5.3 - 同角三角比的关系和诱导公式 - 图文

5.3同角三角比的关系和诱导公式

1．公式: sin??cos??1

2222sin??tan? tan??cot??1 cos?2．推广：sin??cos??1这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有：

sec2??tan2??1 csc2??cot2??1

3.

sin?cos??tan?这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有：?cot? cos?sin?4.tan??cot??1这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：csc??sin??1

sec??cos??1

第二组诱导公式的推导

由负角的定义，可知角α与角－α的终边关于x轴对称（如图）。在角α的终边上取一点P，使ＯＰ的长为１，此时点P的坐标为（cosα，sinα）。点P关于x轴的对称点P?（cosα，－sinα）一定在角－α的终边上，且OP?的长为1，因此点P?的坐标又可表示为（cos（－α），sin（－α））

所以有sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

由三角比的商数关系得：tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

第三组诱导公式的推导

将角α的终边绕着原点O按逆时针方向旋转π弧度，得到角π＋α的终边，可知角α和角π＋α的终边关于原点O对称得： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα

第四组诱导公式的推导

sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα

例1.已知sin??2cos?，求下列各式的值：

sin??4cos?2（1） （2）sin??2sin?cos?

5sin??2cos?

例2.已知

tan?tan??6??1，求下列各式的值：

（1）1?3sin?cos??3cos? （2）

例3.已知f(?)?22cos??3cos?

3cos??4sin?sin(???)cos(2???)tan(2???)

3?tan(????)cos(???)2（1） 若???1860，求f(?) （2） 若cos(??

例4.已知sin(?3?3)?，求f(?)的值。 25??)?lg1cos(3???)cos(??2?)?，求 33cos(??)[cos(???)?1]10cos?sin(???)?cos?2

例5.化简

sin(k???)cos[(k?1)???],k?Z

sin[(k?1)???]cos(k???)1?cos4??sin4?例6. 化简：

1?cos6??sin6?

例7.已知关于x的方程2x2?(3?1)x?m?0的两个根为sin?与cos?且???0,??，求：

sin2?cos?（1）的值. （2）m的值. （3）tan?的值. ?sin??cos?1?tan?

?1例8.已知??x?0,sinx?cosx?

25xxx3sin2x?2sincos?cos2222（1） 求sinx?cosx的值 (2) 求的值.

1tanx?tanx

【练习】 1. cos(?17?17?)?sin(?)的值是 。 44?cos???5，则tan?? 。

?sin???1，则角?是第 象限角 11?2tan?2. 若2sin?3. 若cos?1?tan2?4. 已知f(x)?asin(?x??)?bcos(?x??)，其中?、?、a、b均为非零实数，若f(2008)??1，则

f(2009)= 。

5. 已知A?sin(k???)cos(k???)?(k?Z)，则A的值构成的集合是 。

sin?cos?6. sin(??????)sin(2??)?sin(3??)???sin(2010??)的值等于 。 6666sinxcosxtanx??的值域为 。 |sinx||cosx||tanx|27. 函数y?8. 若sin??sin??1，则cos2??cos6?? 。

9. 已知sin(??k?)??2cos(??k?),k?Z，求：

4sin??2cos?1222sin??cos? （1）； （2）

5cos??3sin?45

10. 已知sin(3???)?2cos(和?的值。

3?,??????),3cos(??)??2cos(???)，且0????02，求?参考答案： 例1

例2

例3

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