15-1-16圆锥曲线部分经典题目练习

圆锥曲线部分经典题目练习

1、P为抛物线y2 2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）

A.相交 B.相切 C.相离 D.位置由P确定

2、已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ） A.3 B.4 C.32 D.42

3、抛物线y2 4x的焦点为F，准线为l，经过F

的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，

AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积（ ）

A．4 B

． C

． D．8

22xy4、双曲线C1:2 2 1(a 0，b 0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点ab

为F2 ；C1与C2的一个交点为M，则F1F2 MF1等于（ ）

MF1

MF2

A． 1 B．1

C．

1

2

D．

1 2

5、 设P是抛物线上的一个动点。

（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线

（2）若B（3，2），求

的最小值。

的距离之和的最小值；

6、如图，抛物线顶点在原点，圆x2 y2 4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点，求AB CD的值．

226

7、已知抛物线D：y2=4x的焦点与椭圆Q：x2 y2 1(a b 0)的右焦点F1重合，且点P(2,)在椭圆Q上。

2ab

（Ⅰ）求椭圆Q的方程及其离心率；

（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求△ABF1的面积。

8.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于

A，B两点．已知OAABOB成等差数列，且BF与FA同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

圆锥曲线部分经典题目练习参考答案

p p

1、【解析】如图，抛物线的焦点为F ,0 ，准线是l:x .作PH⊥l于H，

2 2 p

.作MN⊥y轴于N则MN是 2

111

梯形PQOF的中位线，MN OF PQ PH PF.故以

222

交y轴于Q，那么PF PH，且QH OF PF为直径的圆与y轴相切，选B.

2、【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：y x m.由 y x m x2 x m 3 0

2

y x 3

1

设方程（1）之两根为x1，x2，则x1 x2 1. 设AB的中点为M（x0，y0），则x0 代入x+y=0：y0=

x1 x21

. 22

1 11

x2 x 2 0.y x 1.方程.故有M , .从而m y x 1.直线AB的方程为：（1）成为：

2 22

解得：x 2,1，从而y 1,2，故得：A（-2，-1），B（1，2）

. AB ，选C. 3、【解析】如图直线AF

AFX=60°.△AFK为正三角形.设准线l交x轴于M，

Y

则FM p 2,且∠KFM=60

°，∴KF 4,S AKF

2

4 选C.

°

【评注】（1）平面几何知识：边长为a

的正三角形的面积用公式S

2计算.

Y

4、如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c，离心率为e，作

MH l于H，令MF1 r1,MF2 r2.∵点M在抛物线上，

1r的实质是离心率e. MH MF2 r2,故 1 e，这就是说：

|MF|MHMF2r22

MF1MF1

|MF|

其次，

|F1F2|

与离心率

|MF1|

e有什么关系？注意到：

F1F2

|F1F2||MF1|2ce 2ae r1 r2 1 e 1 e 1.∴选A. . 由于 e 1 e 1

|MF||MF|MF1r1r1r1 e 12

5、解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是

在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。

显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为

（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点

即

，则

，则有

，即为

。

的最小值为4

6、解：由圆的方程x2 y2 4x，即(x 2)2 y2 4可知，圆心为F(2,0)，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，设抛物线方程为y2 8x， CD BC

∵BC为已知圆的直径，∴BC 4，则 CD 4．设A(x1,y1)、D(x2,y2)，∵AD AF ， 而A、D在抛物线上，由已知可知，直线l方程为y 2(x 2)，于是，由方程组

2 y2 8,y消去，得x

y 2(x 2).

∴x1 x2 6．∴AD 6 4 10， CD 10 4 6． 6x 4 0，

2

2

7、解：（Ⅰ）抛物线y2 4x的焦点为（1，0）∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为（1，0）。∴a b 1 ①

(

62)23 1 ② 1即 2 22

a2bb

又点P(2,)在椭圆Q上，∴()

2

2

2a

222

由①②，解得a2 4,b2 3∴椭圆Q的方程为x y 1 ∴离心离 e c 1 b 1

43aa22

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（－1，0）∴直线l的方程为 y 0 tan45 (x 1)，即y x 1 设A(x1,y1)，B(x2,y2) 由方程组

又点F1到直线l的距离 d

y x 188

消y整理，得 7x2 8x 8 0, x1 x2 ,x1x2 ∴|AB| 2|x1 x2| (x1 x2)2 4x1x2 22

xy777 1

3 4

|1 1| ( 1)2

2 ∴S ABF1

11212

|AB|d 2

2277

8. （Ⅰ）设OA m d，AB m，OB m d 由勾股定理可得：(m d)2 m2 (m d)2得：d 1m，

4

b

bAB4由倍角公式 4，解得b 1,

则离心率e tan AOF ，tan AOB tan2 AOF 2aa2OA33 b

1 a

2

ax2y2

（Ⅱ）过F直线方程为y (x c),与双曲线方程2 2 1联立

bab

15将a

2b，c

代入，化简有2x2；x 21

04 1 x2 4b

x2y2 1。 将数值代入，有4 解得b 3； 故所求的双曲线方程为369

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