大学物理学下册课后答案（袁艳红主编）

第9章 静电场

习 题

一 选择题

9-1 两个带有电量为2q等量异号电荷，形状相同的金属小球A和B相互作用力为f，它们之间的距离R远大于小球本身的直径，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相同的金属小球C去和小球A接触，再和B接触，然后移去，则球A和球B之间的作用力变为[ ]

(A)

答案：B

解析：经过碰撞后，球A、B带电量为B间的作用力变为

f。 8qqq，根据库伦定律F?122，可知球A、24??0rff3f (B) (C) f (D) 488169-2关于电场强度定义式E?F/q0，下列说法中哪个是正确的？[ ] (A) 电场场强E的大小与试验电荷q0的大小成反比 (B) 对场中某点，试验电荷受力F与q0的比值不因q0而变 (C) 试验电荷受力F的方向就是电场强度E的方向 (D) 若场中某点不放试验电荷q0，则F?0，从而E?0 答案：B

解析：根据电场强度的定义，E的大小与试验电荷无关，方向为试验电荷为正电荷时的受力方向。因而正确答案（B）

9-3 如图9-3所示，任一闭合曲面S内有一点电荷q，O 为S面上任一点，若将q由闭合曲面内的P点移到T点，且 OP=OT，那么[ ]

(A) 穿过S面的电场强度通量改变，O点的场强大小不变 (B) 穿过S面的电场强度通量改变，O点的场强大小改变

STOqP习题9-3图

(C) 穿过S面的电场强度通量不变，O点的场强大小改变 (D) 穿过S面的电场强度通量不变，O点的场强大小不变 答案：D

解析：根据高斯定理，穿过闭合曲面的电场强度通量正比于面内电荷量的代数和，曲面S内电荷量没变，因而电场强度通量不变。O点电场强度大小与所有电荷有关，由点电荷电场强度大小的计算公式E?q4??0r2，移动电荷后，由于OP=OT，即r没有变化，q没有变化，因而电场强度大小不变。因而正确答案（D）

9-4 在边长为a的正立方体中心有一个电量为q的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 [ ]

(A) q/?0 (B) q/2?0 (C) q/4?0 (D) q/6?0 答案：D

解析：根据电场的高斯定理，通过该立方体的电场强度通量为q/?0，并且电荷位于正立方体中心，因此通过立方体六个面的电场强度通量大小相等。因而通过该立方体任一面的电场强度通量为q/6?0，答案（D）

9-5 在静电场中，高斯定理告诉我们[ ]

(A) 高斯面内不包围电荷，则面上各点E的量值处处为零 (B) 高斯面上各点的E只与面内电荷有关，但与面内电荷分布无关 (C) 穿过高斯面的E通量，仅与面内电荷有关，而与面内电荷分布无关 (D) 穿过高斯面的E通量为零，则面上各点的E必为零 答案：C

解析：高斯定理表明通过闭合曲面的电场强度通量正比于曲面内部电荷量的代数和，与面内电荷分布无关；电场强度E为矢量，却与空间中所有电荷大小与分布均有关。故答案（C）

9-6 两个均匀带电的同心球面，半径分别为R1、R2(R1

OR1R2EEEErOR1R2rOR1R2rOR1R2r (A) (B) (C) (D)

习题9-6图

答案：D

解析：根据高斯定理

?SEdS??qii?0，可得同心球面的电场分布为

?0?r?R1,E?0?Q?E?，作E-r图可得答案（D）。 ?R1?r?R2,24??0r??E?0?r?R2,9-7如图9-7所示，在匀强电场中，将一负电荷从A移动到B，则[ ] (A) 电场力做正功，负电荷的电势能减少 (B) 电场力做正功，负电荷的电势能增加 (C) 电场力做负功，负电荷的电势能减少 (D) 电场力做负功，负电荷的电势能增加 答案：D

解析：负电荷受力方向与电场强度方向相反，将负电荷从A移动到B，受力方向与位移方向家教大于90°，因此电场力作负功；同时，电场力为保守力，保守力作功电势能的增量的负值，因此负电荷的电势能增加。答案（D）

9-8 如图9-8所示，在点电荷+q的电场中，若取图中P点为电势零点，则M点的电势为[ ]

（A）

q4??0a?q4??0a习题9-7图 A B E +q (B)

q8??0a?q8??0aP M a

习题9-8图

a (C) 答案:D

(D)

解析：点电荷+q在P点和M点的电势分别为VPq?qq4??0a?,VMq?qq4??02a?q8??0a，取P点

为电势零点，则M点的电势为VM?VMq?VPq?4??02a4??0a?。

9-9 真空中两块互相平行的无限大均匀带电平板，两板间的距离为d，其中一块的电荷面密度为??，另一块的电荷面密度为?2?，则两板间的电势差为[ ]

(A) 0 (B) 答案：B

??3? d (C) d (D) 2?0?02?0解析：根据高斯定理知电荷面密度为??的无限大平板在空间激发的电场强度为

E???er，结合电势差的定义即可知电势差为 d。 2?02?09-10 关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，正确的是[ ] (A) 在电场中，电场强度为零的点，电势必为零 (B) 在电场中，电势为零的点，电场强度必为零

(C) 在电势梯度不变的空间，电场强度处处相等 (D) 在电场强度不变的空间，电势处处相等 答案：C

解析：电场强度与电势之间的关系为电场强度在任意方向的分量，等于电势在该方向上的变化率的负值。因而答案（C）

二 填空题

9-11 点电荷q1、q2、q3、q4在真空中的分布如图9-11所示。图中S为闭合曲面，则通过该闭合曲面的电场强度通量?E?dS=_______ SS答案：

q2?q4?0

??q1q2?q4?q3解析：根据电场的高斯定理

?SEdS??qii?0，通过闭合

习题9-11图

曲面的电场强度通量为

q2?q4?0。

9-12 如图9-12所示，真空中两块平行无限大均匀带电平面，其电荷面密度分别为??和?2?，则A、B、C三个区域的电场强度分别为EA= ；EB?2? ?? = ；EC= 。（设方向向右为正）。

A B C 答案：

?3??；；? 2?02?02?0解析：根据高斯定理知电荷面密度为??的无限大平板在空间激发的电场强度为

E??er，结合电场强度的叠加原理E??Ei，可知A、B、C三个区域的电场2?0i?3??，，?。 2?02?02?0强度分别

9-13 无限大的均匀带电平板放入均匀电场中，得到如图9-13所示的电场，(E0和?0为已知值)则该带电平板的电荷面密度?=____________，均匀电场的电s场强度大小为___________。

3答案：?0E0；E0

2 E02E0 解析：根据图中所示电场强度方向可知，均匀 电场方向向右，平板带正电。根据高斯定理知 电荷面密度为??的无限大平板在空间激发的 电场强度大小为E?习题9-13图

?，结合电场强度叠加原理E??Ei，可解得带电平板的2?0i3电荷面密度?=?0E0，均匀电场的电场强度大小为E0。

29-14 两根无限长细直导线 ，相互平行相距为d，电荷线密度分别为??和??，则每单位长度上导线之间相互作用力大小为________，力的方向为________。

?2答案：；垂直导线，相互吸引的方向

2??0d解析：根据高斯定理知线密度为??的无限长直导线在空间激发的电场强度大小为E??，方向垂直直导线方向，则每单位长度上导线之间相互作用力大小2??0d?2为F?qE?，方向垂直导线，相互吸引的方向。

2??0d9-15 如图9-15所示是静电场中的一簇电 力线,则A、B两点中电场强度EA EB，电 A B 习题9-15图

势VA VB（填“>”、“=”或“<”）。 答案：<；>

解析：电场线的疏密表示场强的大小，因此EA < EB。若将正电荷+q从点A移动到点B，则电场力作正功WAB?q(VA?VB)?0，因此VA > VB。

9-16 正负电荷放置如图9-16所示，那么正四边形对角线中心处，电场强度

为零的是图_________,电场强度和电势都为零的是图__________，电场强度为零，电势不为零的是图___________。 -q q -· ·· +q · +q · ··+q · ·+q · ·-q · ·-q · ·-q · ·

·(A) ·· +q · +q ·(B) ·· +q · -q ·(C) ··q + ·-q ·(D) ··-q 习题9-16图

答案：(B)、(C)、（D）；(C)；(B)、（D）

解析：电场强度叠加符合矢量叠加原理，电势叠加为代数叠加。根据电场强度和电势叠加原理，电场强度为零的是图(B)、(C)、（D）；电场强度和电势都为零的是图(C)；电场强度为零，电势不为零的是图(B)、（D）。

9-17 如图9-17所示，一电量为q??5?10?5 C的点电荷在电场力作用力下，从P点移到Q点电场力对它做功W?3?10?2 J,则P、Q两点电势高的是_________，q高___________伏。 答案：Q点；600

解析：电场力作功为WPQ?q(VP?VQ)?3?10 J， 因为q<0，因此VP?VQ，Q点电势高。VQ?VP?P点电势高600V。

9-18 如图9-18所示，一带电量为q0的试验电荷，在点电荷Q的电场中，沿半径为R的四分之三圆弧形轨道abc从a移动到c电场力所作的功W1?2 ·P

·Q

习题9-17图

WQPq?600V。因此Q点电势比

R c =_____________，再从c移动到无限远电场力所作的功W2?_______________。 答案：0；

Qq0 4??0RQ4??0R解析：电场力作功为W1?q0(Va?Vc)，因为Va?Vc?Q4??0RQq0。 4??0R，因此W1?0。

W2?q0(Vc?V?)?q0(?0)?9-19 有一均匀带电球面，带电量为Q，半径为R，则球心O的电场强度大小E= ，电势V= 。 答案：0；

Q4??0R

解析：根据高斯定理

?SEdS??qii?0，可得均匀带电球面的电场分布为

E1?0?0?r?R,?，因此球心O的电场强度大小为0。电势Q?r?R,E?2?4??0r2?V??Edl??E1dr??E2dr?O0R?R?Q4??0R。

9-20 说明下列各式的物理意义： (1) (2) (3)

?baE?dl ；

E?dS ；

?S?E?dl?0 。

l答案：（1）单位时间正电荷在电场中从a点移动到b点电场力所做的功（或ab两点间的电势差）；（2）通过闭合曲面S的电场强度通量；（3）静电场电场强度的环流为零，表明静电场是保守场。

三 计算题

9-21四个点电荷到坐标原点的距离均为d，如图9-21所示，求坐标原点处的电场强度。

2q解：EA?i

4??0d22qEB??j 24??0d11y +2q B C A +2q O -q D -q x

EC?qi

4??0d2qj 24??0d11习题9-21图

ED??EO?EA?EB?EC?ED?3q3qi?j

4??0d24??0d2

9-22如图9-22所示，有一均匀带电细棒，长为l，电量为Q，求在棒的延长线，且离棒右端为a处的O点电场强度。 解：如图建立坐标系，则dq在O点 的电场强度为：

习题9-22图

x ??dq ?????l O a X Qdx1dq1QdxldE?i?i?i 4??0(a?l?x)24??0(a?l?x)24??0l(a?l?x)2dxQ1QE??dE?i?i?i, 方向向右 2?04??0l(a?l?x)4??0la?l?x04??0a(a?l)lQl

9-23如图9-23所示，一电场强度为E的匀强电场，E的方向与一半径为R的半球面对称轴平行，试求通过此半球面的电场强度通量。 解：通过半球面的电场线必通过底面

??e?E?S?E?R2

E

习题9-23图

9-24设在半径为R的球体内电荷均匀分布，电荷体密度为?，求带电球内外的电场强度分布。

解：以O点为球心，作球面S为高斯面，半径为r

根据电场高斯定理?EdS?S1?0?q

ii4?r3?当0?r?R时， E1?4?r?er

3?02? E1??rer 3?02r4?R3? 当r?R时， E2?4?r?3?0 e?R3 ? E2?er

3?0r2

9-25图9-25为两带电同心球面，已知：R1?0.10 m,R2?0.30 m，（1）r1?0.05 m，（2）r2?0.20 m,（3）Q1?1.0?10?8 C，Q2?1.5?10?8 C。求：

Q2 r3?0.50 m处的电场强度大小。

解：对称性分析：以球心为圆心，相同r处的电场强度 大小相同，方向沿半径向外。

以球心为圆心，作球面S为高斯面，半径为r 根据电场高斯定理?EdS?SQ1 R1 R2 1?0?q

ii习题9-25图

（1）以r1为半径作高斯面， E1?4?r12?0

? E1?0

（2）以r2为半径作高斯面， E2?4?r22?Q1?0

? E2?Q1?2250N/C

4??0r22（3）以r3为半径作高斯面， E3?4?r32?Q1?Q2?0

? E3?

Q1?Q2?900N/C

4??0r329-26 两个带等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R1

根据电场高斯定理?EdS?SR1 R2 1?0?q

ii习题9-26图

当0?r?R1时， E1?2?rl?0 ? E1?0

当R1?r?R2时， E2?2?rl??l? ? E2? ?02??0r当r?R2时， E3?2?rl??l??l?0 ? E3?0 ?0

9-27 如图9-27所示，AO相距2R，弧BCD是以O为圆心、R为半径的半圆。A点有电荷+q，O点有电荷-3q。（1）求B点和D点的电势；（2）将电荷+Q从B点沿弧BCD移到D点，电场力做的功为多少？（3）若将电荷-Q从D点沿直线

DE移到无限远处去则外力所做的功又为多少？ C E 解：（1）A在B点的电势为：VB1?q4??0Rq

A R B R O D 600

A在D点的电势为：VD1?4??03R?3q 4??0R

习题9-27图

O在B点的电势为：VB2?

O在B点的电势为：VD2?q2??0R2q3??0R?3q 4??0R?VB?VB1?VB2??

?VD?VD1?VD2??

（2）WBCD?Q?VB?VD??qQ 6??0R2qQ 3??0R（3）电场力做功：WD???Q?VD?V???2qQ 3??0R 外力做功：W??WD???

9-28 求第9-22题中，O点处的电势。 解：dq在O点的电势为：

dV?dqQdx ?4??0(a?l?x)4??0l(a?l?x)x ??dq ?????l 习题9-28图

O a X dxQQa?lV??dV???ln(a?x?l)?ln

4??0l?0(a?l?x)24??0l4??la00lQl

9-29 在真空中，有一电荷为Q，半径为R的均匀带电球壳，其电荷是均匀分布的。试求：(1)球壳外两点间的电势差；(2)球壳内两点间的电势差；(3)球壳外任意点的电势；(4)球壳内任意点的电势。 解：根据高斯定理：

r?R，E1?0

r?R，E2?qe 2r4 π?0rrBQrBdrQ11（1）VA?VB??E2?dr?e?e?(?) rrrA4 π?0?rAr24 π?0rArB（2）r?R,（3）r?R,rVA?VB??BE1?dr?0

rA令rB??,V??0

??QQV外(r)??E2?dr??dr?

rr4 π?0r24 π?0r（4）r?R,

9-30 两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）Q2 空间各区域的电势分布；（2）两球面上的电势差。 解：根据高斯定理，电场强度分布为：

Q1 Q1 24 π?0r习题9-25图

R?Q V内(r)??E1?dr??E2?dr?rR4 π?0RR1 r?R1，E1?0

R1?r?R2，E2?R2

r?R2，E3?R1Q1?Q2

4 π?0r2R2（1）r?R1，V1??E1dr??rR1E2dr??E3dr?R2??1?Q1Q2????

4??0?R1R2?R1?r?R2，V2???R2rE2dr??E3dr?R2?Q1Q2????

4??0?rR2?1r?R2，V3??E3dr?rQ1?Q2

4??0r（2）UAB??

R2R1Q1?11?E2dr????

4??0?R1R2?9-31 图9-31为一均匀带电球层，其电荷体密度为?，球层内外表面半径分别为R1、R2，求图中A点的电势。 解：根据高斯定理，电场强度分布为：

R2 A O R1 r?R1，E1?0

习题9-31图

R1?r?R2，E2??33 r?R??123?0r

? r?R2，E3?R1?R3?R13? 2?23?0rR2VA??Edr??E1dr??rArAR1E2dr??E3dr?R2??R22?R12? ?2?0

9-32 两个很长的同轴圆柱面，内外半径分别为R1?3.0?10?2 m、R2=0.1 m，带有等量异号电荷，两圆柱面的电势差为450 V，求：(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷？(2)距离轴心0.05 m处的电场强度的大小。 解：（1）设圆柱面单位长度上的电荷为λ

根据电场的高斯定理，两圆柱面间的电场强度为：

E??(R1?r?R2) 2 π?0rR2R2U??Edr??R1R1R??dr?ln2?450V 2 π?0r2 π?0R1带入数据，解得??2.1?10?8C/m （2）R1?r?0.05m?R2

Er?0.05m

?2.1?10?8??V/m?7550V/m ?122 π?0r2?π?8.8542?10?0.059-33 一圆盘半径为R，圆盘均匀带电，电荷面密度为σ，如图9-33所示 求：(1)轴线上的电势分布；(2) 根据电场强度与电势梯度的关系求轴线上电场强度分σ R 布。 r2?x2解：（1）如图所示，以O点为圆心，取半径 为r的环形圆盘作为微元，宽度为dr。 则此微元所带电荷为??2?rdr。 其在轴线上一点的电势为：dV?O x r x 习题9-33图

??2?rdr4??0r?x22 带电圆盘轴线上的电势为：

V??dV??R??2?rdr4??0r2?x20??Rrdr?22?(R?x?x) ?2202?02?0r?x（2）电场强度方向沿x轴，则

E??dVdV?xi??i?(1?)i

22dldx2?0R?x

第10章 静电场中的导体和电介质

习 题

一 选择题

10-1当一个带电导体达到静电平衡时，[ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高

(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高

(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 答案：D

解析：处于静电平衡的导体是一个等势体，表面是一个等势面，并且导体内部与表面的电势相等。

10-2将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，导体B的电势将[ ]

(A) 升高 (B)降低 (C)不会发生变化 (D)无法确定 答案：A

解析：不带电的导体B相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势

将高于无穷远处，因而正确答案为（A）。

10-3将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N，在N的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N的左端接地（如图10-3所示），则[ ] (A) N上的负电荷入地 (B) N上的正电荷入地 (C) N上的所有电荷入地 (D) N上所有的感应电荷入地 答案：A

解析：带负电的带电体M移到不带电的导体N附近的近端感应正电荷；在远端感应负电荷，不带电导体的电势将低于无穷远处，因此导体N的电势小于0，即小于大地的电势，因而大地的正电荷将流入导体N，或导体N的负电荷入地。故正确答案为（A）。

10-4 如图10-4所示，将一个电荷量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d。设无穷远 处为零电势，则在导体球球心O点有[ ] (A) E=0，V?q4??0d (B) E?习题10-3图

M ? ?????? ? ? ?? NR O q4??0dq4??0R

dq q4??0dq4??0d22，V?习题10-4图

(C) E=0，V=0 (D) E?答案：A

， V?

解析：导体球处于静电平衡状态，导体球内部电场强度为零，因此E=0。导体球球心O点的电势为点电荷q及感应电荷所产生的电势叠加。感应电荷分布于导体球表面，至球心O的距离皆为半径R，并且感应电荷量代数和?q为0，因此V感应电荷??q4??0Rq。

?0。由此在导体球球心O点的电势等于点电荷q在O点处的

电势V?4??0d10-5 如图10-5所示，两个同心球壳。内球壳半径为R1，均匀带有电量Q；

外球壳半径为R2，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接．设地为电势零点，则在内球壳里面，距离球心为r处的P点的电场强度大小及电势分别为[ ]

(A) E=0，V?Q4??0R1

Q (B) E=0，V?Q4??0rQ4??0r22Q4??0(11?) R1R2Q

R1 r P R2 (C) E?，V?4??0rQ习题10-5图

(D) E?

， V?4??0R1答案：B

解析：根据静电场的高斯定理

?SEdS??qii?0，同心球壳的电场强度大小分布为

E1?0?0?r?R1,?，则点P的电场强度为E=0，电势Q?R?r?R,E?22?14??0r2?V??E1dr??E2dr?0R1R1R2Q4??0(11?)。 R1R210-6 极板间为真空的平行板电容器，充电后与电源断开，将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列说法正确的是[ ]

(A) 电容器极板上电荷面密度增加 (B) 电容器极板间的电场强度增加

(C) 电容器的电容不变 (D) 电容器极板间的电势差增大 答案：D

解析：电容器极板上电荷面密度??Q，平板电荷量及面积没有变化，因此电容S器极板上电荷面密度不变，并且极板间的电场强度E??，电容器极板间的电场?0强度不变。平行极板电容C??0S，两极板间距离增加，则电容减小。电容器极d板间的电势差U?Ed，电场强度E不变，距离d增大，则电势差增大。因而正确答案为（D）。

10-7 在静电场中，作闭合曲面S，若有?D?dS?0（式中D为电位移矢量），

S则S面内必定[ ]

(A) 既无自由电荷，也无束缚电荷 (B) 没有自由电荷

(C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 (D) 自由电荷的代数和为零 答案：D

解析：根据有电介质时的高斯定理和为零。

10-8 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是[ ]

(A) 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1?r倍

(B) 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1?r倍 (C) 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1?r倍

(D) 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的?r倍 答案：A

解析：各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度的1?r倍。

10-9把一空气平行板电容器，充电后与电源保持连接。然后在两极板之间充满相对电容率为?r的各向同性均匀电介质，则[ ]

(A) 极板间电场强度增加 (B) 极板间电场强度减小 (C) 极板间电势差增加 (D) 电容器静电能增加 答案：D

解析：平行板电容器充电后与电源保持连接，则极板间电势差保持不变，真空中

?SD?dS??Qi，可知S面内自由电荷的代数

i电场强度E?U不变化，因而各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度的d11?r倍，也不变化。各向同性介质中的电容器静电能W??r?0E2V，相对于真

2空中电容器静电能有所增加。故正确答案为（D）。

10-10 C1和C2两空气电容器并联起来接上电源充电。然后将电源断开，再把一电介质板插入C1中，如图10-10所示，则[ ]

(A) C1和C2极板上电荷都不变

(B) C1极板上电荷增大，C2极板上电荷不变 (C) C1极板上电荷增大，C2极板上电荷减少

习题10-10图

C1C2 (D) C1极板上电荷减少，C2极板上电荷增大

答案：C

解析：C1和C2为并联，则电容器两端电势差相等。C1中插入一电介质，则C1的电容增大（C??rC0），C1极板上电荷增大（Q?CU）。由于电源断开，C1和C2两端总电荷量不变，因此C1极板上电荷减少。故正确答案为（C）。

二 填空题

10-11任意形状的导体，其电荷面密度分布为σ（x,y,z），则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E（x,y,z）= ，其方向 。 答案：

?(x,y,z)；垂直导体表面 ?0解析：处于静电平衡的导体表面附近的电场强度正比于电荷面密度，因而

E(x,y,z)??(x,y,z)，方向垂直于导体表面。 ?010-12 如图10-12所示，同心导体球壳A和B，半径分别为R1、R2，分别带电量q、Q，则内球A的电势VA=_____________；若把内球A接地，则内球A

Q q 所带电量qA＝____________。

R1 ? A R2 B 答案：

q4??0R1?Q4??0R2；?R1Q R2解析：根据静电场的高斯定理

?SEdS??qii?0，

??E1?0?0?r?R1,?qE2?同心球壳的电场强度大小分布为?R1?r?R2,，则内球A的电势24??0r??q?Qr?R,E??234??0r2?VA??E1dr??E2dr??E3dr?0R1R2R1R2?Q4??0(qQ?)。若把内球A接地，则内球A的R1R2电势VA?Q4??0(qAQR?)?0，解得qA??1Q。 R1R2R210-13 如图10-13所示，在真空中将半径为R的金属球接地，在与球心O相距为r ( r>R )处放置一点电荷 –q，不计接地导线上电荷的影响，则金属球表面上的感应电荷总量为 ，金属球表面电势为 。 R答案：q；0

rR r 习题10-13图

-q 解析：金属球接地，则金属球的电势为0。金属球 球心电势为V?V?q?V感应??q4??0r?Q感应?0， 4??0R解得，感应电荷总量为Q感应?相等，电势为0。

Rq。金属球表面是一个等势面，电势与地的电势r10-14 两带电导体球半径分别为R和r(R>r)，它们相距很远，用一根导线连接起来，则两球表面的电荷面密度之比?R:?r= 。 答案：

r R解析：导体表面的电荷面密度反比与曲率半径，因此?R:?r?r:R。

10-15 对下列问题选取“增大”、“减小”、“不变”作答。（1）平行板电容器

保持板上电量不变（即充电后切断电源）。现在使两板的距离增大，则：两板间的电势差_______,电场强度__________,电容__________，电场能量__________。（2）如果保持两板间电压不变（即充电后与电源连接着）。则两板间距离增大时，两板间的电场强度__________，电容________，电场能量__________。 答案：（1）增大，不变，减小，增大；（2）减小，减小，减小

解析：（1）保持板上电量Q不变，使两板的距离d增大。电容器极板上电荷面密度??Q，平板电荷量及面积没有变化，因此电容器极板上电荷面密度不变，S并且极板间的电场强度E??，电容器极板间的电场强度不变。电容器极板间的?0电势差U?Ed，电场强度E不变，距离d增大，则电势差增大。平行极板电容

Q2SC??0，两极板间距离增加，则电容减小。电场能量We?，电荷量Q不变，

d2CC减小，则电场能量We增大。

（2）保持两板间电压U不变，使两板的距离d增大。则极板间的电场强度E?电容器极板间的电场强度减小。平行极板电容C??0U，dS，两极板间距离增加，则d1电容减小。电场能量We?CU2，电压U不变，C减小，则电场能量We减小。

210-16一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质。已知相对电容率为?r，若极板上的自由电荷面密度为?，则介质中电位移的大小D= ，电场强度的大小E= ，电场的能量密度we= 。

?2?答案：?；；

?0?r2?0?r解析：根据电介质中的高斯定理

?SDdS?q，得电位移矢量的大小D??。由于

D??0?rE，因此电场强度的大小E??。电场的能量密度?0?r?2?2。 we?E?（）?22?0?r2?0?r?2?0?r10-17 在电容为C0的空气平行板电容器中，平行地插入一厚度为两极板距离

一半的金属板，则电容器的电容C= 。 答案：2C0

解析：插入金属板后，电容C0成为两电容C1和C2串联，且C1?C2??0S?4C0。1d4因此等效电容为C?111?C1C2?2C0。

10-18一平板电容器，两极板间是真空时，电容为C0，充电到电压为u0时，断开电源，然后将极板间充满相对电容率为?r的均匀电介质则此时电容C＝__________，电场能量 We?___________。

C0u02答案：?rC0；

2?r解析：电容器的电容仅与电容器的大小、形状及填充的电介质有关，将极板间充满相对电容率为?r的均匀电介质时，电容为C=?rC0。断开电源后，两极板上的

Q2(C0u0)2C0u02电荷量不变化，因此电场能量We?。 ??2C2?rC02?r10-19 一平行板电容器两极板间距离为d，电荷面密度为?0，将一块相对电容率为?r?2,厚度为

d均匀电介质插入到两极板间(见图10-19)，则电容器的两2+ + + + + 极板间电压是插入前的_________倍，电容器的电容是插入前的__________倍，电容器储存的电能是插入前的__________倍。

343答案：；；

434解析：电介质内部的电场强度E?E0?r?E0， 2d 2d ? ? ? ? ? 习题10-19图

dd3?E0?E0d，插入前两极板间电压为2243QU?E0d，因此电容器的两极板间电压是插入前的倍。电容器的电容C?，

4U4电荷量Q不变，电容与电压U成反比，因此，电容器的电容是插入前的倍。

3插入电介质后两极板间电压U?E1电容器储存的电能We?QU，与电压U成正比，因此，电容器储存的电能是插

23入前的倍。

4

三 计算题

10-20 两块大金属板A和B，面积均为S，两块板平行地放置，间距为d ，d远小于板的尺度。如图10-20所示，现使A板带电QA，B板带电QB 。在忽略边缘效应的情况下，试求：

（1）A、B两板各个表面上的电量； （2）A、B两板的电势差；

（3）若B板外侧接地，A、B两板各个表面上的电量又是如何分布？两板的电势差是多少？

解：（1）两板处于静电平衡，则两板内部电场强度为0，则

A B ??A:B:??1??2??3??4?/2?0?0??1??2??3??4?/2?0?0S??1??2??QAS??3??4??QB

d

QA QB

习题10-20图

?1??4?(QA?QB)/2S?Q1?Q4?(QA?QB)/2?2???3?(QA?QB)/2S

Q2?(QA?QB)/2Q3?(QB?QA)/2

（2）E?E1?E2?E3?E4??1?2?3?4QA?QB ????2?02?02?02?02?0S UAB?E?d?QA?QBd 2?0S（3）B板外侧接地，则?4?0

??1??2??3?/2?0?0??1??2??3?/2?0?0

S(?1??2)?QA?Q1?Q4?0E?Q2?QAQ3??QA

QAd ?0S?2QA?2?0?0S?UAB?E?d?

10-21 如图10-21所示，半径为R1?0.01 m的金属球，带电量Q1?1?10?10 C，球外套一内外半径分别R2?3?10?2 m和R3?4?10?2 m的同心金属球壳，壳上带电Q2?11?10?10 C，求：(1)金属球和金属球壳的电势差；(2)若用导线把球和球壳连接在一起，这时球和球壳的电势各为多少？ 解：根据高斯定理，电场强度分布为：

R3 R2 R1?r?R2,r?R3,(1) UAB???E1?Q14??0r2

Q1 OR1 Q2 习题10-21图

R2R1Q?Q2E2?14??0r2R2R1E1dr?Q14??0?Q1?111?dr?????60V 2r4??0?R1R2?Q1?Q21dr??270V r24??0R32Q?Q2(2) VB??E2dr?1R34??0 VA?VB?270V

??R3

10-22 半径为R0的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为R1和R2，相对电容率为?r，如图10-22所示，求：（1）空间的电位移和电场强度分布；（2）介质内的表面上的极化电荷面密度。 解：（1）导体球处于静电平衡状态，电荷分布在球的 表面，球内部没有电荷

根据有电介质的高斯定理??DdS??Qi，

SiR0R1R2r?R0时，D1?4?r2?0， ?D1?0

习题10-22图

E1?D?0?r?0 Q 24?rR0?r?R1时，D2?4?r2?Q， ?D2?E2?D2?0?r?Q4??0r2(?r?1)

R1?r?R2时，D3?4?r2?Q， ?D3?E3?Q 24?rD2?0?r?Q4??0?rr2

r?R2时，D4?4?r2?Q， ?D4?Q 4?r2E4?D4?0?r?Q4??0r2(?r?1)

因此，空间的电位移和电场强度分布为：

?0(r?R0)?Q?(R0?r?R1)24??r??0(r?R0)0??， E??Q D??Q(R?r?R)(r?R0)12?4???r2??4?r20r??Q?4??r2(r?R2)0?（2）介质内表面（r?R1）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相反，因此，其面密度为：

?1??(?r?1)?0E3(R1)??r?1?Q?r?1Q ??22?r4?R1?r4?R1介质外表面（r?R2）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相同，因此，其面密度为：

?2??(?r?1)?0E3(R2)?

?r?1Q?r?1Q ?22?r4?R2?r4?R210-23 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，求地

球—电离层系统的电容。（设地球和电离层之间为真空） 解：已知R地球?6371 km，d?100 km，R电离?R地球+d

设地球-电离层分别带点±Q

则根据高斯定律，地球-电离层间的电场强度为：E?R电离Q4??0r2

U??R地球Edr?Q4??0?R电离R地球1Qdr?r24??0?11???R?地球R电离??60V ???C?

R?RQ?4??0地球电离?4.58?10?2F UR电离?R地球10-24 如图10-24所示，两根平行无限长均匀带电直导线，相距为d，导线半径都是R（R??d）。导线上电荷线密度分别为??和??。试求（1）两导线间任一点P的电场强度；（2）两导线间的电势差；（3）该导体组单位长度的电容。

??????解：（1）根据高斯定理，电荷线密度为的导线在 点P处电场强度计算如下：

2?xh?E?1P x

?0?h?E??? 2??0xO x d 方向沿x轴正方向，?E???i 2??0x习题10-24图

同理，电荷线密度为??的导线在点P处电场强度为：E??因此，两导线间任一点P的电场强度为：

E?E??E??(?2??0(d?x)i

???)i 2??0x2??0(d?x)（2）根据电势差的定义，两导线间的电势差为：

U??Edr??d?RR(???d?R ?)dx?ln2??0x2??0(d?x)??0R（3）该导体组单位长度的电容为：

C???0Q??1 ???d?Rd?RUlnln??0RR

10-25 如图10-25所示， 一平板电容器充满两层厚度各为d1和d2的电介质，它们的相对电容率分别为?r1和?r2，极板的面积为S。求：（1）电容器的电容；（2）

当极板上的自由电荷面密度为?0时，两介质分界面上的极化电荷的面密度；（3）两层介质的电位移。

解：（1）设两板分别带?Q的电荷

两板间没有电介质时的电场强度为：

E0??r1 d1 d2?r2?Q/SQ ???0?0?0S习题10-25图

放入电介质后，相对电容率分别为的 电介质中电场强度为：E1?E0?r1?Q?0?r1S

E0Q相对电容率分别为的电介质中电场强度为：E2?则两板间的电势差为：

U?E1?d1?E2?d2?Qd1d2(?) ?0S?r1?r2?r2??0?r2S

电容器的电容为：C????dQQd1d2 ?Q/(?)?0r1r2U?0S?r1?r2?r2d1??r1d2（2）相对电容率分别为?r1的电介质的界面上，极化电荷面密度为：

???(?r1?1)?0E1?(?r1?1)?0?0(??1)?r1?0 ?0?r1?r1相对电容率分别为?r2的电介质的界面上，极化电荷面密度为：

???(?r2?1)?0E2?(?r2?1)?0?0(??1)?r2?0 ?0?r2?r2（3）相对电容率分别为?r1的电介质的电位移为：

D1??0?r1E1??0?r1?0??0 ?0?r1相对电容率分别为?r1的电介质的电位移为：

10-26 如图10-26所示，在点A 和点B之间有五个电容器，其连接如图10-26所示。（1）求A，B两点之间的等效电容；（2）若A，B之间的电势差为12 V，

6 μF 4 μF求UAC，UCD和UDB。

解：（1）CAC?(4?8) μF?12 μF

24 μFA C D B D2??0?r2E2??0?r2?0??0 ?0?r2CCD?(6?2) μF?8 μF

CAB?111??CACCCDCDB8 μF 2 μF1?111?????? μF? μF4?12824?

习题10-26图

?CAB?4 μF

（2）AC、CD、DB两端的电荷量相等，则Q?UAB?CAB

UAC?UCD?UDB?

Q12?4? V?4 VCAC12Q12?4? V?6 V CCD8Q12?4? V?2 VCDB2410-27 平行板电容器两极板间充满某种电介质，极板间距离d=2 mm，电压为600 V，若断开电源抽出电介质，则电压升高到1800 V。求（1）电介质的相

对电容率；（2）介质中的电场强度。 解：已知U1?600V，U2?1800V，d?2mm （1）根据平行板电容器两极板间电势差的计算公式：

U1?E?d?600V?E1???U2?E0?d?1800V?E03电介质中的电场强度为：E?E0(1)

?r(2)

联立公式（1）、（2），可得电介质的相对电容率为：?r?3 （2）介质中的电场强度为：E?

10-28 一平行板电容器，极板形状为圆形，其半径为8 cm，极板间距为1.0 mm，中间充满相对电容率为5.5的电介质，若电容器充电到100 V，求两极板的带电量为多少？储存的电能是多少？

S??0.082?12?100 C?9.78?10?8 C 解：Q?C?U??r?0U?5.5?8.8542?10?d0.001We?U1600?V/m?3?105V/m d0.002?9.78?10? J?4.9?10?6 J Q?2C2?1.78?10?102?82

第11章 稳恒磁场

习 题

一 选择题

11-1 边长为l的正方形线圈，分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I

a I b （其中ab、cd与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为：[ ]

（A）B1?0，B2?0 （B）B1?0，B2?22?0I ?l（C）B1?22?0I，B2?0 ?l22?0I22?0I，B2? ?l?l（D）B1?答案：C

解析：有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为B??0I(cos?1?cos?2)，并4?d结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向，按照磁场的叠加原理，可计算

B1?22?0I，B2?0。故正确答案为（C）。 ?l11-2 两个载有相等电流I的半径为R的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，如图11-2所示，则在圆心O处的磁感应强度大小为多少? [ ] I（A）0 （B）?0I/2R （C）2?0I/2R （D）?0I/R 答案：C

解析：圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为B1?B2??0I/2R，按照右手螺旋定则判断知B1和B2的方向相互垂直，依照磁场的矢量叠加原理，计算可得圆心O处的磁感应强度大小为B?2?0I/2R。

11-3 如图11-3所示，在均匀磁场B中，有一个半径为R的半球面S，S边线所在平面的单位法线矢量n与磁感应强度B的夹角为?，则通过该半球面的磁通量的大小为[ ]

I习题11-2图

OS （A）?R2B （B）2?R2B （C）?RBcos? （D）?RBsin? 答案：C

22R ? 习题11-3图

解析：通过半球面的磁感应线线必通过底面，因此?m?B?S??R2Bcos?。故正确答案为（C）。

11-4 如图11-4所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S，当曲面S向长直导线靠近时，穿过曲面S的磁通量?和面上各点的磁感应强度B将如何变化？[ ]

（A）?增大，B也增大 （B）?不变，B也不变 （C）?增大，B不变 （D）?不变，B增大 答案：D

解析：根据磁场的高斯定理??习题11-4图

I

S ?SBdS?0，通过闭合曲面S的磁感应强度始终

为0，保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为B??0I，2?d曲面S靠近长直导线时，距离d减小，从而B增大。故正确答案为（D）。

11-5下列说法正确的是[ ]

(A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零

(C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感应强度必定为零

(D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感应强度都不可能为零 答案：B

解析：根据安培环路定理

?Bdl???Il0ii，闭合回路上各点磁感应强度都为零表

示回路内电流的代数和为零。回路上各点的磁感应强度由所有电流有关，并非由磁感应强度沿闭合回路的积分所决定。故正确答案为（B）。

11-6 如图11-6所示，I1和I2为真空中的稳恒电流，L为一闭合回路。则?B?Ldl的值为[ ]

（A）?0(I1?I2) （B）??0(I1?I2) （C）??0(I1?I2) （D）?0(I1?I2)

答案：C

解析：根据安培环路定理

I1L 习题11-6图

I2?Bdl???Il0ii，并按照右手

螺旋定则可判断I1取负值，I2为正，因此

?LB?dl???0(I1?I2)。

11-7 如图11-7所示，一根很长的电缆线由两个同轴的圆柱面导体组成，若这两个圆柱面的半径分别为R1和R2（R1

（A） （B） 11-7 图 （C） （D） 习题

答案：C

解析：根据安培环路定理

BrR1R2rR1R1R2rR1R2r?Bdl???Il0ii，可得同轴的圆柱面导体的磁感应强度

B?0?0?r?R1,??I?分布为?R1?r?R2,。 B?02，作B-r图可得答案（C）

?r?B?0??r?R2,11-8一运动电荷q，质量为m，垂直于磁场方向进入均匀磁场中，则[ ] （A）其动能改变，动量不变 （B）其动能不变，动量可以改变 （C）其动能和动量都改变 （D）其动能和动量都不变 答案：B

解析：垂直于磁场方向进入均匀磁场的电荷受到洛伦兹力的作用，仅提供向心力，

改变电荷速度的方向，而不改变速度的大小，从而其动能不变，而动量改变。故正确答案为（B）。

11-9 如图11-9所示，一根载流导线被弯成半径为R的1/4圆弧，放在磁感应强度为B的均匀磁场中，则载流导线所受的安培力为[ ]

（A）2BIR，竖直向下 （B）BIR，竖直向上 （C）2BIR，竖直向上 （D）BIR，竖直向下 答案：C

解析：连接ab形成一闭合回路，由于此回路所在平面垂直于磁感应强度方向，因此，回路受力为零，则弧线受力与直线ab受力大小相等，方向相反。直导线ab受力为F?BIlab?2BIR，方向竖直向下，因此载流弧线所受的安培力2BIR，方向为竖直向上。

11-10 用细导线均匀密绕成长为l、半径为a（l>>a）、总匝数为N的螺线管，通以稳恒电流I，当管内充满相对磁导率为?r的均匀介质后，管中任意一点磁感应强度大小为[ ]

（A）?0?rNI/l （B）?rNI/l （C）?0NI/l （D）NI/l 答案：A

解析：根据由磁介质时的安培环路定理为H?习题11-9图

?Hdl??Ilii，得螺线管内磁场强度大小

NI，因此管中任意一点磁感应强度大小为B??0?rH??0?rNI/l。故正l确答案为（A）。

二 填空题

11-11 一无限长载流直导线，沿空间直角坐标的Oy轴放置，电流沿y正向。在原点O处取一电流元Idl，则该电流元在（a,0,0）点处的磁感应强度大小为

_______________，方向为_____________。 答案：

?0Idl

；沿z轴负方向 2

4?a

解析：根据毕奥-萨伐尔定律dB??0Idl?r，Idl与r的方向相互垂直，夹角为34?r?0Idl?a?sin??0Idl?，按照右手螺旋定

4?a34?a290°电流元激发的磁感应强度大小为dB?则可判断方向沿z轴负方向。

11-12 无限长的导线弯成如图11-12所示形状，通电流为I，BC为半径R的半圆，则O 点的磁感应强度大小 ，方向为 。 答案：

I ?0I4R??0I；垂直纸面向里 4?RAB ?OC解析：根据磁感应强度的叠加原理，O点的磁 感应强度由三部分组成。

习题11-12图 BAB?0，BBC??0I4R,方向垂直纸面向里，BCD?O 点的磁感应强度大小B?BAB?BBC?BCD?0I ,方向垂直纸面向里。因此，4?R?I?I?0?0，方向为垂直纸面向里。 4R4?RD11-13 两根长度相同的细导线分别密绕在半径为R和r的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R=2r，螺线管通过的电流相同为I，则螺线管中的磁感应强度大小BR:Br= 。 答案：1:2

解析：螺线管中的磁感应强度大小B??0NI，其中长度l与电流I相同，因此lB与总匝数N成正比。两根导线的长度L相同，绕在半径不同的长直圆筒上，可得NR:Nr?LL:?r:R?1:2，因此BR:Br=1:2。 2?R2?r11-14 如图11-14所示，均匀磁场的磁感应强度为B=0.2 T，方向沿x轴正方向，则通过abod面的磁通量为_________，通过befo面的磁通量为__________，y通过aefd面的磁通量为_______。 答案：-0.024Wb；0Wb；0.024Wb

40 cmb30 cmeBazd解析：根据磁通量的定义式?m?B?S?BScos?， 30 cmo50 cmfx习题11-14图

磁感应强度与abod面面积矢量的夹角为?1?180， 与befo面面积矢量的夹角?2?90，与aefd面 面积矢量的夹角为cos?3?4。因此，?abod?BSabodcos?1??0.024Wb，5?befo?BSbefocos?2?0Wb，?aefd?BSaefdcos?3?0.024Wb。

11-15如图11-15所示，一长直导线通以电流I，在离导线a处有一电子，电量为e，以速度v平行于导线向上运动，则作用在电子上的洛伦兹力的大小为 ，方向为 。 答案：

e?0Iv；水平向右 2?aa I v

解析：无限长直导线在离导线a处激发的磁感应强度大小 为B??0I，方向垂直纸面向里；作用在电子上的洛伦兹力 习题11-15图 2?ae?Iv的大小F?qvBsin??0，按照右手螺旋定则判断电子受力方向为水平向右。

2?a11-16 如图11-16所示，A和B是两根固定的直导线，通以同方向的电流I1和且I1＞I2，C是一根放置在它们中间可以左右移动I2，

的直导线（三者在同一平面内），若它通以反方向的电流I时，导线C将____________（填向A移动、向B移动、保持静止）。 答案：向B移动

解析：根据右手螺旋定则判断导线A施加给C的力FAC的方向为指向B，同理导线B施加给C的力FBC的方向为指向A。安培力

F?BIL??0IiIL，因为I1＞I2，因此FAC?FBC，从而导线C所受合力与FAC相2?d同，因此，导线C向B移动。

11-17 一带电粒子以速度v垂直于均匀磁场B射入，在磁场中的运动轨迹是半径为R的圆，若要使运动半径变为R2，则磁场B的大小应变为原来的 倍。 答案：2

解析：垂直于均匀磁场射入的带电粒子将在磁场中作匀速率圆周运动，圆周的半

径为r?mv，与B成反比。现运动半径变为原来的1/2，则磁场B的大小应变为qB原来的2倍。

11-18 一1/4圆周回路abca，通有电流I，圆弧部分的半径为R，置于磁感应强度为B的均匀磁场中，磁感线与回路平面平行，如图11-18所示，则圆弧ab段导线所受的安培力大小为 ，回路所受的磁力矩大小为 ，方向为 。

1答案：BIR；?BIR2；竖直向下

4解析：Fab?Fca?Fbc，由于Fbc?0，因此Fab?Fca?BIR 根据磁力矩定义式M?m?B，m的方向垂直纸面向里，

a B

R c 习题11-18图

b 1与B方向的夹角为90°，回路所受的磁力矩大小M?BISsin???BIR2，按照右

4手螺旋定则，方向为竖直向下。

11-19 如图11-19所示，一无限长直圆柱导体筒，内外半径分别为R1和R2,电流I均匀通过导体的横截面，L1、L2、L3是以圆柱轴线为中心的三个圆形回路半径分别为r1、r2、r3(r1?R1、R1?r2?R2、r3?R2)回路绕行方向见图示，则磁场强度在三个回路上的环流分别为：?H?dl=_____；?H?dl=_____；?H?dlR2L1L2L3R1=_____ 。 答案：0；

22121r2?RI；?I

R22?RI ?Pr1 L1 L2 解析： 按照右手螺旋定则，L1所包围电流为0，L2所 r3 L3 r22?R12包围电流为2I， L3所包围电流为?I。 2R2?R1习题11-19图

根据有磁介质的安培环路定理

?Hdl??Ilii，

?L1H?dl?0，

?L2r22?R12H?dl?2I，2R2?R1?L2H?dl??I。

11-20 磁介质有三种，?r?1的称为___________，?r?1的称为__________，

?r??1的称为__________。

答案：顺磁质；抗磁质；铁磁质

解析：按照磁介质定义，?r?1的称为顺磁质，?r?1的称为抗磁质，?r??1的称为铁磁质。

三 计算题

11-21 如图11-21所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I,它们在O点的磁感应强度大小各为多少？

I 3 2 O R O

(a)

1 (b)

习题11-21图

3 (c)

I

1

2 R 1 3 I

2 R

解：（a）B1?0,B2?B3?0

,方向垂直纸面向外

?0I8R?B?B1+B2+B3??0I8R,方向垂直纸面向外

（b）B1?B2?,2R?IB3?0,4?R?0I,4?R?0I方向垂直纸面向外 方向垂直纸面向内 方向垂直纸面向外

?B?B2?B1?B3??0I2R??0I,2?R方向垂直纸面向外

（c）B1?B2?,4R?IB3?0,4?R?0I,4?R?0I方向垂直纸面向内 方向垂直纸面向内 方向垂直纸面向内

?B?B1+B2+B3??0I4R+?0I,2?R方向垂直纸面向内

11-22 载流导线形状如图11-22所示（图中直线部分导线延伸到无穷远处）。求O点的磁感应强度B。 解：根据右手螺旋定则，得

2

B1??B2???0Ik4?R3?0Ii

1

3

8R?IB3??0j4?R?B?B1?B2?B3??

3?0I?I?Ii?0j?0k8R4?R4?R11-23 一无限长圆柱形铜导体（磁导率?0），半径为R，通有均匀分布的电流I

（1）试求磁感应强度大小B的分布；

（2）今取一矩形平面（长为L，宽为R），位置如图11-23中阴影部分所示，求通过该矩形平面的磁通量。

解：（1）由磁场安培环路定理?Bdl??0?Ii

LiI R dr r L ?r2Ir2I??02 当r?R时， B1?2?r??0?R2R ? B1??0Ir 22?R习题11-23图

当r?R时， B2?2?r??0I

?I ? B2?0

2?r（2）B与S方向相同，作微元dS，宽度为dr，则通过dS的磁通量为：

?0IrLdr 2?R2R?Ir?0ILR?0IL0??m??Ldr?rdr?

02?R22?R2?04?d?m?B1?dS?B1Ldr?

11-24 有一同轴电缆，其尺寸如图11-24所示。两导体中的电流均为I， 但

电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感应强度：（1）（2）R1?r?R2；（3）R2?r?R3 ；（4）r?R3。 r?R1 ；

解：以中轴线为圆心作闭合圆形回路，半径为r 根据磁场安培环路定理?Bdl??0?Ii

Li?r2Ir2（1）当r?R1时， B1?2?r??0I??02 2?R1R1 ? B1??0Ir 22?R1（2）当R1?r?R2时， B2?2?r??0I ? B2??0I 2?rR32?r2?r2??R22（3）当R2?r?R3时， B3?2?r??0(I? I)??0I2?R32??R22R3?R22?0IR32?r2 ? B3? 222?rR3?R2（4）当r?R3时， B4?2?r??0(I?I)?0 ? B4?0

11-25 如图11-25所示，在半径为R =1.0 cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I=5.0 A，求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B的大小。

俯视图

解：作俯视图如图所示，取微元dl， 电流垂直纸面向内，在圆心处的磁感 应强度为dB1。取微元于dl的对称位置， 其在圆心处的磁感应强度为dB2。合成 后的磁感应强度为dBx，沿x轴方向。

dBx?2dB1cos(习题11-25图 R I dB1X dθ θ I

dl

dBxdB2?2??)?2dB1sin???0sin??Isin?dI?02d? ?R?R?0?0?B??2dBx??2?0Isin??0Id???6.37?10?5 T 22?R?R

11-26 如图11-26所示，一宽为a的薄长金属板，其电流为I，在薄板所在平面内，距板一边为a处有一点P，电量为q的带正电粒子以速度v经过P点，求：(1)点P的磁感应强度大小；(2)带电粒子在点P受到的洛伦兹力大小和方向。 dx 解：如图建立坐标系，

取微元dx，则其在点P的磁感应强度为：

x v q Iadx??0Idx （1）dBP?2?x2?axI ?0a a ?P ?BP??dBP???0Idxaa2?ax X

?0I2a?0I?ln?ln2, 方向垂直纸面向内2?aa2?a2a2a习题11-26图

（2）v?B,?F?qvBsin?????90

qv?0Iln2, 方向向左 2?a

11-27 从太阳射出来的速率为8?106ms的电子进入地球赤道上空高层艾伦辐射带中，该处磁场为4.0?10?7 T，此电子的回转轨道半径为多大？若电子沿地球磁场的磁感线旋进到地磁北极附近，地磁北极附近磁场为2.0?10?5 T，其轨道半径又为多少？ 解：已知v?8?106m/sB1?4?10?7Te?1.6?10?19CB2?2?10?5T

m?9.11?10?31kg

R1?mv?114mqB1mvR2??2.28mqB2

11-28 如图11-28所示，一根长直导线载有电流I1=30 A，矩形回路载有电流I2=20 A。试计算作用在回路上的合力。已知d=1.0 cm，b=8.0 cm，

l=0.12 m。

解：∵边2、4所受安培力大小相等，方向相反

2

∴ F2?F4?0

?IF1?B1I2l?01I2l?1.44?10?3 N, 方向向左2?d

?0I1F2?B2I2l?I2l?1.6?10?4 N, 方向向右2?(d?b) F=F1?F2?1.28?10?3 N, 方向向左

1

4

3

11-29 在原子结构的玻尔模型中，原子中的电子绕原子核做圆周运动，已知氢原子中电子的轨道半径为5.3?10?11 m，电子运动的速度为7?106ms，求氢原子的轨道磁矩。

解：已知：R?5.3?10?11 m，v?7?106ms

氢原子的轨道磁矩为：m?I?Sen其中，I?(1)

qeev??，S??R2 t2?R/v2?R将上式代入（1）中，得氢原子的轨道磁矩为：

m?I?S?evevR?R2?2?R2

1.6?10?19?5.3?10?11?7?106?A/m2?2.97?10?23A/m22

11-30 如图11-30所示，半径为R的圆形闭合线圈，通电流为I，处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁感线与线圈平面平行，求：（1）闭合线圈的磁矩的大小和方向；（2）闭合线圈所受的磁力矩大小和方向；（3）闭合线圈所受的合力。

解：（1）磁矩m?I?Sen

IdlR I 习题11-30图

闭合线圈的磁矩的大小为：m?I?S?I?R2 根据右手螺旋定则，磁矩的方向为垂直纸面向外 （2）磁力矩M?m?B，m与B的夹角θ为90°

闭合线圈所受的磁力矩大小为：M?m?Bsin??I?R2B 根据右手螺旋定则，磁力矩的方向为竖直向下

?Idl（3）如图所示，在线圈上取一段电流元Idl，在关于圆心对称的位置能够找到与Idl大小相等，方向相反的电流元?Idl，根据安培力的定义F?Idl?B，则相对称的两端电流元所受安培力的大小相等，方向相反，合力为零。则对于整个线圈，任意一段电流元，总能找到与之大小相等，方向相反的对称电流元，因此，线圈的合力F?0。

11-31 如图11-24所示的长直同轴电缆，在内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为?r（?r?1），导体的磁化可以略去不计。电缆沿轴向有稳恒电流I通过，内外导体上电流的方向相反。求空间各区域的磁场强度和磁感应强度的分布。

解：根据有磁介质的安培环路定理?Hdl??Ii，得

li

?r2Ir2当r?R1时， H1?2?r?I?2 2?R1R1rI 2?R12 ? H1?

B1??0?r?H1??0rI(?r??1) 22?R1当R1?r?R2时， H2?2?r?I ? H2?

I2?r

B2??0?rH2??0?rI 2?rR32?r2?r2??R22 当R2?r?R3时， H3?2?r?I?I?I2222?R3??R2R3?R2R32?r2 ? H3? 222?rR3?R2I

22?IR?r03B3??0?r?H3?(?r??1) 222?rR3?R2当r?R3时， H4?2?r?I?I?0 ? H4?0

B4??0?r?H4?0

第12章 电磁感应与电磁场

一 选择题

12-1 一根无限长平行直导线载有电流I，一矩形线圈位于导线平面内沿垂直于载流导线方向以恒定速率运动（如图12-1），则[ ]

(A) 线圈中无感应电流

(B) 线圈中感应电流为顺时针方向 (C) 线圈中感应电流为逆时针方向 (D) 线圈中感应电流方向无法确定

I v习题12-1 图

解：选(B)。矩形线圈向下运动，直导线穿过线圈的磁通量减少，根据楞次定律，线圈中感应电流的磁场方向垂直纸面向里，由右手螺旋法则确定线圈中感应电流为顺时针方向。

12-2 尺寸相同的铁环和铜环所包围的面积中，通以相同变化率的磁通量，则环中[ ]

(A) 感应电动势不同，感应电流不同

(B) 感应电动势相同，感应电流相同 (C) 感应电动势不同，感应电流相同 (D) 感应电动势相同，感应电流不同

解：选(D)。根据法拉第电磁感应定律，铁环和铜环所包围的面积中，若磁通量变化率相同，则感应电动势相同；但是尺寸相同的铁环和铜环的电阻不同，由欧姆定律I?

12-3 如图12-3所示，导线AB在均匀磁场中作下列四种运动，（1）垂直于磁场作平动；（2）绕固定端A作垂直于磁场转动；（3）绕其中心点O作垂直于磁场转动；（4）绕通过中心点O的水平轴作平行于磁场的转动。关于导线AB的感应电动势哪个结论是错误的? [ ]

(A)（1）有感应电动势，A端为高电势 (B)（2）有感应电动势，B端为高电势 (C)（3）无感应电动势 (D)（4）无感应电动势

AA?R

可知，感应电流不同。

BBBBa b OAv

OAd 习题12-4图

c （1） （2） （3） （4）

习题12-3图

b解：选(B)。由???(v?B)?dl可知，（1）（2）有感应电动势，（3）OA、OBa两段导线的感应电动势相互抵消，无感应电动势，（4）无感应电动势，(C)、(D)正确；而?的方向与v?B的方向相同，（1）（2）电动势的方向均由B?A，A端为高电势，(A) 正确，(B) 错误。

12-4 如图12-4所示，边长为l的正方形导线框abcd，在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v垂直于bc边在线框平面内平动，磁场方向与线框平面垂直，

设整个线框中的总的感应电动势为?，bc两点间的电势差为u，则[ ]

(A)??Blv,　u?Blv (B)??0,　u?Blv (C)??0,　u?0 (D)??Blv,　u?0

解：选(B)。正方形导线框abcd可看成由ab、bc、cd和da四条导线组成，由???(v?B)?dl可知， ab、cd不产生感应电动势，bc、da产生的感应电动

ab势的大小相等，等于Blv，方向相反，因此总的感应电动势??0，bc两点间的电势差u?Blv。

12-5 圆柱形空间存在着轴向均匀磁场，如图12-5所示，B以

dB的速率变dt化，在磁场中有两点A、C，其间可放直导线AC和弯曲导线AC，则[ ]

(A) 感生电动势只在AC导线中产生 (B) 感生电动势只在弯曲AC导线中产生

(C) 感生电动势在AC导线和弯曲AC导线中产生，且两者大小相等 (D) AC导线的感生电动势大小小于弯曲AC导线的感生电动势大小

习题12-5图

习题12-6图

解：选(D)。在圆柱形的圆形横截面上取圆心O,作线段OA、OC，这样直导线AC将和OA、OC组成一个三角形，弯曲导线AC将和OA、OC组成一个扇形；当B以

dB的速率变化，对于直导线AC， 感生电场Ek为一系列同心圆，dtOA、OC段均与感生电场Ek垂直，OA、OC段不产生电动势，得???LEk?dl??Ek?dl??AC，又由??AC?LEk?dl=?d?mdBdB=?S三角形，得?AC??S三角形，dtdtdt弯曲导线AC，同理可得?AC??S扇形dB，由于S三角形?S扇形，所以|?AC|?|?AC|，dt即AC导线的感生电动势大小小于弯曲AC导线的感生电动势大小。

12-6 一矩形线框长为a，宽为b，置于均匀磁场中，线框绕OO'轴匀角速度。设t=0时，线框平面平行于磁场，则任一时刻感应电?旋转（如图12-6所示）动势的大小为[ ]

(A) ?abBcos?t (B) ?abBsin?t (C)

11?abBcos?t (D) ?abBsin?t 22解：选(A)。在t?0时，线圈平面的法线方向与磁感应强度的方向垂直，在时刻t，线圈平面的法线方向与磁感应强度的方向之间的夹角为???2??t。此

?时，穿过线圈的磁通量为?m?BScos??Babcos(??t)，由法拉第电磁感应定

2d?m?|?|Bab?sin(??t)|??abBcos?t。律，得任一时刻感应电动势的大小??|? dt2

12-7 下列概念正确的是[ ] (A) 感生电场也是保守场

(B) 感生电场的电场线是一组闭合曲线

(C) ??LI，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比 (D) ??LI，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大 解：选(B)。感生电场沿任意闭合回路的环流一般不等于零，即

??LEk?dl=

d?m，这就是说，感生电场不是保守场；感生电场的电场线是闭合的，感生电dt场也称为有旋电场；自感L与回路的形状、大小以及周围介质的磁导率有关，与回路的电流或磁通量无关。

12-8 长为l的单层密绕螺线管，共绕有N匝导线，螺线管的自感为L，下列那种说法是错误的？[ ]

(A) 将螺线管的半径增大一倍，自感为原来的四倍

(B) 换用直径比原来导线直径大一倍的导线密绕，自感为原来的四分之一 (C) 在原来密绕的情况下，用同样直径的导线再顺序密绕一层，自感为原来的二倍

(D) 在原来密绕的情况下，用同样直径的导线再反方向密绕一层，自感为 零

解：选(C)。螺线管的自感L????m??II??NISN2l??S，将螺线管的半

Il径增大一倍，面积S??R2为原来4倍，自感为原来的四倍，(A)正确；换用直径比原来导线直径大一倍的导线密绕，则所绕匝数变为原来的二分之一，即N'?N，2自感为原来的四分之一，(B)正确；在原来密绕的情况下，用同样直径的导线再顺序密绕一层，L???mI2???2NIS4N2l自感为原来的四倍，(C)错误；??S，

Il在原来密绕的情况下，用同样直径的导线再反方向密绕一层，则

L?

??mI2?（??NNI??I）Sll?0，自感为零，(D)正确。 I12-9 有两个线圈，线圈1对线圈2的互感系数为M21，而线圈2对线圈1的互感系数为M12。若它们分别流过i1和i2的变化电流且

di1di<2，并设由i2变dtdt化在线圈1中产生的互感电动势大小为?12，由i1变化在线圈2中产生的互感电动势大小为?21，则论断正确的是[ ]

(A) M12=M21，?21??12 (B) M12?M21，?21??12 (C) M12=M21，?21??12 (D) M12=M21，?21??12 解：选(D)。理论和实验均表明，M21?M12?M，因此?21?Mdi2didi2，由于1<，所以?21??12。 dtdtdtdi1，dt?12?M

12-10 对于位移电流，下述说法正确的是[ ] (A) 位移电流的实质是变化的电场

(B) 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷 (C) 位移电流服从传导电流遵循的所有定律 (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理

解：选(A)。位移电流的实质是变化的电场，不是定向运动的电荷，传导电流是定向运动的电荷，(A)正确，(B)错误；位移电流不服从传导电流遵循的安培定律等定律，(C) 错误；位移电流的磁效应也服从安培环路定理，(D) 错误。

二 填空题

12-11 电阻R＝2 Ω的闭合导体回路置于变化磁场中，通过回路包围面的磁通量与时间的关系为??(5t2?8t?2)?10?3 (Wb)，则t=0s时，回路中的感应电流的大小i= ；在t=2s至t=3s的时间内，流过回路导体横截面的感应电荷的大小qi? 。

解：回路中的感应电流大小i?|?R|?|?1d?1|?|?(10t?8)?10?3 |，t=0s代入，Rdt2得i?4?10?3A；感应电荷的大小qi?求?2和?1，得qi?

1?2??1，t=2s和t=3s分别代入?表达式R1?2??1?1.65?10?2C。 R12-12 如图12-12所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感应强度为B的均匀磁场中，当导线OP以匀速率v向右移动时，导线中感应电动势大小为 ， 端电势较高。

习题12-12图 习题12-13图

P R v O

解：连接OP，与半圆形导线OP构成一闭合曲线，由???d?m可知，当该dt闭合曲线向右移动时，由于磁通量?m不变，所以??0??OP??PO，即?PO???OP，半圆形导线中感应电动势?PO等于直导线中感应电动势的负值??OP， 由

???(v?B)? dl可得，?OP?2RvB，方向O?P，所以半圆形导线中感应电动势

ab大小|?PO|?|?2RvB|?2RvB，方向同样为O?P，P端电势较高。

12-13在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一刚性直角三角形线圈ABC，AB=a,BC=2a,AC边平行于B，线圈绕AC边以匀角速度?转动，方向如图12-13所示，AB边的动生电动势为 ，BC边的动生电动势为 ，线圈的总电动势为 。

解：由???(v?B)? dl，以A为原点，作水平相左的x轴，则AB边的动生

ab电动势?AB??vBdx??B?xdx?00aa1B?a2，由于?AB?0，方向A?B；BC边的2动生电动势???vBdlcos?，?为BC边和AB边的夹角，由于dlcos??dx，因

CB此?CB??vBdlcos???B?xdx?C0Ba1B?a2，由于?CB?0，方向C?B；因此AB2边和BC边的动生电动势的大小相等，方向相反，得线圈的总电动势为0。

12-14 半径为a的无限长密绕螺线管，单位长度上的匝数为n，螺线管导线中通过交变电流i?I0sin?t，则围在管外的同轴圆形回路（半径为r）上的感生电动势为 。

解：感生电动势???d?mdB=?S，螺线管中产生的磁感应强度dtdtB??0ni??0nI0sin?t，螺线管外产生的磁感应强度B近似为0，因此S??a2，

dBdB??0nI0?cos?t，得???S??a?2?0n?I0cos?t。 dtdt

12-15 半径r=0.1 cm的圆线圈，其电阻为R=10 ?，匀强磁场垂直于线圈，若使线圈中有稳定电流i=0.01 A，则磁场随时间的变化率为

解：感生电动势大小??|?S??r2，代入数据，得|dB? 。 dtd?mdB|=|?S|，结合欧姆定律??IR，面积 dtdtdB|?3.18?104 T/s dt

12-16 引起动生电动势的非静电力是 力，引起感生电动势的非静电力是 力。

解：引起动生电动势的非静电力是洛伦兹力，可参考教材12.2.1节开头推导过程；麦克斯韦提出假设：变化的磁场在其周围空间要激发一种电场，这个电场叫做感生电场。感生电场不是静电场，作用在电荷上的力是一种非静电场力，正是由于感生电场的存在，才在闭合回路中形成感生电动势。

12-17一自感系数为0.25 H的线圈，当线圈中的电流在0.01 s内由2 A均匀地减小到零。线圈中的自感电动势的大小为 。

解：自感电动势的大小?L?|?L

12-18 如图12-18所示，矩形线圈由N匝导线绕成，长直导线通有电流

dI2|?|?0.25?(?)|?50V。 dt0.01i?I0sin?t,则它们之间的互感系数为 。

解：建立如图所示坐标轴，在线圈中x坐标处取一宽度为dx的微元。无限长

习题12-18图

dx i a x b b

直导线磁感应强度B??0i2?x，通过微元的磁链

d??NB?dS?NBdS?NN??0i2b?i?iaadx，积分得???N0adx?N0ln2，

b2?x2?x2?M??I

?0ialn2N?0aln22? ?i2?12-19 在一个自感系数为L的线圈中通有电流I，线圈中所储存的能量是__________。

解：储存在载流线圈中的磁能Wm?

12-20半径为R的无限长柱形导体上流过电流I，电流均匀分布在导体横截面上，该导体材料的相对磁导率为1，则在导体轴线上一点的磁场能量密度为 ，在与导体轴线相距为r处（r

b b i

a 9 cm 1 cm I

12LI。 2习题12-22图

习题12-18图

1B2解：磁场能量密度wm?，由于???0?r，导体材料的相对磁导率?r为

2?1B21，因此???0，wm?。利用安培环路定理，得导体轴线上一点B?0，代

2?0?Ir1B2入wm?，得wm?0；与导体轴线相距为r处（r

2?R2?0

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f9i5.html