下等马。

师：刚才田忌是用自己的上等马对齐王的上等马，中等马对齐王的中等马，下等马对齐王的下等马，结果田忌以0：3输给齐王。田忌连输三场，心情怎样？ 生：他很难过，很伤心……

师：这时，他的好朋友孙膑从人群里跑来，悄声告诉他：只要改变一下出马的顺序，就会有赢的机会。齐王非常得意，满口答应了田忌的要求，他还是按上中下的顺序出马。 师：故事讲到这，请同学们想一想，田忌有多少种出马顺序呢？请你们商量一下，把所有的顺序都找出来，填写在表格中,一边填一边想，怎样才能做到不重复也不遗漏，再找一找田忌有哪几种获胜的策略。

师：现在我请各小组汇报一下你的出马顺序。（投影仪展示学生的出马顺序。） 生：一共想到六种出马顺序。

师：如果你是田忌，你会采用哪种出马顺序呢？ 生：先出下等马，再出上等马，最后出中等马。

师：为什么要采用这种出马顺序呢？

生：因为用这种方法，田忌胜两场，输一场，田忌能胜齐王。

师：那其他情况怎样呢？(不能赢。)我们一起来分析一下。

师：第一种方法田忌连输三场，以0：3输给齐王；其它四种方法都是田忌胜一场，输两场，结果是以1：2输给齐王，只有这一种方法是田忌能胜两场，输一场，最后是2：1胜。田忌除了这种方法之外还有其它获胜的方法吗？ 生：没有了。

师：看来这是田忌(生：唯一。)能胜齐王的方法了。

师：同学们，在赛马这个故事中，我们能看出输赢跟什么有关呢？ 生：输赢跟出马的顺序有关，还跟马的快慢有关。

4、归纳小结田忌赛马的这种策略

（1）问：齐王先出，田忌就一定能赢吗？生：齐王先出，田忌要用策略才能赢

（2）问：在比赛中，田忌要想获胜应采用什么对策？

（3）小结：在比赛中，田忌要想获胜必须满足两个条件。第一：让齐王先出；第二：田忌用最弱的马牵住齐王最强的马，才能换取后两场的胜利。问：同学们，田忌一共想到多少种出马顺序呢？

师：同学们，在这个赛马故事中，看似不能赢的情况下，田忌只是改变一下马的

出场顺序，结果就赢了。这就是田忌赛马的对策，这就是我们这节课要学习的主要内容。

（教师板书课题：对策）

二、扑克游戏

师：现在我们来做个游戏，请你利用刚才所学的对策，想想怎样才能赢。

（介绍游戏方法：出示从2--7六张扑克牌，说明分别表示2点、3点……7点。两人各选三张，每次出一张，比谁的点子大，谁就赢，谁赢的次数多谁就获胜。)

问：谁愿意和老师来挑战？

问：你想赢老师吗？（想。）让你先选的话，你首先选哪一张？

生：我选6。

师：为什么？

生：因为6最大。

（在老师和学生选牌时，其他同学也为我们着急呢，禁不住的附声提醒着。最后该生选7、5、3；老师选6、4、2。）

师：我们把牌按照大、中、小的顺序竖着排列在黑板上。请你们观察一下，从我们两人选出的牌中你看出什么？ 生：他每一张牌都比老师牌大。

师：对，他每个等级的牌都比老师的牌大。你们认为谁会赢呢？

生：我认为王某会赢，我认为老师会赢，因为老师可以用田忌的对策。 师：认为这位同学能赢的，请你们给他当军师，认为我能赢的请你们给我当军师。

师：我是老师,让你先出牌。（生先出牌，结果是胜一场，输两场。）——师赢。

师：还有不服气的吗？（又上来第二位同学，结果还是胜一场，输两场。）——师赢。

师：还是请你(第三位学生)先出牌。 生：老师，你先出牌。

师：军师们，他让我们先出牌，你们同意吗？ 生：同意。

个。在此你想对田忌

说什么呢？希望自己怎么样呢？ 三、巩固应用。

1、想自己当一回田忌吗？机会来了。

百度网页：（http://gsyx.cersp.com/article/browse/3391552.jspx） 这是一场拍球比赛,三局两胜．请看参加比赛队员的双方资料： 对方1分钟拍球个数: 1号20个 2号40 3号60 我方1分钟拍球个数: 1号10个 2号30 3号50 问:我方队员怎样对阵才能赢? 2

、

数

学

游

戏

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百

度

网

页

（http://aoshu.eduu.com/e/20090910/4b8bcf9f5f88a.shtml）

两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是10，数九获胜。

想一想，如果让你先保数，为了确保胜利，你第一次应报几?接下来应该怎样报？

3、课前玩扑克游戏老师获胜得策略你知道了吗？再体验一次。 4、请同学们想一想，田忌的这种策略可以在哪些地方应用？ 老师也在媒体上找到一些运用“田忌赛马”策略的信息。课件出示： （１） 自主品牌巧演“田忌赛马” （２） 百

度

网

页

（ http://auto.163.com/05/1207/16/24CQH9RE000816HJ.html）

从2005年底开始，在中国车市，中国的自主品牌正在巧妙导演着与合资品牌的“田忌赛马”。

（２）（财经评论）田忌赛马与招商引资 百度视频

（http://news.xinhuanet.com/forum/2004-07/27/content_1648190.htm） 一位镇长想起了田忌赛马的故事。 不与强者争一时的长短，而是依据自己的实际，错开优势，以长击短，因此取胜。联想到招商引资，如果也能注意扬长避短，制造“错位”优势，可能还是打破僵局、走向成功的一个高招。

(3)百度视频( http://clsym1960.blog.163.com/)

??就拿昨晚男团比赛来说吧，身为国家队绝对主力的林丹出任的是解放军队的第2单打，而湖南队则把实力最强的鲍春来放到了第3单打。这样排兵布阵的出发点就是为了确保己队拿下这绝对的一分，这样的战术又被人称为羽毛球场上的“田忌赛马”。

(4)百度新闻（ http://yule.sohu.com/20060915/n245367956.shtml） 超女比赛快讯：两队商量谁先出场 商量“田忌赛马”策略 四 课堂小结:

面对一次机会,一场竞技,我们光水平高是不够的,我们还要知己知彼,凡是讲究策略,才会取得胜利。有些生活中的问题往往是可以用一些数学策略来解决的，关键是要有善于运用策略的意识。希望“策略”意识走进我们的生活,融入我们的生活,在我们的生活中发挥更大的作用。

追源探流，“赛”出数学思想方法

——《田忌赛马——对策问题》说课稿

一、说教材 1、说教材内容

“田忌赛马”是人教版实验教材数学四年级上册第七单元“数学广角—运筹学”中例4的内容。

2、教材简析

教材选“田忌赛马”作为例题，是因为它是运用“对策论”最古老、最典型的案例，研究的是采用什么对策才能战胜对手。教材编排的目的是要让学生从数学的角度去理解这个故事，并从中体会对策论在实际中的应用。结合《数学课程标准》倡导的 “素材要密切联系学生的现实生活，运用学生关注和感兴趣的实例作为认识的背景”。我大胆改变教材，运用学生喜爱的扑克牌游戏进行新课教学，并从游戏中一起探索出“最佳对策”，而把“田忌赛马”例题变为练习题。这样的安排，从学生身边的事物入手，生动有趣，更具有实效性。

3、教学目标的确定：

基于以上认识，我确定本节课的教学目标为：

（1）通过简单的事例，使学生初步体会对策论在解决实际问题中的应用。 （2）通过有趣的活动，让学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。

（3）感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决生活中的一些问题。

4、教学重点：经历探索“最佳对策”的过程。 教学难点：初步理解“最佳对策”的原理。 5、教具准备：多媒体课件，扑克牌6张。

学具准备：每小组扑克牌一副，表格一张，评价表一页。

二、说教法学法

根据教材特点和学生的年龄特征，本节课我采用“引导探究法”进行教学，教学中辅以“情景创设法、兴趣激励法”等教学方法。在学法指导上，我把学习的主动权交给学生，引导学生采用“列举法、归纳法、类比法”等学习方法，在合作交流的过程中，引发思维的碰撞，最终掌握新知。

三、说教学过程

为优化教学过程，体现理念，在教学中，我从下面三方面开展教与学： （一）激趣引入，凸现游戏背后的数学内容；

新课一开始，我和学生用扑克牌玩比大小游戏：有两组扑克牌，一组是红的：8，6，4；一组是黑的：7，5，3。学生和老师各选一组进行比赛，先选的要先出牌；每次各出一张牌，谁牌大谁就赢；三局两胜制。学生肯定选红牌，因为红牌比较大。我让学生先出牌，第一次：学生出8我对3，我输了；学生出6我对7，我赢了；学生出4我对5，我又赢了。三局两胜，老师取得了胜利。学生不服气，再比一场。这一次，学生出6我对7，学生出4我对5，学生出8我对3，结果，还是老师取得胜利。不管学生怎么出牌，赢的总是老师，学生心中充满了问号。

【设计意图：本环节以儿童喜爱的扑克牌游戏导入，符合儿童的年龄特点和心理特征，唤起了学生的学习兴趣，为后面的学习活动打下了基础。】

（二）自主探究，寻找统筹优化数学思想方法； 第一层次：寻找游戏背后的数学

首先，我抓住学生好胜的心理，及时引导他们进行探究活动。刚才老师为什么总能取得胜利呢？其实啊，老师是有对策的（板书课题），今天就让我们一起来探究。接着，我让学生分小组，用扑克牌玩比大小游戏。边玩边按照一定的顺序填写表格，做到不重复、不遗漏。在玩的过程中，学生运用已学的“排列组合”的知识，列举出六种不同的应对策略（出示比赛表格）。

红方 黑方（第一局） 黑方（第二局） 黑方（第三局） 黑方（第四局） 8 7 7 5 5 6 5 3 7 3 4 3 5 3 7 胜利方 红 红 红 红 黑方（第五局） 黑方（第六局） 3 3 7 5 5 7 黑 红 第二层次：探讨“赢”的策略

通过对比，学生发现红方获胜机会有5次，而黑方仅仅只有一次。就是用黑3对红8，用黑7对红6，用黑5对红4。（板演）

我接着问：黑方要获得胜利，该具备什么条件呢？学生由于有了前面的亲身体验，经过小组讨论后，纷纷表达看法，最终形成获胜的对策：1、让红方先出牌；2、用黑3对红8，使红方最大的牌发挥最小的作用，黑方才能获胜。

【设计意图：因为对策本身是一个很抽象的概念，学生只有经历了知识的形成过程,才能建构新的知识体系。所以，在本环节，我让学生亲自参与到玩牌活动中，从自己的思维实际出发，经历一次“研究与发现”的完整过程，得出赢牌的最佳策略。使学习成了一种乐趣，数学课成了活动的课堂、创造的课堂。】

（三）追源探流，感悟统筹优化思想的深刻魅力；

学生有了前面的基础，我大胆放手，让学生自主探索对策论在实际中的运用，追寻对策论数学文化的“源”和“流”。

1、

追源（田忌赛马）

（1）介绍故事

我先向学生介绍《田忌赛马》故事的前半部分。齐国大将田忌很喜欢赛马。一回，他跟齐王约定，把各自的马分成上，中，下三等进行比赛。（出示课件）齐王每个等级的马都比田忌的马快一点，如果按常规比赛，齐王就一定能取胜。（介绍第一场比赛并演示课件）

（2）运用策略（运用扑克牌的游戏来解决问题）

介绍到这里，我停下来提出问题：那么田忌怎样做才能反败为胜呢？聪明的学生立刻就可以看出，道理是跟刚才的玩牌一样，齐王的上、中、下等马相当于扑克牌的8、6、4，田忌的上、中、下等马相当于7、5、3，由齐王先出，用田忌的下等马（3）对齐王的上等马（8），用田忌的上等马（7）对齐王的中等马（6），用田忌的中等马（5）对齐王的下等马（4）。这样，田忌就能获胜。（出示表格）

齐王 田忌 获胜方

第一局 第二局 第三局 上等马 中等马 下等马 下等马 上等马 中等马 齐王 田忌 田忌 这时我再指出：对，田忌就是这样做的。在2000多年以前，我国人民就已经会运用“对策论”来解决问题，中国人多么伟大啊！

2、探流（生活中的实际运用） 1)新田忌赛马：

我先创设一个“新田忌赛马”情景。（出示课件）齐王输了不服气，想再和田忌赛一场。双方各增加一匹马，四局三胜，田忌要采用怎样的对策才能获胜呢？学生通过思考发现，道理还是跟玩牌一样的，只是各增加了一匹马，还是要由齐王先出，田忌只要用最弱的马去跟齐王最强的马比，使对方最强的马发挥最小的作用，就能取得胜利。

2)对策在生活中的运用

这时我再让学生思考，“对策论”在实际生活中还有哪些运用呢? 在学生们举出乒乓球比赛、棋类比赛等，都要运用到策略后。我再指出对策问题在生活中广泛存在，像体育活动到外交谈判、军事部署等领域中都有重要的作用。接下来我组织学生玩一个军事小游戏。

3）我是小小军事家（出示课件）

情报透露，敌军18万人分三路向我方进攻（出示课件），中路8万人，左路6万人，右路4万人。我军只有15万人，如果你是军事家，你将如何指挥我军打赢这场胜仗呢。

学生兴趣盎然，争相献策：有的会说，把我军分成三路（中3+左7+右5），中路利用地形优势抵住敌军进攻，左右路消灭敌军，再包抄敌方中路，最终获取胜利；有的说，左右路获胜后佯攻敌军大本营，在敌军中路回援的途中设伏，通过声东击西方法更能重创敌军??

【设计意图：本环节让学生用玩牌所掌握的策略方法，应用到“田忌赛马”“我是小小军事家”等一系列的活动中，使学生进一步认识到“对策论”的深刻魅力，了解对策论方法在生活中的应用价值。】

（四）总结评价

在总结评价中，我让学生畅谈收获，相互评价，并总结：面对一次机会,一场竞技,我们光水平高是不够的,我们还要知己知彼,凡事讲究策略,才能获得胜利。希望“策略”意识走进我们的生活,融入我们的生活,在我们的生活中发挥更大的作用。

我的星级评价表

评价内容 自我评价 小组评价 我的收获

（五）课后小活动

1、回家跟爸妈玩扑克牌比大小游戏，并把对策原理告诉给他们。 2、跟朋友赛说： “我们班同学真是了不起” 比赛规则：

了解对策及其 认真听讲，倾与同伴合作， 积极思考，勇于探索 在生活中的应用 听别人的发言 积极回答问题 游戏从上面的话开始，两人依次轮流说这句话，每次说一个或两个字，谁先说到最后一个字，谁就获胜。（学生在玩的过程中感受到，要先说到最后一个字就要先说到第7个、第4个、第1个）

四、板书设计：

对 策

（红） （黑）

8 3 1、红方先出 6 7 2、黑3 ︰ 红8

4 5 （最小） （最大）

【板书设计说明：本节课的板书简明扼要，重点突出，有利于学生加深对知识点的掌握。】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/faet.html