实变函数习题与答案试卷一

考安庆师范学院第 学年度第 学期 《实变函数》试卷一 生专业_________班级________ 姓名 学号 答题号 得分 一 二 三 四 五 总分 题注 意 事 项 1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 不 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak; ????得n??n?1k?n??n??n?1k?n?（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak; n??n?1k?nn??n?1k?n?2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） 超（A）P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P '?3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 此4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A）若fn(x)?f(x), 则fn(x)?f(x) (B) sup?fn(x)?是可测函数 n（第1页，共6页） 线 （C）inf?fn(x)?是可测函数;（D）若fn(x)?f(x),则f(x)可测

n5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 （C）f(x)在[a,b]上L可积 (D) ?f'(x)dx?f(b)?f(a)

'ba得 分

二. 填空题(3分×5=15分)

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________

2、设E是?0,1?上有理点全体，则E=______,E=______,E=______.

'o3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有

_________________________________，则称E是L可测的

4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切分划，使_____________________________________________________,则称f(x)为

?a,b?上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举

得 分 反例说明.(5分×4=20分)

1、设E?R1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。 2、若mE?0，则E一定是可数集.

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数。

4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则?f(x)?0

E（第2页，共6页）

四、解答题（8分×2=16分）.

?x2,x为无理数1、（8分）设f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，是否L??1,x为有理数可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求lim?n?0ln(x?n)ne?xcosxdx

得 分 五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明?0,1?上的全体无理数作成的集其势为c.

2、（6分）设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数

a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

3、（6分）在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。 4、（6分）设mE??,f(x)在E上可积，en?E(|f|?n)，则limn?men?0.

n 5、（10分）设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意??0，存在闭子集F??E，

使f(x)在F?上连续，且m(E?F?)??，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理

试卷一 （参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D

二、1．? 2、?0,1?； ? ； ?0,1? 3、m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)

?n?5、??|f(xi)?f(xi?1)|??i?1?4、充要 成一有界数集。

（第3页，共6页）

考 三、1．错误……………………………………………………2分

例如：设E是?0,1?上有理点全体，则E和CE都在?0,1?中稠密 ………………………..5分 2．错误…………………………………………………………2分 例如：设E是Cantor集，则mE?0，但E?c ， 故其为不可数集 ……………………….5分 3．错误…………………………………………………………2分

例如：设E是?a,b?上的不可测集，

??x,x?E; f(x)?????x,x??a,b??E;则|f(x)|是?a,b?上的可测函数，但f(x)不是?a,b?上的可测函数………………………………………………………………..5分

4．错误…………………………………………………………2分

mE?0时，对E上任意的实函数f(x)都有?Ef(x)dx?0…5分

四、1．f(x)在?0,1?上不是R?可积的，因为f(x)仅在x?1处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分

因为f(x)是有界可测函数，f(x)在?0,1?上是L?可积的…6分 因为f(x)与x2a.e.相等，进一步，?f(x)dx?0,1???10xdx?213…8分

2．解：设fn(x)?ln(x?n)ne?xcosx，则易知当n??时，fn(x)?0

…………………………..2分

1?lnt?lnt?又因???0，(t?3)，所以当n?3,x?0时， ?2tt??(1?x)………………4分

x?nn33ln3?x(1?x)e…………………………………6分 从而使得|fn(x)|?3n?n??ln(x?n)n?xln(x?n)n?xln3ln3'但是不等式右边的函数，在?0,???上是L可积的，故有

（第4页，共6页）

limn??0fn(x)dx???0limfn(x)dx?0…………………………………8分

n五、1．设E?[0,1],A?E?Q,B?E\\(E?Q).

?B是无限集，??可数子集M?B?A是可数集，?A?M?M.

…………………………2分

……………………………….3分

…………..5分

?B?M?(B\\M),E?A?B?A?M?(B\\M),且(A?M)?(B\\M)??,M?(B\\M)??,?E?B,?B?c.………………………………………………6分

2．?x?E?,则存在E中的互异点列{xn},使limxn?x……….2分

n???xn?E,?f(xn)?a………………………………………….3分

n???f(x)在x点连续，?f(x)?limf(xn)?a?x?E

…………………………………………………………5分

分

?E是闭集.…………………………………………………….6

3.

n对??1，???0，使对任意互不相交的有限个(ai,bi)?(a,b)

n当?(bi?ai)??时，有?f(b)i?f(ai)?1………………2分

i?1i?1n将[a,b]m等分，使

k?i?1xi?xi?1??，对?T:xi?1?z0?z1???zk?xi，有

?i?1f(zi)?fz(?)i?1，所以1f(x)在[xi?1,xi]上是有界变差函

数……………………………….5分

xib所以

V(fxi?1)?1从,而

V(f)?m，因此，

af(x)是[a,b]上的有界变差函

数…………………………………………………………..6分

（第5页，共6页）

4、f(x)在E上可积?limmE(|f|?n)?mE(|f|???)?0……2分

n??据积

f(x分的绝对连续性，

??0?,??，e0?,E?m?,e?有??|e.4分 )??d|…………………………………………………x，k,mE?(|f??|n从而n?mne??|对上述??0?,k?,n?(f)x|??d，x即

enlninm?mne?…………………06分 5．

?n?N,存

在

闭

集

Fn?E,m?E?Fn??12nf,x(在

)Fn续………………………………………………………………2分

??令

F???Fn，则

??x?F??k,x?k?1n?kn??kFn?,n?kx?,Fn?fx在

F续…………………………………………………………4分 ??又对任意k,m?E?F??m[E?(n??kFn)]?m[n?(?kE?Fn)]

???m(E?F1n)?n?k2k…………………………………………….6分

故m(E?F)?0,f(x)在F?E连续…………………………..8分 又m(E?F)?0,所以f(x)是E?F上的可测函数，从而是E上的 可测函数………………………………………………………..10分

的逆定理)

（第6页，共6页）

连

连

4、f(x)在E上可积?limmE(|f|?n)?mE(|f|???)?0……2分

n??据积

f(x分的绝对连续性，

??0?,??，e0?,E?m?,e?有??|e.4分 )??d|…………………………………………………x，k,mE?(|f??|n从而n?mne??|对上述??0?,k?,n?(f)x|??d，x即

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集

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故m(E?F)?0,f(x)在F?E连续…………………………..8分 又m(E?F)?0,所以f(x)是E?F上的可测函数，从而是E上的 可测函数………………………………………………………..10分

的逆定理)

（第6页，共6页）

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