信号与系统第二十六讲

第六章信号的空间分析

.基本概念(6.1和6.2节内容)

信号与多维矢量空间

线性(矢量)空间

内积(Innerproduct)空间线性赋范空间

信号能量与矢量(范数)对应

内积运算与正交、相关概念的联系

1

范数(Norm)(p318)

矢量x=(x1,x2......xN)(N维)一般情况下,二阶范数为:x=[∑x

∞

2

n= ∞

2n

∞

]

12

与此对应,在连续信号空间x=[x(t)dt]

∫ ∞2

其平方表示信号的能量

2

12

在二维空间中x2=x+x→即矢量之长度内积(点积)

研究两矢量·相对位置之关系(对应两信号波形之相对关系)

二维矢量空间之关系(推导见p321面)

2

2122

xx=(x1,x2)y=(y1,y2)夹角 1－

2

y1

2

y2

cos( 1 2)=cos 1cos 2 sin 1sin 2

x2y2x1y1

.＝2.221/2221/221/2221/2

(x1+x2)(y1+y2)(x1+x2)(y1+y2)

x1y1x2y2

＝2.21/2221/2

(x1+x2)(y1+y2)

3

x1y1+x2y2=x2y2cos( 1 2)x

此式反映了两矢量之间的相对位置的“校准”情况。

x1y1+x2y2为二维矢量的内积。

y1

2

y2

两矢量夹角90cos( 1 2)=0内积为零两矢量夹角0cos( 1 2)=1内积为最大值

多维情况内积符号及表达式

离散:<x,y>=∑xiyi=xy

T

i=1∞

N

连续:<x.y>=∫ ∞x(t)y(t)dt

4

柯西－施瓦慈（Caycy Schwarz)不等式

<x,y>≤<x,x><y,y>

内积平方小于等于各自范数平方之积。

2

<x,y>

对于二维:=cos( 1 2)

x2y2

<x,y> 1≤≤1

x2y2

<x,y>

≤1

<x,x><y,y>

2

内积空间,信号能量受限。

5

§6.3-6.4信号的正交函数分解

正交矢量 正交函数 正交函数集 帕塞瓦尔定理

6

一、正交矢量

矢量：V1 和 V2 参加如下运算， 是它们Ve的差，如下式：

V1 c12V2=Ve

122

122

7

122

V1V2cosθV1.V2

c12V2=V1cosθ==

V2V2

V1.V2

c12=2

V2

c V2互相接近的程度12表示 V1和

当 ， 完全重合，则VV随夹角增大， c12减小；

1

2

θ=0,c12=1

o当 V2相互垂直θ=90,c12=0， V1和

8

V=Vx+Vy

V=V+V+V9

二维正交集 三维正交集

二、 正交函数

f1(t)≈c12f2(t)(t1<t<t2)

t2122

ε=[f(t) cf(t)]dt1122∫(t1 t2)t1

2dε令则误差能量最小 ε=0

dc12

10

2

t2d 12[f(t) cf(t)]dt=0 1122∫dc12 t2 t1t1

t2 t2d12

f1(t)dt 2∫f1(t)f2(t)dt ∫t1

tt2 t1 dc12

+2c12

∫

t2t1

t2t1

f2(t)dt=0

2

解得

c12

∫=

f1(t)f2(t)dt

t2t1

∫

f(t)dt

11

2

2

正交条件

若c12=0,则f1(t)不包含f2(t)的分量,则称正交。

正交的条件：

∫t

t2

1

f1(t)f2(t)dt=0

12

例：f(t)= +1

(π<t<2π) 1

试用sint 在区间（0，2 π）来近似f(t)

(0<t<π)

-

13

解：

c12=

2π

f(t)sintdt

2π0

2π1π4

=[∫sintdt+∫( sint)dt=

ππ0π

∫

sintda

2

4

f(t)≈sint

π

14

例：试用正弦sint 在（0，2 π）区间内来表示余弦cost显然

∫

所以

2π

costsintdt=0

c12=0

说明cost 中不包含 sint 分量，因此cost 和 sint 正交.

15

三、 正交函数集

n个函数 g1(t),g2(t),Kgn(t)构成一函数集，如在区间 (t1,t2)内满足正交特性，即

∫t∫t

t1

t2

gi(t)gj(t)dt=0

2

(i≠j)

1

g(t)dt=Ki

2i

则此函数集称为正交函数集

16

任意函数由n个正交的函数的线性组合所近似

f(t)≈c1g1(t)+c2g2(t)+L+cngn(t)

=

∑c

r=1

n

r

gr(t)

由最小均方误差准则，要求系数 满足

i

c

ci=

∫

t2

t1

f(t)gi(t)dt

t2t1

∫

gi(t)dt

2

1=Ki

∫

t2

t1

f(t)gi(t)dt

17

在最佳逼近时的误差能量

t21 222

ε=f(t)dt cK∑rr ∫tt2 t1 1r=1

n

]

归一化正交函数集：

∫

ε

t2

t1

g(t)dt=1

1

=f ∫t2 t1 t1

t2

2i

ci=∫f(t)gi(t)dt

t1

2

t2

2

(t)dt

∑

n

cr

2

]

18

r=1

复变函数的正交特性

f1(t)≈c12f2(t)

c12

∫=∫

t2

t1t2t1

f1(t)f(t)dtf2(t)f(t)dt

*2

*2

两复变函数正交的条件是

∫

t2

t1

f1(t)f(t)dt=∫f(t)f2(t)dt=0

t1

19

*2

t2

*1

§6.4 用完备正交集，帕塞瓦尔定理

1 22

ε=f(t)dt cK∑rr ∫t2 t1 t1r=1

2

t2

n

]

limε=0

n→∞

2

f(t)=∑crgr(t)

r=1

20

∞

{}g(t)i另一种定义：在正交集 之外再

没有一有限能量的x(t)满足以下条件

∫

t2

t1

x(t)gi(t)dt=0

三角函数集 {cosnω1t}n→∞

{sin

复指数函数集

nω1t}n→∞

jnω1t

{e}

n→∞

21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f8u4.html