南京市2012年高三第一次模拟考试(word版有答案)

高三考试卷

南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位

置上. 1.已知集合A 1,3 ,B 1,2,m ,若A B,则实数m= ▲ . 2.若(1 2i)i a bi(a,b R,i为虚数单位),则ab= ▲ .

∥b,则实数x= ▲ . 3.若向量a (2,3),b (x, 6),且a

4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 ▲ . 5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为

第5题

[0,10),[10,20), ,[80,90),[90,100]).则在本次竞赛中,得分不低

于80分以上的人数为 ▲ .

6.在 ABC中,已知sinA:sinB:sinC 2:3:4,则cosC ▲ .

7.根据如图所示的伪代码,当输入a的值为3时,最后输出的S的值 为 ▲ .

第7题

∥CD,l为空间一直线,则“l垂直于两腰AD,BC”是8.已知四边形ABCD为梯形, AB

“l垂直于两底AB,DC”的 ▲ 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).

9.函数f(x) (x2 x 1)ex(x R)的单调减区间为 ▲ . 10.已知f(x) a ▲ .

1

是定义在( , 1] [1, )上的奇函数, 则f(x)的值域为 2x 1

11.记等比数列 an 的前n项积为Tn(n N*),已知am 1am 1 2am 0,且T2m 1 128,

则m ▲ .

12.若关于x的方程kx 1 lnx有解,则实数k的取值范围是 ▲ .

x2y2

13.设椭圆C:2 2 1(a b 0)恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值▲ .

ab

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14.

设a b c x y,若对任意的正实数x,y,都存在以a,b,c为三边长的三角形,

则实数p的取值范围是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)

已知函数f(x) xcosx cosx (x R). (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间[0,

2

12

4

]上的函数值的取值范围.

16．(本小题满分14分)

如图,在四棱锥P ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA PC,E为PB的中点.

∥面AEC； (1)求证:PD

(2)求证:平面AEC 平面PDB.

E

C

B

第16题

17．(本小题满分14分)

在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长6分米的材料弯折而成,BC边的长为2t分米(1 t

3)；2

曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种:曲线C1是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为y cosx 1),此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线,其焦点到

9

,此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t). 8

(1)试分别求出函数h1(t)、h2(t)的表达式；

(2)要使得点O到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?

准线的距离为

第17题

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18．(本小题满分16分)

x22y2

1的右顶点, 点D(1,0),点P,B在椭圆上, 如图,在平面直角坐标系xoy中,已知点A为椭圆99

BP DA.

(1)求直线BD的方程；

(2)求直线BD被过P,A,B三点的圆C截得的弦长；

(3)是否存在分别以PB,PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明

理由.

第18题

19．(本小题满分16分)

对于函数f(x),若存在实数对(a,b),使得等式f(a x) f(a x) b对定义域中的每一个x都成立,

则称函数f(x)是“(a,b)型函数”.

(1)判断函数f(x) 4是否为“(a,b)型函数”，并说明理由；

x

(2)已知函数g(x)是“(1,4)型函数”, 当x [0,2]时,都有1 g(x) 3成立,且当x [0,1]时,

g(x) x2 m(x 1) 1(m 0),若,试求m的取值范围.

20．(本小题满分16分)

已知数列 an 满足a1 a(a 0,a N*),a1 a2 an pan 1 0(p 0,p 1,n N*). (1)求数列 an 的通项公式an；

差为dk.

(2)若对每一个正整数k,若将ak 1,ak 2,ak 3按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公 ①求p的值及对应的数列 dk ．

②记Sk为数列 dk 的前k项和，问是否存在a,使得Sk 30对任意正整数k恒成立?若存在,求出

a的最大值；若不存在,请说明理由．

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数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定

区域内.

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A.（选修4—1：几何证明选讲）

如图， O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交 O于点E，过E 点的圆的切线交CA的延长线于P.

B

2

求证：PD PA PC.

D

A C P O

E

B．（选修4—2：矩阵与变换）

1

10 12 ，若矩阵AB对应的变换把直线l：x y 2 0变为直线l'，求,B 已知矩阵A 02 01

直线l'的方程.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆C

的方程为 平面直角坐标系，直线l的参数方程为 D.（选修4—5：不等式选讲） 已知x、y、

z

4

)，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立

x t 1

（t为参数），求直线l被 C截得的弦AB的长度.

y t 1

111 ) xyz

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）

如图所示,在棱长为2的正方体AC1中,点P、Q分别在棱BC、CD上,满足B1Q D1P,

且PQ(1)试确定P、Q两点的位置.

(2)求二面角C1 PQ A大小的余弦值.

B1

C

第22题

D

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23．（本小题满分10分）

已知整数n≥4,集合M 1,2,3, ,n 的所有3个元素的子集记为A1,A2, ,AC3.

n

(1)当n 5时,求集合A1,A2, ,AC3中所有元素之和.

5

(2)设mi为Ai中的最小元素,设Pn=m1 m2 mC3,试求Pn.

n

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数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

11

5.120 6. 7.21 8.充分不必要 9.( 2, 1)(或闭区间) 24

31131

10.[ , ) (,] 11.m 4 12.( ,2]

2 14. (1,3)

2222e

1.3 2. 2 3. －4 4.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解: (1)

因为f(x)

1

2x cos2x……………………………………………………………4分 22

2 sin(x

6

)……………………………………………………………………………………………6分

故f(x)的最小正周期为 ………………………………………………………………………………8分

,]…………………………………………………………………10分

6631故所求的值域为[ ………………………………………………………………………………14分

2∥EO…………4分 16．（1）证明:设AC BD O,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以PD

∥面AEC…………………………………………………7分 而PD 面AEC,EO 面AEC,所以PD

(2)连接PO,因为PA PC,所以AC PO,又四边形ABCD是菱形,所以AC BD…………10分 而PO 面PBD,BD 面PBD,PO BD O,所以AC 面PBD……………………………13分 又AC 面AEC,所以面AEC 面PBD……………………………………………………………14分 17．解:(1)对于曲线C1,因为曲线AOD的解析式为y cosx 1,所以点D的坐标为(t,cost 1)……2分 所以点O到AD的距离为1 cost,而AB DC 3 t,

3

则h1(t) (3 t) (1 cost) t cost 4(1 t )…………………………………………………4分

2

942422

对于曲线C2,因为抛物线的方程为x y,即y x,所以点D的坐标为(t, t)………2分

499

42423

所以点O到AD的距离为t,而AB DC 3 t,所以h2(t) t t 3(1 t )……………7分

929

3

(2)因为h1 (t) 1 sint 0,所以h1(t)在[1,]上单调递减,所以当t 1时,h1(t)取得最大值

2

为3 cos1…………………………………………………………………………………………………9分

49239335

又h2(t) (t ) ,而1 t ,所以当t 时,h2(t)取得最大值为……………………11分

9816222

4

(2)当x [0,

]时,2x

[

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115,所以3 cos1 3 , 3222

35

故选用曲线C2,当t 时,点E到BC边的距离最大,最大值为分米……………………………14分

22

18．解: (1)因为BP DA,且A(3,0),所以BP DA=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,

从而得P(1,2),B( 1,2)……………………………………………………………………………………3分 所以直线BD的方程为x y 1 0………………………………………………………………………5分 (2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为y x 1,

因为cos1 cos

所以圆C的圆心为(0,－1),且圆C

的半径为r 8分 又圆心(0,－1)到直线BD

的距离为d ,所以直线BD被圆C截得的弦长

为 ……………………………………………………………………………………10分 (3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线y x 1上,当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN…………………………………………………………………………………………12分 设M(0,b),则N(2,4 b),根据N(2,4 b)在直线y x 1上,

解得b 3…………………………………………………………………………………………………14分

所以M(0,3),N(2,1),PM PN ,故存在这样的两个圆,且方程分别为

x2 (y 3)2 2,(x 2)2 (y 1)2 2………………………………………………………………16分 19．解: (1)函数f(x) 4x是“(a,b)型函数”…………………………………………………………2分

a

因为由f(a x) f(a x) b,得16 b,所以存在这样的实数对,如a 1,b 16………………6分

4

(2) 由题意得,g(1 x)g(1 x) 4,所以当x [1,2]时, g(x) ,其中2 x [0,1],

g(2 x)

m22

而x [0,1]时,g(x) x m(1 x) 1 x mx m 1 0,且其对称轴方程为x ,

2

m

① 当 1,即m 2时,g(x)在[0,1]上的值域为[g(1),g(0)],即[2,m 1],则g(x)在[0,2]上的值域

2

m 1 3

44 ,2] [,m 1],由题意得 4为[2,m 1] [,此时无解………………………11分 m 1m 1 1 m 1

1mmm2

1,即1 m 2时,g(x)的值域为[g),g(0)],m 1],所以则g(x)在②当 ,即[m 1 2224

4

3 m244m2

,m 1] [,],则由题意得 m 1 [0,2] 上的值域为[m 1 且2

m4m 14 m 1

4 m 1 3

m2m 1 1 4,解得1 m 2……………………………………………………………………13分

4 1 m 1

m1mm2

,即0 m 1时,g(x)的值域为[g(),g(1)],即[m 1 ,2],则g(x)在[0,2]上③ 当0

2224

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m2

,2] [2,的值域为[m 1 4

m24

][m 1 ,], =m2m24m 1 m 1

44

4

m2

m 1 4 1 则 ,

解得2 m 1. 4

33 m2

m 1 4

综上所述,所求m

的取值范围是2 m 2…………………………………………………16分

20．解:(Ⅰ)因为a1 a2 an pan 1 0,所以n 2时, a1 a2 an 1 pan 0,两式相减,得an 1p 1p 1

的等比数列…………………………3分 (n 2),故数列 an 从第二项起是公比为panp

a

(n 1)a

又当n=1时,a1 pa2 0,解得a2 ,从而an ap 1n 2…………………………5分

p p(p)(n 2)

ap 1k 1ap 1kap 1k 1

),ak 2 (),ak 3 (), (2)①由(1)得ak 1 (

pppppp

1p 1p 1

1或 2,解得p …………6分 [1]若ak 1为等差中项,则2ak 1 ak 2 ak 3,即

3pp

此时ak 1 3a( 2)k 1,ak 2 3a( 2)k,所以dk |ak 1 ak 2| 9a 2k 1……………………8分

p 1

1,此时无解………………………………9分 p

2p 1p 11

1或 ,解得p , [3]若ak 3为等差中项,则2ak 3 ak 1 ak 2,即

3pp2

3a1k 13a19a1k 1

( ),ak 3 ( )k 1,所以dk |ak 1 ak 3| ()……………11分 此时ak 1 222282129a1k 1

()…………………………………12分 综上所述,p , dk 9a 2k 1或p ,dk

3382110

②[1]当p 时,Sk 9a(2k 1),则由Sk 30,得a , k

33(2 1)10

1,所以必定有a 1,所以不存在这样的最大正整数……………………14分 当k 3时,

3(2k 1)29a1404040

(1 ()k),则由Sk 30,得a [2]当p 时,Sk ,因为,所以

342

3(1 ()k)3(1 )k)3

2240

a 13满足Sk 30恒成立；但当a 14时,存在k 5,使得a 即Sk 30,

k

3(1 ())

2

所以此时满足题意的最大正整数a 13……………………………………………………………16分

[2]若ak 2为等差中项,则2ak 2 ak 1 ak 3,即

数学附加题部分

21．A. 证明：连结OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因为

OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC于点O，所以∠OBE+∠BDO=900……………5分 故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，又因为PE切⊙O于点E，所以PE2=PA·PC，

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故PD2=PA·PC………………………………………………………………………………………10分

1

2 ……3分, 在直线l上任取一点P(x ,y )，经矩阵AB变换为 2

1

1 1 1x x y xx yx x y x 1 4

点Q(x,y)，则 ……………8分 2 2 ，∴ 2，即

yyy 02 y 2y y 2y 2

1y

代入x y 2 0中得x y 2 0,∴直线l 的方程为4x y 8 0…………………10分

42

C. 解： C的方程化为 4cos 4sin ，两边同乘以 ，得 2 4 cos 4 sin

10 1

B. 易得AB 02 0

由 2 x2 y2, x cos , y sin ,得x2 y2 4x 4y 0………………………………5分 其圆心C坐标为(2,2)

，半径r 又直线l的普通方程为x y 2 0,

1

12 1 0

∴弦长AB 10分 1111112222

D. 证明:由柯西不等式得(1 1 1)(2 2 2) ( )……………………………………5分

xyzxyz

∴圆心C到直线l

的距离d

111111,

即 ) ………………………10分 xyz3xyz22. 解:(1)以AB, AD, AA1为正交基底建立空间直角坐标系A xyz,

设CP a (0 a,

则CQ P(2,2 a,0),

Q(2,B1Q (2, 2),D1P (2, a, 2),

∵B1Q D1P,∴BQ∴ 2a 4 0，解得a 1……………………………4分 1 D1P 0，

∴PC=1,CQ=1,即P、Q分别为BC, CD中点…………………………………………………………5分

(2)设平面C1PQ的法向量为n (a,b,c)，∵PQ ( 1 ,1,0), PC1 (0,1,2),又n PQ n PC1 0，

a b 0

c 1a b 2∴ ，令，则,n (2,2, 1)………………………………………………8分

b 2c 0

11

∵k (0,0, 2)为面APQ的一个法向量,∴cos n,k ,而二面角为钝角,故余弦值为 ……10分

33

2

23.（1）解：当n 5时，含元素1的子集有C4 6个，同理含2,3,4,5的子集也各有6个,

2 于是所求元素之和为(1 2 3 4 5) C4 6 15 90……………………………………………5分 2 （2）证明:不难得到1 mi n 2, mi Z，并且以1为最小元素的子集有Cn以2为最小元素的 1个，222

n 2为最小元素的子集有C2子集有Cn个, 2个，以3为最小元素的子集有Cn 3，…，以

2222

则Pn m1 m2 mC3 1 Cn 1 2Cn 2 3Cn 3 (n 2)C2………………………………8分

n

222222222

(n 2)C2 (n 3)C3 (n 4)Cn Cn C (n 3)(C C) (n 4)C C 12234n 1 232222322 C2 (n 3)(C3 C3) (n 4)C4 Cn C (n 3)C (n 4)C C 1244n 1

233222332 C2 C4 (n 4)(C4 C4) Cn 1 C2 C4 (n 4)C5 Cn 1

43334 C4 C4 C5 Cn Cn 1……………………………………………………………………10分

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