2007年高考数学试题分类汇编10 - 立体几何

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2007年高考数学试题汇编10——立体几何

一、选择题

1．（全国Ⅰ?理?7题）如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ D ）

A．

15 B．

25 C．

35 D．

45

2．（全国Ⅱ?理?7题）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（ A ）

A．

64 B．

104 C．

22 D．

32

3．（北京?理?3题）平面?∥平面?的一个充分条件是（ D ）

A．存在一条直线?，a∥?，a∥? B．存在一条直线a，a??，a∥? C．存在两条平行直线a，b，a??，b??，a∥?，b∥? D．存在两条异面直线a，b，a??，a∥?，b∥?

4．（安徽?理?2题）设l，m，n均为直线，其中m，n在平面?内，“l??”是l?m且“l?n”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要

条件

5．（安徽?理?8题）半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（ ）

A．arccos(?33) B．arccos(?63) C．arccos(?13) D．arccos(?14)

6．（福建?理?8题）已知m，n为两条不同的直线，?，?为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ D ）

A ．m??,n??,m//?,n//???//? B． ?//?,m??,n???m//n C．m??,m?n?n//? D． m//n,n???m?? 7．（福建?理?10题）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝C两点间的球面距离为（ B ）

，则A、

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A ．

?4 B．

?2 C ．

2?4 D．

2?2

8．（湖北?理?4题）平面?外有两条直线m和n，如果m和n在平面?内的射影分别是m1和

n1，给出下列四个命题：

①m1⊥n1?m⊥n； ②m⊥n?m1⊥n1；

③m1与n1相交?m与n相交或重合； ④m1与n1平行?m与n平行或重合； 其中不正确的命题个数是（ D ）

A.1 B.2 C.3 D.4

9．（湖南?理?8题）棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，

E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ D ）

A．

22 B．1 C．1?22 D．2

10．（江苏?理?4题）已知两条直线m,n，两个平面?,?，给出下面四个命题： ①m//n,m???n?? ②?//?,m??,n???m//n ③m//n,m//??n//? ④?//?,m//n,m???n?? 其中正确命题的序号是（ C ）

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 11．（江西?理?7题）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是．．（ D ）

A．点H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1 C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45°

12．（辽宁?理?7题）若m，n是两条不同的直线，?，?，?是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）

A．若m??，???，则m??

m∥n，B．若????m????n，则?∥?

C．若m??，m∥?，则??? D．若???，?⊥?，则???

13．（陕西?理?6题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）

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A．

334 B．

33 C．

34 D．

312

14．（四川?理?4题）如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ D ） ．．

A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1角为60°

15．(宁夏?理?8题) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ B ）

10 2010 20正视图

Ａ．

40003cm Ｂ．

320侧视图

80003320俯视图

3cm Ｃ．2000cm

Ｄ．4000cm3

16．（四川?理?6题）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是

?2，且三面角B-OA-C的大小为

?3，

则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（ C ）

A．

7?6 B．

5?4 C．

4?3 D．

3?2

17．（天津?理?6题）设a，b为两条直线，?，?为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ D ）

Ａ．若a，b与?所成的角相等，则a∥b Ｂ．若

a∥?，b∥?，?∥?，则a∥b

Ｃ．若a??，b??，a∥b，则?∥? Ｄ．若a??，b??，则a?b ???，18．（浙江?理?6题）若P是两条异面直线l,m外的任意一点，则（ B ）

A．过点P有且仅有一条直线与l,m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l,m都

垂直

C．过点P有且仅有一条直线与l,m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l,m都

异面

二、填空题

19．（全国Ⅰ?理?16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 23 。

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20．（全国Ⅱ?理?15题）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 2?42 cm。

2

21．（安徽?理?15题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）。 ．．

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。

22．（江苏?理?14题）正三棱锥P?ABC高为2，侧棱与底面所成角为45?，则点A到侧面

PBC的距离是 ．

23．（辽宁?理?15题）若一个底面边长为面上，则此球的体积为 ．

32，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个平

24．（上海?理?10题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面?,?与两直线l1,l2，又知l1,l2在?内的射影为s1,s2，在?内的射影为t1,t2。试写出s1,s2与

t1,t2满足的条件，使之一定能成为l1,l2是异面直线的充分条件 s1,s2平行，t1,t2相交 。

25．（四川?理?14题）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是

26．（天津?理?12题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 14π ．

27．（浙江?理?16题）已知点O在二面角??AB??的棱上，点P在?内，且?POB?45?。若对于?内异于O的任意一点Q，都有?POQ?45?，则二面角??AB??的大小是

____90____。

??6 ．

三、解答题

27．（全国Ⅰ?理?19题）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2

(Ⅰ)证明：SA⊥BC；

(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小； 解答：解法一：

2，SA＝SB＝

3。

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（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面

ABCD．

因为SA?SB，所以AO?BO，

又∠ABC?45?，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC， 故SA⊥AD，由AD?BC?22，SA?SO?1，SD?S 2，得 3，AO?11．

C △SAB的面积S1?O 1?1?2AB?SA??AB??2?2?122B

2．D?A

连结DB，得△DAB的面积S2?AB?ADsin135?2

设D到平面SAB的距离为h，由于VD?SAB?VS?ABD，得

13h?S1?13SO?S2，

解得h?2．

hSD2112211设SD与平面SAB所成角为?，则sin????．

所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin解法二：

2211．

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面

ABCD．

因为SA?SB，所以AO?BO．

又∠ABC?45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O?xyz， A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，????0?1)， 2，0)，S(0，0，1)，SA?(2，，?z S ???????????CB?(0，22，0)，SA?CB?0，所以SA⊥BC．

?22?（Ⅱ）取AB中点E，E?，，0?，

?2?2??G C D A O E B y

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△G2CD，并连结G1G2，使得平面G1AB⊥平面ABCD，G1G2∥AD，且G1G2?AD．连结BG2，如图2．

（I）证明：平面G1AB⊥平面G1ADG2；

（II）当AB?12，BC?25，EG?8时，求直线BG2和平面G1ADG2所成的角； 解：解法一：（Ｉ）因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB?平面ABCD?AB，

AD⊥AB，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面G1AB，又AD?平面G1ADG2，所以平面

G1AB⊥平面G1ADG2．

（II）过点B作BH⊥AG1于点H，连结G2H． 由（I）的结论可知，BH⊥平面G1ADG2， 所以?BG2H是BG2和平面G1ADG2所成的角．

因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB?平面ABCD?AB，G1E⊥AB，

G1E?平面G1AB，所以G1E⊥平面ABCD，故G1E⊥EF．

因为G1G2?AD，AD?EF，所以可在EF上取一点O，使EO?G1G2，又因为

G1G2∥AD∥EO，所以四边形G1EOG2是矩形．

由题设AB?12，BC?25，EG?8，则GF?17．所以G2O?G1E?8，G2F?17， OF?17?8?15，G1G2?EO?10．

22因为AD⊥平面G1AB，G1G2∥AD，所以G1G2⊥平面G1AB，从而G1G2⊥G1B．

2222222故BG2?BE?EG1?G1G2?6?8?10?200，BG2?102．

又AG1?6?8?10，由BH?AG1?G1E?AB得BH?228?1210?485．

故sin?BG2H?BHBG2?485?1102?12225．

即直线BG2与平面G1ADG2所成的角是arcsin12225．

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解法二：（I）因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB?平面ABCD?AB，G1E⊥AB， 所以G1E⊥平面ABCD，从而G1E⊥AD．又AG1E?平面G1AB，B⊥AD平面G1AB．因为AD?平面G1ADG2，所以平面G1AB⊥平面G1ADG2．

（II）由（I）可知，G1E⊥平面ABCD．故可以E为原点，分别以直线EB，EF，EG1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），

由题设AB?12，BC?25，EG?8，则EB?6，

EF?25，EG1?8，相关各点的坐标分别是A(?6， 0，0)，

，所以AD⊥z G1 A B E G2 D y

0，8)，B(6，D(?6，25，0)，G1(0，0，0)．

?????????所以AD?(0，25，0)，AG1?(6，0，8)．

?设n?(x，y，z)是平面G1ADG2的一个法向量，

O C F x

????????n?AD?0，?25y?0，由??????得?故可取n?(4，0，?3)． ?6x?8z?0??n?AG1?0.?过点G2作G2O⊥平面ABCD于点O，因为G2C?G2D，所以OC?OD，于是点O在y轴上．

因为G1G2∥AD，所以G1G2∥EF，G2O?G1E?8．

222 8)（0?m?25）设G2(0，m，，由17?8?(25?m)，解得m?10，

?????所以BG2?(0，10，8)?(6，0，0)?(?6，10，8)．

设BG2和平面G1ADG2所成的角是?，则

??????BG2?nsin?????????BG2?n|?24?24|6?10?8?4?322222?1222512225．

故直线BG2与平面G1ADG2所成的角是arcsin．

35．（江苏?理?18题）如图，已知ABCD?A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且

D1

A1

C1

B1

E A

F

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G B

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AE?FC1?1。

（I）求证：E,B,F,D1四点共面；（4分） （II）若点G在BC上，BG?面BCC1B1；

（Ⅲ）用?表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tan?。 36．（江西?理?20题）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。

（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；

（II）求二面角B—AC—A1的大小； （Ⅲ）求此几何体的体积； 解法一：

（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D． 则OD∥BB1∥CC1． 因为O是AB的中点， 所以OD?12(AA1?BB1)?3?CC1．

A 23，点M在BB1上，GM?BF，垂足为H，求证：EM?则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D．

C1D?平面C1B1A1且OC?平面C1B1A1，

O A2 H B C C2

A1 C1

D 则OC∥面A1B1C1．

（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2． 作BH?A2C2于H，连CH．

因为CC1?面BA2C2，所以CC1?BH，则BH?平面A1C． 又因为AB?5，BC?B1 2，AC?3?AB?BC?AC．

222所以BC?AC，根据三垂线定理知CH?AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角． 因为BH?22，所以sin∠BCH?BHBC?12，故∠BCH?30，

?即：所求二面角的大小为30．

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（3）因为BH?22，所以

VB?AA2C2C?13SAA2C2C?BH?1121?(1?2)?2??． 322212?2?1．

VA1B1C1?A2BC2?S△A1B1C1?BB1?所求几何体体积为

V?VB?AA2C2C?VA1B1C1?A2BC2?32．

解法二：

（1）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系，

则A(0，3?， 1，4)，B(0，0，2)，C(1，0，3)，因为O是AB的中点，所以O?0，，?2??????1?OC??1，?，0?．

2???易知，n?(0，0，1)是平面A1B1C1的一个法向量．

y ?????因为OC?n?0，OC?平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1． A1 ?1?A O z B C

x

C1

????????（2）AB?(0，?1，?2)，BC?(1，，01)， ??设m?(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则

B1 ??????????????y?2z?0则AB?m?0，BC?m?0得：?

?x?z?02?1)． 取x??z?1，m?(1，，?1，0)为平面AA1C1C的一个法向量． 显然，l?(1，????????m?l1?2?03l??????则cosm，，结合图形可知所求二面角为锐角．

22?6m?l?所以二面角B?AC?A1的大小是30．

（3）同解法一．

?37．（辽宁?理?18题）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90，AC?BC?a，

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D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M?DE?A为30?。

（I）证明：A1B1?C1D；

（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离。

S

A1 C1

M

B1 O C

A

D

E B

C

B A

38．（宁夏?理?19题）如图，在三棱锥S?ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，

?BAC?90°，O为BC中点．

（Ⅰ）证明：SO?平面ABC；（Ⅱ）求二面角A?SC?B的余弦值． 证明：

（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以

OA?OB?OC?22SA，且AO?BC，又△SBC为等腰三角形，故SO?BC，且

SO?22，从而OA?SO?SA． SA222所以△SOA为直角三角形，SO?AO．

又AO?BO?O．

所以SO?平面ABC． （Ⅱ）解法一：

取SC中点M，连结AM，OM，由（Ⅰ）知SO?OM?S，CA?M．

∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角．

由AO?BC，AO?SO，SO?BC?O得AO?平面SBC．

O，C?SAA得，

所以AO?OM，又AM?32SA，故sin?AMO?AOAM?23?63．

所以二面角A?SC?B的余弦值为解法二：

33．

z S 以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的

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x B A y

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