最大流问题

网络最大流问题

一 产生背景

流量问题在实际中是一种常见的问题，在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问题,控制系统中的信息流问题，常见的人流，物流，水流，气流，电流，现金流等。在一定条件下,求解给定系统的最大流量,就是网络最大流问题.网络系统最大流问题是图与网络理论中十分重要的最优化问题，它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。

二 基本概念与定理

设cij为弧（i，j）的容量，fij为弧（i，j）的流量。容量是弧（i，j）单位时间内的最大通过能力，流量是弧（i，j）单位时间内的实际通过量，流量的集合f={fij}称为网络的流。发点到收点的总流量记为v=v(f)。

设D=(V,A)是一有向图且对任意E均有容量cij =（vi，vj），记C={cij︱（vi，vj）∈A},此外D中只有一个源vs和汇vt( 即D中与vs相关联的弧只能以 vs为起点，与vt相关联的弧只能以 vt为终点)，则称D=(V,A,C, vs,vt)为一网络。 引例1：图1给出了一张网络，其中：vs为源，vt为汇，弧旁的数字为该段弧的容量cij与流量fij，则显然有0≤fij ≤ cij 。

v2 （3,3) v4 （3,3） （5,5） vt (2,2) (2,2) (2,2) vt (6,4) (6,2) v1 (6,6) v3 图1

最大流问题可以建立如下形式的线性规划数学模型。图1最大流问题的线性规划数学模型为

1

maxv?fs1?fs2??fij??fij?0(i?s,t)?ji???0?fij?cij所有弧(i,j)

由线性规划理论知，满足式上式的约束条件的解{fij}称为可行解，在最大流问题中称为可行流。

可行流满足下列三个条件：

(1)0?fij?cjiijim(2?)fmj??f

vsvt(3v)??fsj??fit

条件（2）和条件（3）也称为流量守恒条件。

另外对有多个发点和多个收点的网络,可以另外虚设一个总发点和一个总收点,并将其分别与各发点、收点连起来（图*），就可以转换为只含一个发点和一个收点的网络。

S T

S* T* 图*

所以一般只研究具有一个发点和一个收点的网络

在图D中，从发点到收点的一条路线称为链，从发点到收点的方向规定为链的方向。与链的方向相同的弧称为前向弧，前向弧集合记为u+ ，与链的方向相反的弧称为后向弧，后向弧集合记为u-。

设f是一个可行流，如果存在一条从发点vs到收点vt到的链u满足： （1）所有前向弧上fij＜cij

2

(2) 所有后向弧上fij＞0 ，则称链u为增广链. 设S,T?V,S?T??,vs?S,vt?T则称

(S,T)??(vi,vj)|vi?S,vj?T?C(S,T)?

为图D的一个割集；称

(vi,vj)?(s,t)?c(vi,vj) 为割集（S，T）的容量。

显然对任意可行流f及任意割集（S，T）总有V(f)=C(S,T)。故有某个可行流f*及某一割集（S*，T*）使得V(f*)= C（S*，T*），则f*为D的最大流，（S*，T*）为最小容量割集。

定理1 图D上的可行流f*是最大流的充要条件是D上不存在关于f*的增广链。

三 求解网络最大流的方法（标号法）

标号法是一种图上迭代计算方法，该算法首先给出一个初始可行流，通过标号找出一条增广链，然后调整增广链上的流量，得到更大的流量。再用标号找出一条新的增广链，再调整直到标号过程不能进行下去为止，这时的可行流就是最大流。

标号法步骤如下：

第一步 找出一个初始可行流fij(0),例如所有弧的流量fij(0) =0. 第二步 对点进行标号找出一条增广链。 （1） 起点标号（∞）

（2） 选一个点vi已标号且另一端未标号的弧沿着某条链向收点检查

（a）如果弧是前向弧且有fij＜cij，则vj标号

?j?ci?jf ij （b）如果弧是后向弧且有fij﹥0，则vj标号

?j?fij

当收点已得到标号时，说明已找到增广链，依据v的标号反向追踪得到一条增广链。当收点不能得到标号时，说明不存在增广链，计算结束

第三步 调整流量

(1) 求增广链上点的vi标号的最小值，得到调整量号

3

?j?min?jj

(2) 调整流量

?fij??(vi,vj)?u???f1??fij??(vi,vj)?u??fij(vi,vj)?u??

得到新的可行流f1，去掉所有标号，返回到第二步从发点重新标号寻找增广链，直到收点不能标号为止。 四 例题应用

例2：用标号法求网络最大流（图1），弧旁数字为（cij ，fij(0)）。 解 （1） 标号过程。见图2。

?(v,v),(v,v)?u32 （2） 增广链为{vs，v1，v2，v3，vt} （注意21）。

（3）调整量θ=2调整后得图3。 （4） 二次标号过程。见图3。

标号无法进行下去，最大流流量V(f*)=3+6=9，最小割集（S*，T*）, S*={vs}, T*={ v1，v2，v3，v4，vt}。

（-v1,2）

（3,3） vs （2,2） （2,2） （2,2） vt (v3,2)

v2 （3,3） v4 （5,5）

（0，+?） （6,4） （6,2） v1 （6,6） v3 （v1,2） （-v2,2)

图2

v2 （3,3） v4 （5,5）

（3,3） vs （2,0） （2,0） （2,2） vt

（0，+?） （6,6） （6,4）

v1 （6,6） v3 图3

4

例3：在下面的有向图中1是发点， 6是收点，求最大流. 2 1 4 4 2 1 2 4 2 6 5 6 3 3 5 图解法如下：

2(1,+4) 1 4(2,+1) 4 2 1(0,+inf) 2 4 2 6 (5,4) 5 6 3(5,+5) 3 5(2,+4)

2(5,-3) 1 4(5,+2) (4,4) 2 1(0,inf) 2 (4,4) 2 6(5,2) 5 (6,4) 3(1,+5) 3 5(3,+3)

5

2(5,-1) 1 4(5,+1) (4,4) 2 1(0,inf) 2 (4,4) 2 6(4,+1) (5,2) (6,6) 3(1,+3) (3,2) 5(3,1)

2 1 4 (4,4) (2,1) 1(0,inf) 2 (4,4) (2,1) 6 (5,3) (6,6) 3(1,2) (3,3) 5

图中红色的是可增广链，可见S={1,3}, S’={2,4,5,6}, 蓝色的三条边(1,2), (3,5)，(2,3)组成的集合是最小割，割集容量为(1,2)和(3,5)两条边的容量之和7，也就是最大流的流量.

参考文献

[1] 杨民助．运筹学[M]．西安：西安交通大学出版社，2000，201-204

[2] 宁宣熙．运筹学实用教程[M]．第二版．北京：科学出版社，2007，147-152 [3] 黄桐城．运筹学基础教程[M]．第一版．上海：上海人民出版社，2004，124-128

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2(5,-1) 1 4(5,+1) (4,4) 2 1(0,inf) 2 (4,4) 2 6(4,+1) (5,2) (6,6) 3(1,+3) (3,2) 5(3,1)

2 1 4 (4,4) (2,1) 1(0,inf) 2 (4,4) (2,1) 6 (5,3) (6,6) 3(1,2) (3,3) 5

图中红色的是可增广链，可见S={1,3}, S’={2,4,5,6}, 蓝色的三条边(1,2), (3,5)，(2,3)组成的集合是最小割，割集容量为(1,2)和(3,5)两条边的容量之和7，也就是最大流的流量.

参考文献

[1] 杨民助．运筹学[M]．西安：西安交通大学出版社，2000，201-204

[2] 宁宣熙．运筹学实用教程[M]．第二版．北京：科学出版社，2007，147-152 [3] 黄桐城．运筹学基础教程[M]．第一版．上海：上海人民出版社，2004，124-128

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f94r.html