数学精英解题(1-10)

数学精英解

（1-2）数学精英解“集合题”与“函数题”

x?Z2≤21．（07安徽理5）若A?{A．0

B．1

2?x?8}，B?{x?logR

D．3

x1}?2，则A∩(RB)的元素个数为（ ）

C．2

2?x3【解答】：C由A?{x?Z2?2?2}，故A?{x?Z?1?x?1}，

解：B?{x?Rlog2x?1}

得 B?{x?Rlog2x?1或log2x??1} 得 B?{x?Rx?2或0?x?}， 所以RB=?x?R|12??1??x?2或x?0?， 则A∩(RB)={0，1}，故有两个元素. 2?【说明】 对于指数的考查利用单调性来脱去“底”从而比较“幂”的大小是常考的知识点，在第二题中

也要注意对数的定义域，不少的同学因忽视定义域而选择B.

2．（07山东理6）给出下列三个等式：f(xy)?f(x)?f(y)，f(x?y)?f(x)f(y)，

f(x?y)?f(x)?f(y)，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） ．1?f(x)f(y)xA．f(x)?3

B．f(x)?sinx

C．f(x)?log2x

D．f(x)?tanx

【分析】 解决本题的关键是正确熟练的记住这些运算性质，把选项中函数代入验证即可.

【解析】 B

f(xy)?f(x)?f(y)是对数模型， f(x?y)?f(x)f(是指数模型，y)

f(x?y)?f(x)?f(y)是正切的两角和公式的模型. 故选B

1?f(x)f(y)0.21?1?3． (07天津文4)设a?log13，b???，c?23，则（ ）

?3?2A．a?b?c B．c?b?a C．c?a?b

【解答】 解决的关键是选好关键值，如0，1等.

D．b?a?c

?1?A 由a?log13??1，0?b????3?20.2c?2?1可得a?b?c. ?1，

y（毫克） 134．（07湖北理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系

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O 0.1 t（小时）

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?1?式为y????16?t?a（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：

（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ；

（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 【分析】 本题以应用题的形式考查学生的阅读能力，识图能力，本题的关键是(0.1,1)这点，通过此点求两个函数关系式，即可迎刃而解.

【解答】：通过读题可以发现这是一个分段函数前段是正比例函数，后段是指数函数，所以把(0.1,1)分别

?1??10t，0≤t≤??，?10???代入两个解析式可得：y??；第二问通过y?0.25代入指数函数解析式可得求得0.6 1t?1???1?10?，t?????16??10????【说明】：本题的题目简单但是要求审题细致，否则第二问很容易错填

5.（07江苏6）设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x?1对称，且当x?1时，f(x)?3x?1，则有（ ）

Ａ．f???f???f??

23. 40?1??3??3??2??1??3??2??3??3??2?Ｂ．f???f???f??

?2??3??3??2??3??2??2??3??1??3??1??3?Ｃ．f???f???f?? 【解答】 B

?2??3?Ｄ．f???f???f??

由题当x?1时f(x)?3x?1是单调递增函数又它的图像关于直线x?1对称， 所以当x?1时，函数f(x)是单调递减函数，且f()?f(1?)?f(1?)?f()，

32121212112???1， 323112231所以f()?f()?f()即f()?f()?f()

323323因为

【说明】 解决的关键是放到一个单调区间上比较.比较大小是考查指数函数的性质灵活运用的常见题型，

利用单调性比较或是选择关键值进行比较是常用的方法.

x6．（07重庆理13）若函数f(x)?22?2ax?a?1的定义域为R，则?的取值范围为______．

【分析】 解题关键是正确转化题干的含义.

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【解答】 f(x)?22x2?2ax?a?1的定义域为R，可知x?R，2x2?2ax?a?1恒成立，

即x?2ax?a?0恒成立， 即??4a?4a?0得a???10，?.

2

7.（07上海理4）方程 9x?6?3x?7?0的解是 ．

x2【解答】 令t?3，t?0，则方程变为t?6t?7?0，解得t??1(舍去）,t?7，故3x?7,x?log37

【说明】 指数方程不等式在利用换元法解决问题时应特别注意换元后的新元的取值范围.指数与对数的相互转化是高考命题的一大热点.

8．(07天津理5) 函数y?log2(x?4?2)(x?0)的反函数是（ ）

Ａ.y?4x?2x?1(x?2) Ｂ.y?4x?2x?1(x?1) Ｃ.y?4x?2x?2(x?2) Ｄ.y?4x?2x?2(x?1) 【解答】 C 由y?log2(x?4?2)(x?0)， 解得 x?4y?2y?2x )(?0x?2得 y?4x?2. )x(?2

9.（07全国卷1理14）函数y?f(x)的图像与函数y?log3x(x?0)的图像关于直线y?x对称，则

f(x)? ．

x【解答】 3( 函数y?log3x(x?0)关于直线y?x对称的函数就是y?log3x(x?0)的反函x?R)数，故应填3x(x?R)，请注意定义域.

10.（07四川理2）函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是

【解答】C 通过特殊点来判断图像f(x)过点(1,1)，g(x)过点(0,2)可得选C.

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（3）数学精英解“数列”题

1．（广东卷第5题）已知数列｛an｝的前n项和Sn?n2?9n，第k项满足５＜ak＜８，则k= （A）9 （B）8 （C）7 （D）6 解答： B

此数列为等差数列，an?Sn?Sn?1?2n?10，由5<2k-10<8得到k=8.

2．（天津卷第8题）设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k?（ ） Ａ．2

Ｂ．4

Ｃ．6

Ｄ．8

解答： 由题意得，an=（n+8）d,a2k?a1a2k, ∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4. 答案为B. 3．（湖北卷第6题）若数列{an}满足

2an?12an?p(p为正常数，n?N*),则称{an}为“等方比数列”.

甲：数列{an}是等方 比数列；乙：数列{an}是等比数列.则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件; B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件; D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解答：

an?1??p，所以此数列{an}并不是等比数列； an2an?12an?1若{an}是等比数列，则

?an?1?2????q，数列{an}是等方 比数列. 答案为B. ?a??n?2【说明】 1，2，4，8，-16，-32，??是等方 比数列，但不是等比数列.

4．（湖北卷第8题）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且

An7n?45a，则使得n?bnBnn?3为整数的正整数n的个数是

A.2 B.3 C.4 D.5 解答： 运用中值定理，S2n?1?(2n?1)an.

an?2n?1?anA2n?17?2n?1??4514n?387n?1912 ??????7?bn?2n?1?bnB2n?12n?2n?1n?1?2n?1??3可见，当且仅当n=1，2，3，5，11时，

an为正整数. 答案为D. bn 5．（辽宁卷第4题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（ ）

A．63 B．45 C．36 D．27 解析1：设等差数列首项为a1，公差为d，

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3?2?3a?d?9,??12则??6?5?6a?d?36.1?2??a?1, ∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=33(1+732)=45. 解得??1d?2.?解析2：由等差数列的性质知：

S′3=S6-S3=36-9=27，d′=S′3-S3=27-9=18. ∴S〞3=S3+2d′=9+2×18=45. 答案为B. 6．（福建卷第2题）数列{an}的前n项和为Sn，若an?A．1

B．

1，则S5等于（ ）

n(n?1)1 305 6 C．

1 6 D．

解答： 由an?111，得an??，

n(n?1)nn?115?1??11??11??11?S5?a1?a2?a3?a4?a5???1???????????????1???. 答案为B.

223344566????????

7.（全国卷Ⅰ第15题）等比数列?an?的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则?an?的公比为 ．

解法一：将S2=（1+q）S1,S3=（1+q+q2）S1代入4S2?S1?3S3，得3q2?q?0. 注意到q≠0,得公比q=.

解法二：由题设得4S2?S1?3S3,即4(a1?a2)?a1?3(a1?a2?a3), 化简得a2=3a3，故公比q=

13a31?. a23a31?. a23解法三：由4S2=S1+3S3，得S2-S1=3（S3-S2）,即a2=3a3,故公比q=

，2，3，…． 8．（全国卷Ⅰ第22题）已知数列?an?中a1?2，an?1?(2?1)(an?2)，n?1（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?bn?中b1?2，bn?1?3bn?4，2，3，…， ，n?12bn?3，2，3，…． 证明：2?bn≤a4n?3，n?1解答：（Ⅰ）解法1：由题设：

an?1?(2?1)(an?2)

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