反常积分与无穷级数收敛关系讨论毕业论文

黄冈师范学院本科生毕业论文

本 论 文科 题 目：

毕 业 论 文

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

生

NO.：201121140403 Huanggang Normal University

Topic Author College Specialty Class Tutor

Thesis Graduates

Discuss Improper Integrals and Infinite Series Converges Relations

CHEN Gan

College of Mathematics and Physics Mathematics and Applied Mathematics 201104 HE Chunling

： ：：：：

：

May 17th, 2015

毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明

原创性声明

本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。

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本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。

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学位论文原创性声明

本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

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学位论文版权使用授权书

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1.设计（论文）的内容包括：

1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作） 2）原创性声明

3）中文摘要（300字左右）、关键词 4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）

6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论 7）参考文献 8）致谢

9）附录（对论文支持必要时）

2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。

3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。 4.文字、图表要求：

1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写

2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画

3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印 4）图表应绘制于无格子的页面上

5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档 5.装订顺序 1）设计（论文）

2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订

指导教师评阅书

指导教师评价： 一、撰写（设计）过程 1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 4、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 5、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 三、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 建议成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 （在所选等级前的□内画“√”） 指导教师： （签名） 单位： （盖章） 年 月 日

评阅教师评阅书

评阅教师评价： 一、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 建议成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 （在所选等级前的□内画“√”） 评阅教师： （签名） 单位： （盖章） 年 月 日

教研室（或答辩小组）及教学系意见

教研室（或答辩小组）评价： 一、答辩过程 1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、学生答辩过程中的精神状态 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 三、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 评定成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 教研室主任（或答辩小组组长）： （签名） 年 月 日 教学系意见： 系主任： （签名） 年 月 日

摘要

数学分析是一个研究变量的学科,既有连续变量,又有离散变量.级数和积分是数学分析中的两个重要概念,它们之间有着密切的联系,体现了离散与连续这一基本矛盾的对立与统一.因此深入研究两者关系,有助于我们理解数学分析原理,解决相关问题.二者似乎相距甚远,实则同出一源.它们本质上都是求和运算,只不过是对两种不同的变量求和,同时都是一个极限过程,因此“连续化”问题的积分理论（反常积分）和“离散化”问题的级数理论（数项级数）有很多性质、定理都是相互对应的,二者在研究问题与论证方法上极为相似.本文从判别法等方面对二者加以比较,列出了很多平行的结论,以及一些区别,指出它们之间的相互转化关系,并应用这种关系,通过某类问题的求解探究另一类问题的解法,从而使读者体会离散与连续的相互转化思想,学会数学知识的迁移. 关键词：反常积分；无穷级数；对比研究；审敛法

Abstract

Mathematical analysis is a subject mainly studying on variables, including the continuous and discrete ones. Series and integrals are two important concepts of it, there is a close relationship between them. They embodies the opposite and uniformity of basic contradiction of continuity and discreteness. So doing further research on the relationship between the two terms helps us to understand mathematical analysis principle, and to solve some related questions. Both seem to produce a conservation-based legacy with source. They are peace operations, is merely to two different variables summation, at the same time is a limit process, so \questions of integral theory (generalized integrals, with respect to the integral, etc.) and \have many properties, theorem are mutual correspond, both in research on problems with similar reasoning methods. By comparing the concepts, convergence, nature and discriminant method of both aspects, this article lists many paralleled conclusions and some differences, as well as the translation between them. And solve some problems of one kind by applying the solutions of the other kind, thus helping the readers to realize the transformation between discrete and continuous thoughts, and be able to learn mathematics knowledge migration.

Keywords Improper integral; Infinite series; Comparative study; The Inspection Technique

目录

第1章 绪论 ................................................................................................................. 1

1.1 选题背景及意义 ............................................................................................. 1 1.2 问题的提出 ..................................................................................................... 1 1.3 相关文献综述 ................................................................................................. 1 1.4 论文的主要结构 ............................................................................................. 2 第2章 反常积分的收敛方法 ..................................................................................... 4

2.1非负函数无穷积分的收敛判别法 .................................................................. 4 2.2一般无穷积分的收敛判别法 .......................................................................... 5 2.3本章小结 .......................................................................................................... 7 第3章 无穷级数的收敛方法 ..................................................................................... 8

3.1 无穷级数的概念 ............................................................................................. 8 3.2正项级数的一般判别方法 .............................................................................. 8 3.3一般项级数收敛性判别方法 ........................................................................ 12 第4章 无穷级数与无穷积分的关系探讨 ............................................................... 14

4.1反常积分与数项级数的联系 ........................................................................ 14 4.2无穷积分和无穷级数的审敛法比较 ............................................................ 15 4.3无穷积分与无穷级数差异 ............................................................................ 16 4.4本章小结 ........................................................................................................ 18 结束语.......................................................................................................................... 19 致谢.............................................................................................................................. 20 参考文献 ..................................................................................................................... 21

第1章 绪论

1.1 选题背景及意义

级数和反常积分是微积分学中的重要内容,微积分又是以极限为工具来研究数学内容的 .数学分析也叫微积分学它是在17世纪中叶由牛顿和莱布尼茨创立,由麦克劳林、泰勒、达郎贝尔、拉格郎日等数名数学家,历经200多年的发展和完善直到19世纪末才形成现今我们说的数学分析主要内容 .对于级数主要包括数项级数、交错级数、函数项级数、幂级数以及傅里叶级数等主要内容；反常积分也称广义积分主要包括无穷积分和瑕积分两方面内容；反常积分是学习了定积分后又一新的内容,是对定积分的进一步推广,反常积分打破了定积分的区间有穷性和被积函数的有界性限制,无穷积分主要研究的是无穷区间上的“积分”问题,瑕积分主要研究的是无界函数的积分问题 ,它们的共同点都是以极限为工具转化为我们熟悉定积分问题进行研究的 .

1.2 问题的提出

本论文想通过对反常积分和数项级数以及它们的含参量形式这两对概念的定义、性质、收敛判别法等方面加以比较,列出相平行的结论,得出它们之间确实有着本质的联系这一事实,进而找到这一联系；意义是根据它们的联系,就可以通过离散的形式的理论或研究方法探索得到相应的连续形式的结论,或反过来由连续的形式探究离散形式的理论方法,从而学会知识的迁移,解决更多的问题.

1.3 相关文献综述

《数学分析》（上、下册）是数学系数学专业的一门重要基础课,它的任务是使学生获得极限论,一元函数微分学,无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识.上册内容包括实数集和函数,数列,极限,函数极限,连续性,导数和微分,微分中值定理及其应用,实属完备性,不定积分,定积分及其应用,反常积分等,附录分为微分学简史,实数理论,积分表等；下册包括数项级数,函数列与函数项级数,幂级数,隐函数,多元函数微积分等.

《数学分析中的典型问题与方法》这本书全面、系统地总结和归纳了数学分析问题的基本类型,每种类型的基本方法,旨在拓宽基础,启发思路,培养学生分析问题和解决问题的能力.包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数；多元函数极限、连续、微分、积分.并参阅了70余种教材、文献及参考书,经过反复

推敲、修改和筛选,在几代人长期教学实践的基础上编写而成.选题具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性,对培养学生的能力极为有益.

《数学分析的思想方法》通过多角度、深层次、全方位地探讨了数学分析学科的思想方法对数学分析内容体系中所体现的重要思想进行了探讨与分析.并且通过大量的事例对数学分析内容中所常用的数学思想进行了举例与分析；对数学美与数学分析中的美学思想进行了论述与分析；对微积分创立过程中数学家的思想和方法进行了整理与分析；最后以附录的形式将古代数学家解决问题的方法进行了举例与说明.

《数学分析纵横谈》的作者用唯物史观阐述微积分的发展史和评价历史人物, 采用文理渗透的方法,探索数学分析与史学、 逻辑学、 哲学、 美学及心理学等的联系,融学术性、 教育性、 指导性为一体, 是一部数学研究的力作, 对21世纪的《数学分析》课程建设, 将发挥重要的作用.

《数学分析原理》是数学系经典原版书籍,共分为十一章,涉及了实和复的数域、拓扑、序列与级数、连续性、微分、黎曼—斯蒂尔切斯积分、函数列与函数项级数、特殊函数、多元函数以及勒贝格理论等与数学分析相关的内容.

反常积分与无穷级数在惟质及敛散性判别法方面极其类似，无穷积分的许多结论几乎是无穷级数相应部分的逐字逐句的“搬家”.目前,许多文献对无穷积分和无穷级数进行了研究.如张千祥[1]等.研究了无穷积分与无穷级数的关系；关东月[2]，研究了无穷积分与无穷级数收敛的必要条件的不同之处。本文则主要给反常积分和无穷级数的一个等价关系，进行比较研究。

1.4 论文的主要结构

对反常积分和数项级数概念的定义、性质以及收敛判别法等方面列出了很多平行结论加以比较,对其中一些重要结论给出了证明,指出了它们之间可以相互转化.并根据这种转化关系,利用一类问题的解法得到另一类问题的求解.最后指出了它们之间存在的一些差别.

第1章从选题背景及意义、问题提出、相关文献综述、论文结构这四个方面来阐述,说明了该论题研究现状和成果.

第2章 从反常积分的收敛方法，通常所讲的反常积分和无穷级数在理论和

研究方法上联系.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化.

第3章 简单介绍无穷级数概念与各种收敛方法.

第4章 探讨了反常积分与无穷级数收敛关系，并对它们的判别法进行了对比研究.

第2章 反常积分的收敛方法

通常所讲的反常积分主要包含两类：无穷区间上的反常积分(或称无穷积分)和无界函数的反常积分(或称瑕积分).反常积分和无穷级数在理论和研究方法上几乎是平行的.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化,因此,只需要对其中一类反常积分进行讨论即可,以下主要以无穷积分为例,探析反常积分与无穷级数收敛性关系.

2.1非负函数无穷积分的收敛判别法

定理2.1[3]（比较判别法） 设定义在 ?a,???上的两个非负函数f和g都在任何有限区?a,u? 上可积,且满足

)x??a,???, f(x)?g(x,

则当

?????ag?x?dx收敛时

???af?x?dx必收敛(或者,当

???af?x?dx发散时

?

ag?x?dx必发散）.

推论2.1（比较判别法的极限形式） :

若f和g都在任何有限区间?a,u?上可积,当x??a,???时,f(x)?0,g(x)?0,f(x)?c,则有： g(x)??且limx??? (i)当0?c???时,?af?x?dx与?g?x?dx同敛态；

a????（ii）当c?0时,有?g?x?dx收敛可推知?a??af?x?dx也收敛；

(iii)当c???时,由?g?x?dx发散可推知?a????af?x?dx也发散.

??

特别地,如果选用?1dx作为比较对象,则我们有如下两个推论（称为柯西xp判别法）.

推论2.2（Cauchy判敛法）:

若f定义于x??a,??? ?a?0?,且在任何有限区间?a,u?上可积,则有：

??1??,x?a,??,且p?1时，f(x)dx收敛； p?ax(i)当0?f(x)? （ii）当f(x)?

??1??,x?a,??,且p?1时，f(x)dx发散. p?ax推论2.3（Cauchy判敛法的极限形式 ）:

若f是定义于?a,???上的非负函数,在任何有限区间?a,u?上可积,且 limxpf(x)??,则有

x??? （i）当p?1,0?????时， ?f(x)dx收敛；a?? (ii)当p?1,0?????时，?f(x)dx发散.

a?? 例2.1 讨论下列无穷积分的收敛性

??3 ?dxx?140

解：limx2?x?????x?arctanx?dx?,所以由推论3知?03x4?1收敛. 1?x322.2一般无穷积分的收敛判别法

这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法

定理2.2（狄利克雷判别法） 若F(u)??f(x)dx在区间上?a,???上有界 ,

aug(x)在?a,???上当x???时单调趋于0,则???af(x)g(x)dx收敛.

定理2.3（阿贝尔判别法） 若???a??af(x)dx收敛 ,g(x)在?a,???上单调有

界 , 则?

f(x)g(x)dx收敛.

例2.2 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛.

?? ?1sinxdx x解：令x?t2,则dx?2tdt,从而有???1 ??sint??sintsinxdx???2tdt?2?dt,而对任给u?1，11xt2tu1有?sintdt?cos1?cosu?2,而当x???时，单调趋于0，1x??sintsintsin2t故由狄利克雷判别法知?1tdt收敛，又t?t??dt1cos2t??,这里?发散.12t2t2t

所以2?即?????1??sinsintxdt发散，故?dx发散.1tx1sinx在?1，???是条件收敛的.x例2.3 讨论积分???adx (a>0) 的收敛性（p为实数） xp解：当p?1时,因

dx?axp=lnb?lna???（b???）

b所以???a1dx发散． x

当p?1时

?badx11?pb11?p1?px(b?a)=Ip(b) ==ap1?p1?pxp?1p?1.

??,?因为 limIp(b)=?a1?pb?????1?p,?所以积分

???aa1?pdx当p>1时收敛,值为；当p<1时发散 pp?1x

??

例2.4 讨论积分 ?e?a|x|dx (a>0)的收敛性．

??解：因?e?a|x|dx?lim(?0??b???1?axb1e0)?aa

同理?e?a|x|dx?????01a

所以?e?a|x|dx收敛,

?? 且?e?a|x|dx??e?a|x|dx???????0???0e?a|x|dx?2a

2.3本章小结

详细介绍了无穷积分比较判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,用不同的判别法来判断例题的敛散性.

第3章 无穷级数的收敛方法

3.1 无穷级数的概念

给定一个数列{un},对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 u1?u2?u3???un?? （3-1） 称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数）,其中un称为数项级数(1)的通项或一般项.数项级数(1)也常写作?un或简单写作?un.数项级数(1)的前n项

n?1?之和,记为

Sn??uk?u1?u2?u3???un , （3-2）

k?1n称它为数项级数(1)的第n个部分和,也简称部分和.

若数项级数?un的部分和数列?Sn?收敛于S 即（miln?1?n??,则称?un收Sn?S）

n?1?敛,称S为?un的和,记作

n?1? S?u1?u2?u3???un?? 或 S??un. 若?Sn?是发散数列,则称数项级数（3-1）发散.

3.2正项级数的一般判别方法

定理3.1（正向级数的单调有界判别）正项级数?un收敛的充要条件是：部

分和数列?Sn?有界,即存在某正数M,对一切正整数n有Sn?M.

定理3.2（正项级数的比较原则）设级数?un和?vn是两个正项级数,如果存在某正整数N,对一切n?N都有 un?vn,

则(i)若级数?un收敛,则级数?vn也收敛；

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