2018届高考数学二轮复习第一部分专题七概率与统计1.7.3统计与统计案例限时规范训练理

限时规范训练 统计与统计案例

限时45分钟，实际用时

分值81分，实际得分

一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

1．(2017·山东烟台模拟)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )

A．26,16,8B．25,17,8 C．25,16,9

解析：选B.由题意知间隔为

D．24,17,9

600

＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等50

式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．

2．(2017·山东济宁模拟)某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：

男生 女生 总计 认为作业量大 18 8 26 认为作业量不大 9 15 24 总计 27 23 50 若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过( ) A．0.01 C．0.10 解析：选B.K＝

2

B．0.025 D．0.05

－

26×24×27×23

2

≈5.059＞5.024，因为P(K＞5.024)＝0.025，所以

2

这种推断犯错误的概率不超过0.025.

3．一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为( )

A．9 C．17

B．3 D．－11

25＋x解析：选A.设这个数为x，则平均数为，

725＋x众数为2，若x≤2，则中位数为2，此时4＝＋2，

7

x＝－11；

25＋x若2＜x＜4，则中位数为x，此时2x＝＋2，x＝3；

7

25＋x若x≥4，则中位数为4,2×4＝＋2，x＝17，

7所有可能值为－11,3,17，故其和为－11＋3＋17＝9.

4．(2017·广东广州模拟)如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( )

A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高

B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降 C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门

解析：选D.由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D错误．选D.

5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元) 销量y(件) 4 90 5 84 6 83 7 80 8 75 9 68 ^^由表中数据，求得线性回归方程y＝－4x＋a，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )

11A.B. 631C. 2

2D. 3

解析：选B.由表中数据得x＝6.5，y＝80.

^^^

由(x，y)在直线y＝－4x＋a上，得a＝106. ^

即线性回归方程为y＝－4x＋106.

经过计算只有(5,84)和(9,68)在直线的下方， 21

故所求概率为＝.

63

6．(2016·高考全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )

A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

解析：选D.依据给出的雷达图，逐项验证．对于选项A，由图易知各月平均最低气温都在0℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误．

二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

7．(2017·山西太原模拟)为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y，z，依次构成等差数列，且4，y，z＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为________．

??2y＝4＋z，解析：由题意可得?2

?y＝z＋?

，

z??y＝2＋，2即?

??y2＝4z＋16，

解得z＝12，或z＝－4(舍去)，故y＝8.

所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为4,8,12. 61

因为一共要抽取6个城市，所以抽样比为＝. 4＋8＋1241

故乙组城市应抽取的个数为8×＝2.

4答案：2

8．如图是我市某小区100户居民2016年月平均用水量(单位：t)的频率分布直方图的一部分，则该小区2016年的月平均用水量的中位数的估计值为________．

解析：由图可知，前五组的频率依次为0.04,0.08,0.15，0.22，0.25，因此前五组的频数依次为4,8,15,22,25，由中位数的定义，应是第50个数与第51个数的算术平均数，而前四组的频数和：4＋8＋15＋22＝49，是第五组中第1个数与第2个数的算术平均数，中位数是2＋(2.5－1

2)×＝2.02.

25

答案：2.02

9．(2017·山东潍坊模拟)2016年11月某校高三2000名同学参加了一次数学调研测试，利用简单随机抽样从中抽取了部分同学的成绩进行统计分析，由于工作人员的失误，学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程序的破坏，但可见部分信息如图所示，则总体中分数在[80,90)内的人数为________．

解析：由茎叶图可知分数在[50,60)内的频数为2，由频率分布直方图可知，分数在[50,60)2

内的频率为10×0.008＝0.08，所以样本容量为n＝＝25.由茎叶图可得，分数在[60,70)内

0.08的频数为7，分数在[70,80)内的频数为10.由频率分布直方图可知，分数在[90,100)和[50,60)内的频率相等，所以频数也相等，故分数在[90,100)内的频数为2.所以分数在[80,90)内的频数为25－(2＋7＋10＋2)＝4，对应的频率为

4

＝0.16.所以总体中分数在[80,90)内的人数为2 25

000×0.16＝320.

答案：320

三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)

10．(2016·高考四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，……，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．

解：(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.

由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30. (2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.

(3)设中位数为x吨．

因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5. 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5. 所以2≤x＜2.5.

由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．

11．(2017·山东潍坊模拟)寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据.

日期 天气 销售量(件) 白天 2月14日 小雨 39 2月15日 小雨 33 2月16日 阴 43 2月17日 2月18日 阴转多云 41 多云转阴 54

晚上 42 46 50 51 61 已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，剩余精品可以以进货价退回厂家．

(1)画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；

(2)从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天的平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其他条件不变．假如明年花市5天每天下1

雨的概率为，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推

5测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？

(3)若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在(2)的条件下，你认为“值得投资”吗？

43＋46

解：(1)由已知得如下茎叶图，中位数为＝44.5.

2

3 4 5 6 3 9 1 2 3 6 0 1 4 1 ?1?(2)设明年花市期间下雨天数为X，由题知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，且X～B?5，?，?5?

E(X)＝5×＝1.

所以估计明年花市期间，可能有1天为下雨天，4天为非雨天，据此推测花市期间所租档口大约能售出的精品数为1×80＋4×100＝480(件)．

(3)解法一：设花市期间所租档品获得的利润为L，则

15

L＝[80X＋100(5－X)]×(12－9)－900＝600－60X，

5

所以由600－60X＞500，得X＜，

3又X∈N，所以X＝0,1，

2 3041 8750?1??4?1?1??4?因为P(X＝0)＋P(X＝1)＝C5????＋C5????＝＞＝0.6，

?5??5??5??5?3 1253 125所以在(2)的条件下，可以认为“值得投资”．

解法二：设花市期间所租档口获得的利润为L元，由题知

L＝3Y－900，则

1 4001 380

由3Y－900＞500，得Y＞＞＝460.

33所以利润大于500元时Y可能的取值为480或500.

2561 0242 3041 875

由(2)中法二知P(Y＝480)＋P(Y＝500)＝＋＝＞＝0.6，

6253 1253 1253 125所以在(2)的条件下，可以认为“值得投资”．

12．(2017·高考全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ)．

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 116

经计算得x＝∑xi＝9.97，s＝

16i＝1

116∑ 16i＝1

2

xi－x2

＝

116

16

∑xi－16xi＝1

22

≈0.212，

其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.

^^

用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ，利用估计值判断^^^^

是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．

附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ)，则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.997 4， 0．997 4≈0.959 2，0.008≈0.09.

解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X～B(16,0.002 6)．

因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 4≈0.040 8.

16

16

2

X的数学期望EX＝16×0.002 6＝0.041 6.

(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．

^^

②由x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ＝9.97，σ的估计值为σ＝0.212，由样本^^^^

数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．

1^^^^

剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝

1510.02.

因此μ的估计值为10.02.

16

∑xi＝16×0.212＋16×9.97≈1 591.134，

i＝1

222

1^^^^2

剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为×(1 591.134－9.22

15－15×10.02)≈0.008，

因此σ的估计值为0.008≈0.09.

2

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