2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第八章 第八节 曲线与方程教案 文
更新时间:2023-12-23 18:35:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第八节 圆锥曲线的综合问题
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1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.
??Ax+By+C=0,2即?消去y,得ax+bx+c=0. ?Fx,y=0,?
2
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0?直线与圆锥曲线C相交;
Δ=0?直线与圆锥曲线C相切; Δ<0?直线与圆锥曲线C相离.
(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
2.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则
2
|AB|=1+k|x1-x2|
2=1+k·x1+x22-4x1x2
11
= 1+2·|y1-y2|= 1+2·y1+y22-4y1y2.
kk
直线与圆锥曲线只有一个公共点时,是否是直线与圆锥曲线相切?
提示:直线与圆锥曲线只有一个公共点时,未必一定相切,还有其他情况,如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线,双曲线与平行于其渐近线的直线,它们都只有一个公共点,但不是相切,而是相交.
2
1.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax相切,则a等于( ) 111
A. B. C. D.4 234
??x-y-1=0,解析:选C 由?2
?y=ax,?
消去y得ax2
??a≠0,
-x+1=0,所以?
?1-4a=0,?
解得a1
=. 4
1
bx2y2
2.直线y=x+3与双曲线2-2=1的交点个数是( )
aabA.1 B.2 C.1或2 D.0
解析:选A 因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.
2
3.设抛物线x=4y的焦点为F,经过点P(1,5)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为线段AB的中点,则|AF|+|BF|=________.
解析:A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=10,由抛物线定义得|AF|+|BF|=y1+y2+p=10+2=12.
答案:12
babax2y2
4.直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值
5m范围是________.
解析:直线y=kx+1过定点(0,1),由题意,点(0,1)在椭圆内或椭圆上.则m≥1,且m≠5.
答案:m≥1且m≠5 5.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原
54
点,则△OAB的面积为________.
解析:由c=5-4=1,知椭圆右焦点为(1,0),则直线方程为y=2(x-1),联立方程得
x2y2
xy??+=1,?54??y=x-,
22
5
解得x1=0,x2=,
3
4
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=-2,y2=.
3
11105
∴S△=×1×|y1-y2|=×1×=.
22335答案: 3
压轴大题巧突破(二)
直线与圆锥曲线的综合应用
[典例] (2013·湖北高考)
(13分)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为 2m,2n(m>n) ,过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.
(1)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;
(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.
2
mn
[化整为零破难题]
(1)基础问题1:椭圆C1、C2的标准方程各是什么?
x2y2x2y2
C1:2+2=1,C2:2+2=1,其中a>m>n>0.
aman基础问题2:直线l与y轴重合时S1,S2各等于什么?
112211
S2=|AB||ON|=a|AB|.
22
基础问题3:|BD|,|AB|各等于何值? |BD|=m+n,|AB|=m-n.
(2)基础问题1:设直线l为y=kx,则M、N到直线l的距离各是多少?
|ak||ak|
M到l的距离d1=,N到l的距离d=. 222
1+k1+kS1=|BD||OM|=a|BD|,
k2
S1
S2
11S1|BD|S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,=.
22S2|AB|
|BD|
基础问题3:与xA、xB有何关系?
|AB|
|BD|xA+xB==λ. |AB|xA-xB2?
基础问题4:如何用xA、xB、a、m、λ来表示k
2
x2k2x2x2k2x2x2AABBA-xBA(xA,kxA)、B(xB,kxB)分别在C1、C2上,所以2+2=1,2+2=1,∴2+
amana222222xA-λxBmxA-xB222
=0,依题意得xA>xB>0,所以xA>xB,所以k=2. 22
maλ2x2B-xA基础问题2:S1、S2各等于什么?等于什么?
基础问题5:如何求λ的取值?
2
m2x2xAxA+xBxAλ+1λ+1A-xB2
由k>0,得2>0,解得1<<λ,由=λ,=,即1<<λ,222aλxB-xAxBxA-xBxBλ-1λ-1
得λ>1+2.
[规范解答不失分]
依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为
x2y2x2y2
C1:2+2=1,C2:2+2=1.其中a>m>n>0,
amanmλ=>1.1分
n(1)如图1,若直线l与y轴重合,则|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m1111
-n;S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|.
2222S1|BD|m+nλ+1所以===,3分
S2|AB|m-nλ-1S1λ+12若=λ,则=λ,化简得λ-2λ-1=0, S2λ-1
由λ>1,可解得λ=2+1.
故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=2+1.5分
3
(2)法一:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),(Ⅰ)
点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则
|-ak-0|ak|ak-0|ak因为d1==,d==, 22222
1+k1+k1+k1+k所以d1=d2.6分
11S1|BD|又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以==λ,
22S2|AB|
即|BD|=λ|AB|.
由对称性可知|AB|=|CD|,(Ⅱ)
所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,
|AD|λ+1于是=. ①7分
|BC|λ-1
将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得
aman,xB=222. 2ak+mak+n根据对称性可知xC=-xB,xD=-xA,于是(Ⅲ)
2
|AD|1+k|xA-xD|2xA== 2
|BC|1+k|xB-xC|2xBma2k2+n2= . ②9分 na2k2+m2xA=22从而由①和②式可得 a2k2+n2λ+1
. ③10分 222=ak+mλλ-
λ+1
令t=,(Ⅳ)
λλ-
由(1)可知当λ=1+2,即t=1时,直线l与y轴重合,不符合题意,故t≠1.
n2λ2t2-12
于是由③可解得k=2. 2a-tn2λ2t2-22
因为k≠0,所以k>0,于是③式关于k有解,当且仅当2>0,等价于(t2
a-t11λ+1?21?-1)?t-2?<0,由λ>1,可解得<t<1,即<<1,由λ>1,解得λ
λ?λλλλ-?>1+2,12分
所以当1<λ≤1+2时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2; 当λ>1+2时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.13分
法二:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2,根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),(Ⅰ)
点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则
|-ak-0|ak|ak-0|ak因为d1==,d==, 22222
1+k1+k1+k1+k所以d1=d2.6分
4
11S1|BD|又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以==λ.
22S2|AB||BD|1+k|xB-xD|xA+xB因为===λ, 2
|AB|x-xAB1+k|xA-xB|xAλ+1所以=.8分
xBλ-1
由点A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在C1,C2上,可得
2
x2k2x2x2k2x2AABB2+2=1,2+2=1, aman222xA-x2k2x2BA-λxB两式相减可得2+=0,
am2
依题意xA>xB>0,(Ⅴ)
22
所以xA>xB.
2
m2x2A-xB2
所以由上式解得k=2.10分 2aλ2x2B-xA2
m2x2xAA-xB2
因为k>0,所以由2>0,可解得1<<λ. 222
aλxB-xAxBλ+1
从而1<<λ,解得λ>1+2,所以
λ-1
当1<λ≤1+2时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2; 当λ>1+2时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.13分 [易错警示要牢记] 易错点一 (Ⅰ)处没有注意对称性,k∈R,使后面求解受阻 易错点二 (Ⅱ)处不注意对称性,则|AD|与|BC|的比值不易求出,从而思路受阻 易错点三 (Ⅲ)处不注意对称性,则变量xA、xB、xC、xD较多运算较大,也易出错 易错点四 (Ⅳ)处如果不换元,则运算量较大,易出现错误 (Ⅴ)处如果不注意xA>xB,则对λ的范围的限制条件发生变化,从而造成结果易错点五 出错
5
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