高中数学 两条直线的位置关系

9.2 两条直线的位置关系

一、填空题

1．已知直线l1经过两点(－2,3)，(－2，－1)，直线l2经过两点(2,1)， (a，－5)，且l1∥l2，则a＝________.

解析 由题意知直线l1的倾斜角为90°，而l1∥l2，所以直线l2的倾斜角也为90°，又直线l2经过两点(2,1)，(a，－5)，所以a＝2. 答案 2

2．若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有________个．

解析 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一1

点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－l2∥l3，则m的值不存在；若

62

三条直线相交于同一点，则m＝－1或，故实数m的取值最多有4个．

3答案 4

3．若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a满足的条件是________．

1

解析 当三条直线交于一点时，a＝；当x＋y＋1＝0与ax＋3y－5＝0平行时，

3

a＝3；当2x－y＋8＝0与ax＋3y－5＝0平行时，a＝－6. 1

故a满足的条件是a≠a≠－6且a≠3.

31

答案 a≠且a≠－6且a≠3

3

4．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离d＝________.

解析 由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0， 由点到直线的距离公式得点P(3,2)到直线l的距离为

|3＋2＋2|72

22

21＋1

答案

2

2

5．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为________．

解析 所求直线过点A且与OA垂直时满足条件，此时kOA＝2，故求直线的斜率11

为－，所以直线方程为y－2＝－x－1)，即x＋2y－5＝0.

22答案 x＋2y－5＝0

6．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是

①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.

其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)． 解析 记直线m的倾斜角是θ.由题意知直线l1、l2间的距离等于

2

2.又直2

线m被直线l1、l2所截得的线段的长是22，因此直线m与直线l1的夹角的正弦21值等于＝，直线m与直线l1的夹角是30°，又直线l1的倾斜角是45°，因

22此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤. 答案 ①⑤

7．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是________．

1＋m

，0 在直线x＋2y－2＝0上，把中点解析 由已知条件可知线段AB的中点 2 坐标代入直线方程，解得m＝3. 答案 3

8．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移一个单位后， 又回到原来的位置，那么直线l的斜率是________． 解析 设l的方程是y＝kx＋b，由已知y＝k(x＋3)＋b＋1

1

即y＝kx＋3k＋b＋1与y＝kx＋b重合，∴3k＋b＋1＝b.即k＝－31

答案 －

3

9. 已知直线l1：2x－3y＋10＝0，l2：3x＋4y－2＝0，则经过l1和l2的交点，且与直线l3：3x－2y＋4＝0垂直的直线l的方程为________． 2x-3y+10=0，

解析 解方程组

3x+4y-2=0，

3

得交点坐标(-2,2)．又由l⊥l3，且kl3=，

2

22

得到kl=-，所以直线l的方程为y-2=-，即2x+3y-2=0.

33答案 2x+3y-2=0

11

10．已知＋＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值

ab

为________．

解析 点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为

d＝

a＋2b

2ba 1135＋210 11 1

＋3＋＋ ＝ ≥(3＋22)＝＝(a＋2b) ，

ab 5 ab 555 5

22

时取等号． 2

当a2＝2b2且a＋b＝ab，即a＝1＋2，b＝答案

5＋210

5

11．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________． 解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积

S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝. 1答案

8

12．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是________．

解析 由条件，以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线方程为y＝2x，则与点(－4,2)重合的点即为求点(－4,2)关于直线y＝2x的对称点，求得点为(4，－2)． 答案 (4，－2)

121218

13．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________． 解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直－2－2线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab，又ab>0，故a<0，b<0，根据基本

xy

ab

ab

不等式ab＝－2(a＋b)≥4ab，从而ab≤0(舍去)ab≥4，故ab≥16， 即ab的最小值为16. 答案 16 二、解答题

14. 已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足下列条件的a，b的值．

(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；

(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．

解析 (1)∵l1⊥l2，

∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0，① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②得a＝2，b＝2.

a

(2)∵l1∥l2，∴a＋b(a－1)＝0，∴b＝，

1－a

故l1和l2的方程可分别表示为：

4a－1a

(a－1)x＋y＋＝0，(a－1)x＋y＋＝0，

a1－a

又原点到l1与l2的距离相等．

2 a－1 a

＝ ，∴a＝2或a＝ ∴4

3 a 1－a

2

∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

3

15．一条光线经过P(2,3)点，射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后穿过Q(1,1)． (1)求光线的入射方程； (2)求这条光线从P到Q的长度．

解析 (1)设点Q′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，由

kl＝－1，得kQQ′＝1.

所以QQ′所在直线方程为y－1＝1·(x－1)

即x－y＝0. x＋y＋1＝0，由

x－y＝0，

1 1

－. 解得l与QQ′的交点M的坐标为

2 2

1＋x′1

22

又因为M为QQ′的中点，由此得

1＋y′1

2 2 x′＝－2

解之得

y′＝－2

.所以Q′(－2，－2)．

设入射线与l交于点N，且P，N，Q′共线． 则P(2,3)，Q′(－2，－2)，得入射线方程为

y＋2x＋23＋2

＝2＋2

，即5x－4y＋2＝0.

(2)因为l是QQ′的垂直平分线，因而NQ＝NQ′. 所以PN＋NQ＝PN＋NQ′＝PQ′ 3＋22

＋2＋22

＝41，

即这条光线从P到Q41.

16．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解析 (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.

又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0. 故a＝2，b＝2.

(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在． ∴k1＝k2，即＝1－a.

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， 4

∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.

ab

b

2

故a＝2，b＝－2或a＝b＝2.

3

17．过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长AB＝2，求直线l的方程. 解析 设直线l的方程为y－2＝k(x－1)， y＝kx＋2－k，由

4x＋3y＋1＝0， y＝kx＋2－k，由

4x＋3y＋6＝0，∵AB2， ∴ 5 2 5k 2 ＋＝2， 3k＋4 3k＋4

3k－7－5k＋8

； 解得A

3k＋4 3k＋4 3k－128－10k . 解得B

3k＋4 3k＋4

整理，得7k2－48k－7＝0， 1

解得k1＝7或k2＝－7

因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.

18．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

解析 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－

a,2a－6)在l2上，

代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，

∴a＝4，即点A(4,0)在直线l上，又∵l过点P(0,1)． 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

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