2017年华侨、港澳台联考数学真题（含答案）

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2017年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试

数 学

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）若集合A??1,2,3?，B??2,3,4?，则AB?（ ）

（A）?2? （B）?2,3? （C）?3,4? （D）?1，2，3,4? （2）cos200cos250?sin200sin250?（ ）

（A）

122 （B） （C）0 （D）?

222（3）设向量a??3,1，b??3,1，则a和b的夹角为（ ）

???（A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500

?3+i?（4）??2???（ ）

??213131313（A）??i （B）?+i （C）?i （D）+i

22222222（5）设等差数列?an?的前n项和为Sn，a1?4，S5?S4?S6，则公差d的取值范围是（ ）

4?8????84?（A）??1,?? （B）??1,?? （C）??,?? （D）??1,0?

5?9????95?（6）椭圆C的焦点为F1??1,0?，F2?1,0?，点P在C上，F2P?2，?F1F2P?轴长为（ ）

2?，则C的长3（A）2 （B）23 （C）2?3 （D）2?23 （7）函数y?f?x?的图像与函数y?ln?x?1?的图像关于y轴对称，则f?x??（ ）

（A）?ln?x?1? （B）ln??x?1? （C）ln??x?1? （D）ln?x?1?

（8）设0?a?1，则（ ）

（A）log2a?log2a （B）log2a?log22a

（C）log2a?log2a （D）log2a?loga

（9）4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（ ）

（A）16个 （B）70个 （C）140个 （D）256个

（10）正三棱柱ABC?A1B1C1各棱长均为1，D为AA1的中点，则四面体A1BCD的体积是（ ）

（A）

3333 （B） （C） （D） 481224x2y2（11）已知双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F?c,0?，直线y?k?x?c?与C的右支

ab有两个交点，则（ ）

（A）k?bbcc （B）k? （C）k? （D）k? aaaa（12）函数f?x?的定义域???,???，若g?x??f?x?1?和h?x??f?x?1?都是偶函数，则（ ）

（A）f?x?是偶函数 （B）f?x?是奇函数 （C）f?2??f?4? （D）f?3??f?5?

二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.

（13）?x?2?的展开式中x5的系数是____________.（用数字填写答案）

（14）在?ABC中，D为BC的中点，AB?8，AC?6，AD?5，则BC?____________. （15）若曲线y?x?13?x?1?的切线l与直线y?x平行，则l的方程为____________. x?146（16）直线x?3y?2?0被圆x2?y2?2x?0截得的线段长为___________.

（17）若多项式p?x?满足p?2??1，p??1??2，则p?x?被x2?x?2除所得的余式为________. （18）在空间直角坐标系中，向量a在三个坐标平面内的正投影长度分别为2，2，1，则a?

____________.

三、解答题：本大题共4小题；每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （19）（15分）设数列?bn?的各项都为正数，且bn?1?bn. bn?1?1?（1）证明数列??为等差数列；（2）设b1?1，求数列?bnbn?1?的前n项和Sn.

b?n?

（20）（15分）已知函数f?x??ax3?3?a?1?x2?12x.

（1）当a?0时，求f?x?的极小值；（Ⅱ）当a?0时，讨论方程f?x??0实根的个数.

（21）（15分）袋中有m个白球和n个黑球，m?n?1.

（1）若m?6，n?5，一次随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率；

5（2）有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同的概率为，

8求m:n.

x2y2（22）（15分）设椭圆C:2?2?1?a?b?0?的中心为O，左焦点为F，左顶点为A，短轴

ab的一个端点为B，短轴长为4，?ABF的面积为5?1

（1）求a，b；（2）设直线l与C交于P,Q两点，M?2,2?，四边形OPMQ为平行四边形，求

l的方程.

2017年港澳台联考数学真题答案

一、选择题 1 D 二、填空题

13．?12 14．10 15．3x?4y?5?0 16．三、解答题

19．解：（1）两边取倒数得，.

2 A 3 C 4 D 5 A 6 D 7 C 8 B 9 B 10 D 11 B 12 C 1532 3 17．?x? 18．

332?1?b?1111?n?1?，故数列??为等差数列，其公差为1，首项为. bn?1bnbnb1?bn?（2）由（1）得，

1111111??， ?1，??(n?1)?n，故bn?，所以bnbn?1?nn(n?1)nn?1b1bnb111111n?因此Sn?1????...??．

223nn?1n?120．解：f??x??3ax2?6?a?1?x?12?3?ax?2??x?2?.

（1）当a?0时，令f??x??0，得x?2或x?①当0?a?1时，有

2； a2?2，列表如下： ax f?(x) f(x) 故极小值为f()?②当a?1时，有

???,2? ? ↗ 2 ?2??2,? ?a?2 a0 极小值 ?2?,???? a??0 极大值 ? ↘ ? ↗ 2a12a?4. a222?2，则f??x??3?x?2??0，故f?x?在R上单调递增，无极小值； a2③当a?1时，有?2，列表如下：

a

x f?(x) 2????,?? a??2 a0 极大值 ?2??,2? ?a?2 ?2,??? ? ↗ ? ↗ ? ↘ 0 极小值 f(x)

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