01质点运动学习题解答

第一章 质点运动学

一 选择题

1． 下列说法中，正确的是 （ ） A. 一物体若具有恒定的速率，则没有变化的速度 B. 一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率 C. 一物体具有恒定的加速度，则其速度不可能为零

D. 一物体具有沿x轴正方向的加速度，其速度有可能沿x轴的负方向 解：答案是D。

2. 某质点作直线运动的运动方程为x?3t?5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 （ ） A. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 B. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 C. 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 D. 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 解：答案是D

3. 如图示，路灯距地面高为H，行人身高为h，若人以匀速v背向路灯行走，则人头影子移动的速度u为（ ）

H?hHhHv B. v C. v D. v HH?hHh解：答案是B 。 灯 设人头影子到灯杆的距离为x，则 A.

x?shH?，x?s， xHH?hu?dxHdsH??v dtH?hdtH?h人头 H h v 影

所以答案是B 。

s

选择题3图

4. 一质点的运动方程为 r?x(t)i?y(t)j，其中t1时刻的位矢为 r1?x(t1)i?y(t1)j。问质点在t1时刻的速率是 （ ）

A.

dr1dt B.

dr1dt C. drdt D.

t?t1(dx2dy)?()2dtdt

t?t1解 根据速率的概念，它等于速度矢量的模。

本题答案为D。

5. 一物体从某一确定高度以v0的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为vt ，那么它的运动时间是 （ ）

v?v0v-v0A. t B. t C.

g2gvt2?v02gvt2?v02 D.

2g解：答案是C 。

22vty?vt2?v0?gt，t?vt2?v0/g，所以答案是C 。

6. 质点作圆周运动时，下列说表述中正确的是 （ ） A. 速度方向一定指向切向，加速度方向一定指向圆心 B. 速度方向一定指向切向，加速度方向也一般指向切向 C. 由于法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零 D. 切向加速度仅由速率的变化引起 解 答案是D。

质点作圆周运动时，一般有切向加速度和法向加速度，总加速度是它们的矢量和，加速度的方向一般既不指向圆心也不指向切向。A、B和C显然都是错误的，而切向加速度是由速度大小的变化引起的，因此D是正确的。

7. 在做自由落体运动的升降机内，某人竖直上抛一弹性球，此人会观察到 （ ） A. 球匀减速地上升，达最大高度后匀加速下落 B. 球匀速地上升，与顶板碰撞后匀速下落 C. 球匀减速地上升，与顶板接触后停留在那里 D. 球匀减速地上升，达最大高度后停留在那里 解：答案是B。

升降机内的人与球之间没有相对加速度。所以答案是B。

8. 某人在由北向南行驶，速率为36 km ? h–1的汽车上，测得风从西边吹来，大小为10 m

? s–1，则实际风速大小和方向为：（ ）

A. 0 y –1

B. 14.14 m ? s，西南风 C. 10 m ? s–1，西南风 v ? x o D. 14.14 m ? s–1，西北风

解：答案是D。

如图所示，由题意可知，已知牵连速率v0为36 km ? h–1（即10 m v v 0–1–1–1? s），而相对速率v ?为10 m ? s，所以绝对速率v 为14.14 m ? s，

选择题8图

方向指向东南。所以答案是D。

二 填空题

1. 一质点沿x轴运动，运动方程为x=3+5t+6t2?t3 (SI单位)。则质点在t=0到t=1s过程中的平均速度v=______________m/s；质点在t=1s时刻的速度v=______________ m/s。

?xx1?x0??5?6?1?10 m/s。 ?t1?0dx质点在任意时刻的速度v??5?12t?3t2，因此质点在t=1s时刻的速度

dt解 根据平均速度定义,v?v(1)?5?12?1?3?12?14 m/s。

2. 两辆车A 和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并且由出发点开始计时，行驶的距离 x 与行驶时间 t 的函数关系式：xA?4t?t2，xB?2t2?2t3 (SI单位)，则：

(1) 它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是______________； (2) 出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是____________________； (3) 出发后，B 车相对A 车速度为零的时刻是__________________． 解：答案：（1）A ；（2）t = 1.19 s ；（3）t = 0.67 s （1）两车的速度分别为

vA?vB?dxA?4?2t dtdxB?4t?6t2 dt可得：t = 0时 vA?vB ，即刚开始时A车行驶在前面。 (2) 由xA?xB，可得t = 1.19 s (3) 由vA?vB，可得 t = 0.67 s

3. 一质点以初速v0，抛射角为?0作斜抛运动 ，则到达最高处的速度大小为_____，切向加速度大小为______，法向加速度大小为_______，合加速度大小为_______。

解：答案：v0cos??0； 0； g； g。

解 在最高点，垂直方向速度为零，只有水平速度，因此最高处的速度大小为v0cos?0。在最高点切向就是水平方向，法向就是竖直向下方向，因此切向加速度大小为0，法向加速度大小为g，合加速度大小为g。

4. 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度v的方向与水平方向夹角为30?。则物体在A点切向加速度大小为________m/s2。

vA30?填空题4图

答案：4.9

解 本题是斜抛运动，在运动过程中加速度始终不变，因此物体在A点的加速度大小就是重力加速度的大小g=9.8m/s2。切向加速度沿速度反方向，大小为gcos60?=4.9m/s2。

5. 一质点从静止出发沿半径为3 m的圆周运动，切向加速度大小为3 m ? s–2，则经过 s后它的总加速度恰好与半径成45°角。在此时间内质点经过的路程为 m，角位移为 rad，在1s末总加速度大小为 m ? s–2

解：答案为：1s； 1.5 m； 0.5 rad； 4.2 m ? s–2。 (1) 总加速度恰好与半径成45°角时a n= at ，根据

2v2(att)an???at

RRt?R?1 s at(2) s?1att2?1.5m 2ss?2π??0.5rad 2πRRv2(aτt)2an???3m?s?2，

RR2? a?at2?an?32m?s?2?4.2m?s?2

(3) ???(4) 1s末

6. 若地球的自转速率快到使得在赤道上的法向加速度为g，则一天的时间应为 小时。（地球半径R = 6.4?10 6m） 解：答案为：1.41小时。

简要提示：由：?2R?g，??g， RT?2π??2πR?5075s?1.41h g

7. 一列车以5.66 m ? s–2的加速度在平面直铁道上行驶，小球在车厢中自由下落，则小球相对于车厢中乘客的加速度大小为________ m ? s–2，加速度与铅垂直的夹角为_______。

解：答案为：11.3 m ? s–2；300。

简要提示：如图所示，小球相对于地面的加速度，即绝对加速度是g。列车的加速度，即牵连加速度a0，大小为a0 = 5.66 m ? s–2，所以小球的a0 相对加速度a? 为

30? a??g?a0

g a?

2得a? 的大小为： a??g2?a0?11.3m?s?2

与竖直方向的夹角?为????????????????sin?1(a0/a?)?30??

三 计算题

1. 半径为R的轮子在水平面上以角速度??作无滑动滚动时，轮边缘上任一质点的运动学方程为r?(?Rt?Rsin?t)i?(R?Rcos?t)j，其中i、j分别为x，y直角坐标轴上的单位矢量，试求该质点的速率和加速度的大小。

?x??Rt?Rsin?t解：质点运动的分量方程为?

y?R?Rcos?t??vx?dydx??R??Rcos?t，vy???Rsin?t dtdt?v?vx2?vy2?(?R??Rcos?t)2?(?Rsin?t)2??R(1?cos?t)2?sin2?tv?2?R?ax?sin?t 2dvydvx??2Rsin?t，ay???2Rcos?t dtdt?a?ax2?ay2??2R

2. 一质点运动的加速度为a?2ti?3t2j，初始速度与初始位移均为零，求该质点的运动学方程以及2s时该质点的速度。

11解：答案为：r?t3i?t4j；v?(4i?8j)m?s-1

34简要提示：已知质点运动的加速度，可得

质点的速度为 v?v0??adt?t2i?t3j

11运动方程为 r?r0??vdt?t3i?t4j

34所以，2秒时质点的速度为： v?(4i?8j)m?s-1

3. 一艘正以v0匀速直线行驶的舰艇，关闭发动机后，得到一个与舰速反向、大小与舰

速平方成正比的加速度，即dv/dt=?kv2，k为一常数，求证舰艇在行驶距离x时的速率为v=v0e?kx。

dv解：已知：??kv2

dtdvdvdxdv对上式分离变量??v，得到

dtdxdtdxdvv??kv2 dxdvdx??

kvxvdv两边积分 ?dx??? 0v0kv11v得 x??(lnv?lnv0)??ln

kkv0v?v0e?kx

4. 一质点初始时从原点开始以速度v0沿x轴正向运动，设运动过程中质点受到的加速

度a = ?kx 2，求质点在x轴正向前进的最远距离。

解：已知：x0 = 0，v0和a = ?kx 2，运用分离变量，得：

v两边积分： 得：

dv??kx2 vdv??kx2dx dxx0?vv0vdv ???kx2dx

122(v?v0)??kx3/3 22当v = 0时，质点前进的距离最远，即：xmax?(3v0/2k)1/3

5. 表面平直的山坡与水平面成30°，在山脚用炮轰山腰处的目标，已知v0 = 150 m ? s–1，炮筒与水平面成60°，求击中的目标离炮位有多远？

解：取坐标如图，以炮位为原点，目标为P，离炮位的距离为s。则有

y?xtan30°

?由轨迹方程 y?xtan60°联立解得

22v0cos260°gx2 y v0 s 60° 30° o P y x x 2v02cos260°(tan60°?tan30°)?1326m x?gy?xtan30°?765.6m

根据s?x2?y2或者s?y，均可以计算出s?1531.2m。 sin30?

6. 设一歼击机在高空A点时的速度沿水平方向，速率为1800 km/h，飞机在竖直平面上沿近似于圆弧轨道俯冲到点B，其速率变为2100 km/h，A到B的圆弧的半径为4.0km，所经历的时间为3.5s，该俯冲过程可视为匀变速率圆周运动。求飞机在B点加速度的大小，飞行员能承受这样的加速度吗？

解 vA?1800 km/h?500m/s，vB?2100 km/h?583 m/s。飞机在B点的加速度的法向加速度

2vB5832an???85.0 m/s2

R4000俯冲过程视为匀变速率圆周运动，故切向加速度可按照下式计算

vB?vA583-500??23.7 m/s2 t3.5因此飞机在B点的加速度大小

at?2a?an?at2?85.02?23.72m/s2?88.2 m/s2

上面计算出的加速度是重力加速度的9倍，这是飞机驾驶员最多可承受的极限加速度。

7. 一质点沿半径为R的圆周按规律s?v0t?作圆周运动的速率；（2）质点的加速度。

12（1）质点kt运动，v0，k都是常量.求：

2解（1）质点作圆周运动的速率

v?ds?v0?kt dt（2）切向加速度和法向加速度分别为

2v2(v0?kt)dv? at???k，an?RRdtat a 因此质点的加速度大小

2a?at2?an?k2?? v ? an (v0?kt)4R2

O R 如图所示，设其与速度方向的夹角为? ，则有

(v0?kt)2an??arctan?arctan[?]

atRk质点的加速度大小和方向都是随时间t变化。

8. 一质点在半径为0.10 m的圆周上运动，设t?0时质点位于极轴上，其角速度为???12 t 2 (SI单位)。(1) 求在t = 2.0s时质点的法向加速度、切向加速度和角位置。(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，角位置??值为多少？(3) t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

解：(1) 已知???12 t 2，所以2秒时法向加速度和切向加速度分别为：

an??2r?144rt4?230.4m?s?2 at?rd?/dt?24rt?4.8m?s?2

其角位置为： ???0???dt?4?23rad?32rad

0222(2) 由a?an，即： ?at2 at?a/2，可得： 3at2?an3(24rt)2?(144rt4)2， 解得：t3?0.29 s3

所以： ???0???dt?4t3?1.16rad

0t(3) 由at?an，可得 24rt?144rt4， 所以t?0.55s

9. 一架预警机A以vA=1000km ? h–1的速率相对于地面向南巡航，飞机中雷达员发现一目标B以vB=1200km ? h–1的速率相对于地面向东偏南30?方向飞行。求目标B相对于预警机A的速度。

解： 如图所示，已知飞机A的绝对速度vA和目标B的绝对速度vB ，所以目标B相对于飞机A的相对速度vBA为

vBA?vB?vA

y 所以

vBAx?vBx?vBcos300?1039.2km?h?1

vBx ?1vBAy?vA?vBy?vA?vBsin30?400km?h

因此，相对速度vBA的大小为

0vBy vA 30? x

vB ??vBA 22vBA?vBAx?vBAy?1039.22?4002?1113.6km?h?1

方向为东偏北??角，??的大小为??tan?1即相对速度vBA的方向为东偏北21?。

vBAyvBAx?tan?1400?21???

1039.2

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