计量经济学习题及答案第八章 联立方程的识别和估计

第八章 联立方程的识别和估计

一、习题

（一）简答题 1．内生变量； 2．外生变量； 3．前定变量；

4．（1）行为方程；（2）技术方程；（3）制度方程；（4）恒等式； 5．（1）联立方程系统的结构型； （2）联立方程组的简化型； （二）计算题

1．某联立方程计量经济学模型有3个方程、3个内生变量(y1,y2,y3)、3个外生变量

(x1,x2,x3)和样本观测值始终为1的虚变量C，样本容量为n。其中第二个方程为

y2??0??1x1??2y3??3x3??2 ⑴ 能否采用OLS方法估计该结构方程？为什么？ ⑵ 该方程是否可以识别？

2．下列为一完备的联立方程计量经济模型

Ct??0??1Yt??2Ct?1??1t It??0??1Yt??2t

Yt?Ct?It?Gt其中C为居民消费总额、I为投资总额、Y为国内生产总值、Gt为政府消费总额，样本取自1978—2000年。

⑴ 说明：对于消费方程，用IV、ILS、2SLS方法分别估计，参数估计结果是等价的。 ⑵ 说明：对于投资方程，能否用IV、ILS方法估计？为什么？

⑶ 对于该联立方程计量经济模型，如果采用2SLS估计指出其优缺点。

⑷ 如果该模型的每个结构方程的随机项具有同方差性和序列不相关性，而不同结构方程的随机项之间具有同期相关性。写出它们的方差协方差矩阵。 3．投资函数模型

It??0??1Yt??2Yt?1??t

为一完备的联立方程计量经济模型中的一个方程，模型系统包含的内生变量为C（居民消费总额）、I（投资总额）和Y（国内生产总值），先决变量为Gt（政府消费）、Ct?1和Yt?1。样本容量为n。

⑴ 可否用狭义的工具变量法估计该方程？为什么？

⑵ 如果采用2SLS估计该方程，分别写出2SLS估计量和将它作为一种工具变量方法的估计量的矩阵表达式；

⑶ 如果采用GMM方法估计该投资函数模型，写出一组等于0的矩条件。 4．下列宏观计量经济模型

Mt??0??1Yt??2Pt??1tYt??0??1Mt??2Pt?1??2t

中，M、Y、P分别为货币供给量、国内生产总值和价格总指数，M、Y为内生变量。 ⑴ 判断模型的识别状态。

⑵ 写出用IV法估计第一个方程参数时，得到的关于参数估计量的正规方程组（用非矩阵形式）,并写出参数估计量的矩阵表达式；

⑶ 用ILS法估计第一个方程参数时，也可以看成是一种工具变量方法，指出工具变量是如何选取的，并写出参数估计量的矩阵表达式； ⑷ 用2SLS法估计第一个方程参数时，也可以看成是一种工具变量方法，指出工具变量是如何选取的，并写出参数估计量的矩阵表达式； 5．判断下列联立方程是否可以识别： （1）

Qt=?0??1Pt?u1t

Qt=?0??1Pt?u2t

（2）Qt=?0??1Pt??2Yt??1t

Qt=?0??1Pt??2t

（3）Qt=?0??1P t??2Yt?u1t

Qt=?0??1Pt??2Rt?u2t

（三）问答题

1．简述模型不可识别与过度识别的原因时什么？ 2．简述构成联立方程模型的方程式有哪几种？

3．试指出在目前建立中国宏观计量经济模型时，下列内生变量应由哪些变量来解释，简单说明理由，并拟定关于每个解释变量的待估参数的正负号。

⑴ 轻工业增加值 ⑵ 衣着类商品价格指数 ⑶ 货币发行量 ⑷ 农业生产资料进口额

二、习题答案

（一）简答题

1．内生变量：由模型系统内决定，其值大小由方程组的联立解得到。

一般而言，内生变量既影响所在系统，又受所在系统影响。它是具有某种概率分布的随机变量，并且与随机扰动项相关。一般来说，对于内生变量Yt和随机误差项?t满足下列条件：Ｃov(Yt,?t)?0

2．外生变量：由模型系统外部决定，其值大小由系统之外的因素决定。

联立方程模型中，外生变量是非随机变量，与随机扰动项不相关。一般来说，对于外生变量Xt和?t满足下列条件：Ｃov(Xt,?t)?0

3．前定变量；包括外生变量和滞后内生变量。

联立方程模型中，前定变量与随机扰动项不相关。在序列不相关的经典假

设E(?t?t?s)?0下，对于前定内生变量Yt?i和?t满足下列条件：Ｃov(Yt?i,?t)?0

在联立方程系统中有时把外生变量、前定内生变量统称为前定变量，通常一个联立方程组模型的内生变量个数与方程个数是相等的。

4．（1）行为方程；（2）技术方程；（3）制度方程；（4）恒等式

（1）行为方程：反映经济活动主体，如政府、企业或消费者个人的经济行为方式的关系式。 （2）技术方程：基于客观经济技术关系而建立的函数关系式。如Cobb-Douglas生产函数，它反映了投入与产出的经济技术联系。

（3）制度方程：由法律、法令、规章等制度规定的经济变量之间的函数关系。 如税收方程：应交税额=r×B。

（4）恒等式：恒等式有两种

定义方程式：由经济理论和假设确定的诸经济变量之间的定义关系所构成的方程式。如销售收入=单价×销售量，国民收入=消费+储蓄

平衡方程式（均衡条件）：如，表示某一商品的市场达到平衡。 注：制度方程和恒等式都是确定性方程，其参数已知无需估计。 5．（1）联立方程系统的结构型

它是根据经济理论构建的，用来反映各个经济变量之间的关系，并共同构成了一个完整的联立方程系统，它有两个重要特点。第一，结构型把内生变量表示成其他内生变量、滞后内生变量、外生变量以及随机随机误差项的函数。第二，结构型中的每个参数反映了对应解释变量对作为被解释变量的内生变量的直接影响。

（2）联立方程组的简化型：它是把每个内生变量都表示成所有外生变量的线性组合。 （二）计算题 1．⑴ 不能用OLS方法估计该结构方程，因为解释变量与误差项不相关，在这种情形下，OLS估计量式非一致的。

（2）因为，k?3，k2?2， g?3，g2?2，所以对方程（二）有k?k2?g2?1，故方程（二）恰好识别。

2．⑴ 因为消费方程是恰好识别的结构方程，用IV、ILS、2SLS方法分别估计，都可以看成为工具变量方法，而且都以所有先决变量的结合为工具变量，所以参数估计结果是等价的。 ⑵ 投资方程是过度识别的结构方程，所以不能用IV、ILS方法估计。如果用IV、ILS方法估计，会得到多组不同的参数估计结果。

⑶ 2SLS估计的优点是：既适用于恰好识别的消费方程，又适用于过度识别的投资方程；由于第一阶段采用所有先决变量作为解释变量，所以在分别估计消费方程和投资方程时，都利用了所有先决变量的信息；克服了每个方程中内生解释变量Yt与随机项相关的问题。缺点是没有利用方程之间相关性信息，对于该模型系统，消费方程和投资方程的随机项显然是相关的。 ⑷

??12I?12I?Cov(?1,?2)?? 2???21I?2I?2n?2n3．⑴ 不能用狭义的工具变量法估计该方程。因为该结构方程是过度识别的。

⑵ 如果采用2SLS估计该方程，可以将2SLS估计看作为一种工具变量方法。估计量的矩阵表达式分别为：

????1???0?????????1????Yt?????Y????2???t?1?????1???0?????????1????Yt?????Y????2???t?1??1?1?YtYt?1???????1?1??Y??I ?t???Yt?1???1??Y??I ?t???Yt?1??Yt??Yt?1?????1前者为2SLS估计，后者为其等价的工具变量估计。

⑶ 如果采用GMM方法估计该投资函数模型，用模型系统的所有先决变量作为工具变量。可以写出如下一组等于0的矩条件：

?Ittt????Y???Y) ??(?01t2t?1t?1?IYttt????Y???Y)Y ??(?01t2t?1t?10?IG??(??t?Y???Y)G ??1t2t?1t?ICttt?1????Y???Y)C ??(?01t2t?1t?14．⑴ 由方程之间的关系判断，每个方程都具有确定的统计形式，所以它们都是可以识别的。又由于模型中的两个方程都满足k?ki?g?gi，所以它们都是恰好识别的。于是模型是可以识别的。

⑵ 用IV法估计第一个方程参数时，得到的关于参数估计量的正规方程组为：

?0???1Yt???2Pt)?Mt??(??0???1Yt???2Pt)Pt?1) ?(MtPt?1)??((??0???1Yt???2Pt)Pt)?(MtPt)??((?参数估计量的矩阵表达式为：

?????0??1??????(P,1,P)(Y,1,P)(Pt?1,1,Pt)?Mt ?1?t?1ttt?????2?⑶ 用ILS法估计第一个方程参数时，也可以看成是一种工具变量方法，选择(1,Pt,Pt?1)对应作为(Yt,1,Pt)的工具变量。参数估计量的矩阵表达式为：

?????0??1???(1,Pt,Pt?1)?(Yt,1,Pt)??1(1,Pt,Pt?1)?Mt ???????2?⑷ 用2SLS法估计第一个方程参数时，也可以看成是一种工具变量方法，选择Yt的简化式

?作为Yt的工具变量，即选择(Y?,1,P)对应作为(Yt,1,Pt)的工具变量。参数模型的估计量Yttt估计量的矩阵表达式为：

?????0??,1,P,)?(Y,1,P)?1??(Y??tttt?????2????1?,1,P)?M (Yttt5．（1）因为，k?0，ki?0，g?2，gi?2，所以k?ki别。

gi?1，因此两方程都不可识

（2）因为，k?1，k1?1，k2?0，g?2，g1?2，g2?2，所以对方程（一）k?k1g1?1，

故方程（一）不可识别；所以对方程（二）k?k2?g2?1，故方程（二）恰好识别。 （3）因为，k?2，k1?1，k2?1，g?2，g1?2，g2?2，所以对方程（一）k?k1?g1?1，故方程（一）恰好识别；所以对方程（二）k?k2?g2?1，故方程（二）恰好识别。 （三）问答题

1．不可识别的原因：所识别的方程与模型中其它方程或混合方程具有相同的统计形式。 过度识别的原因在于模型中提供的可供识别的“信息”或“约束”过多。 2．有四种：(1)行为方程式，解释或反映居民，企业或政府经济行为的方程式。 (2)技术方程式，反映要素投入与产出之间技术关系的方程式。 (3)制度方程式，指由政策、法律、制度等决定的经济数量关系。

(4)恒等式，恒等式有两种，一种为会计恒等式，用于表示某种定义的恒等式；另一种为均衡条件恒等式，是反映某种均衡关系的恒等式。

3．⑴ 轻工业增加值应该由反映需求的变量解释。包括居民收入（反映居民对轻工业的消费需求，参数符号为正）、国际市场轻工业品交易总额（反映国际市场对轻工业的需求，参数符号为正）等。

⑵ 衣着类商品价格指数应该由反映需求和反映成本的两类变量解释。主要包括居民收入（反映居民对衣着类商品的消费需求，参数符号为正）、国际市场衣着类商品交易总额（反映国际市场对衣着类商品的需求，参数符号为正）、棉花的收购价格指数（反映成本对价格的影响，参数符号为正）等。

⑶ 货币发行量应该由社会商品零售总额（反映经济总量对货币的需求，参数符号为正）、价格指数（反映价格对货币需求的影响，参数符号为正）等变量解释。

⑷ 农业生产资料进口额应该由国内第一产业增加值（反映国内需求，参数符号为正）、国内农业生产资料生产部门增加值（反映国内供给，参数符号为负）、国际市场价格（参数符号为负）、出口额（反映外汇支付能力，参数符号为正）等变量解释。

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