2018届中考数学二轮复习第19课时《抛物线中的一个动点问题》

第19课时 抛物线中的一个动点问题

(40分)

1．(20分)[2017·酒泉]如图6－3－1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.

(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式； (2)连结AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点

B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

(3)连结OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．

【解析】 (1)用待定系数法，将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，解得a，b，即可求出二次函数的表达式；

(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)，则BN＝n＋2，CN＝8－n.由题意可知，BC＝10，OA＝4，S△ABC＝20，S△ABN＝2(n＋2)，因MN∥AC，根据平行AMNC8－n

线分线段成比例定理可得AB＝BC＝10，由△AMN，△ABN是同高三角形，S△AMNAMCN8－n可得出＝＝＝10，从而得出△AMN的面积S与n的二次函数关

S△ABNABCB系式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大；

(3)当N(3，0)时，N为BC边中点，由NM∥AC推出M为AB边中点，根据直1

角三角形中线定理可得OM＝2AB，利用勾股定理，易得AB＝25，AC＝1

45，即可求出OM＝4AC.

图6－3－1

1

??4a－2b＋4＝0，

解：(1)将点B，点C的坐标分别代入y＝ax＋bx＋4，得?

??64a＋8b＋4＝0，

13

解得a＝－4，b＝2.

13

∴该二次函数的表达式为y＝－4x2＋2x＋4；

2

(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)； 则BN＝n＋2，CN＝8－n. ∵B(－2，0)，C(8，0)，∴BC＝10. 令x＝0，得y＝4，∴A(0，4)，OA＝4， AMNC8－n

∵MN∥AC，∴AB＝BC＝10.

1

∵OA＝4，BC＝10，∴S△ABC＝2BC·OA＝20.

11

S△ABN＝2BN·OA＝2(n＋2)×4＝2(n＋2)， S△AMNAM8－n又∵＝＝，

10S△ABNAB

8－n11

∴S△AMN＝10S△ABN＝5(8－n)(n＋2)＝－5(n－3)2＋5. ∴当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大； (3)当N(3，0)时，N为BC边中点．∴M为AB边中点， 1

∴OM＝2AB，∵AB＝AC＝

OC2＋OA2＝OB2＋OA2＝4＋16＝25，

64＋16＝45，

11∴AB＝2AC，∴OM＝4AC.

2．(20分)[2016·贵港]如图6－3－2，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的表达式；

2

图6－3－2

(2)若E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标； (3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)把A，B两点坐标代入表达式，可得 1a＝???3，?25a－5b－5＝0，

?解得?

2??9a＋3b－5＝0，??b＝3，12

∴抛物线的表达式为y＝3x2＋3x－5；

12

(2)在y＝3x2＋3x－5中，令x＝0，可得y＝－5， ∴点C坐标为(0，－5)，

∵S△ABE＝S△ABC，且点E在x轴下方， ∴点E纵坐标和点C纵坐标相同， 12

当y＝－5时，代入可得3x2＋3x－5＝－5， 解得x＝－2或x＝0(舍去)， ∴点E坐标为(－2，－5)；

12??

(3)假设存在满足条件的P点，其坐标为?m，3m2＋3m－5?，

??

如答图，连结AP，CE，AE，过点E作ED⊥AC于点D，过点P作PQ⊥x轴于点Q，

则AQ＝AO＋OQ＝5＋m， 2?1?

PQ＝?3m2＋3m－5?，

??

在Rt△AOC中，OA＝OC＝5， 则AC＝52，∠ACO＝∠DCE＝45°，

由(2)可得EC＝2，在Rt△EDC中，可得DE＝DC＝2， ∴AD＝AC－DC＝52－2＝42，

3

第2题答图

当∠BAP＝∠CAE时，则△EDA∽△PQA， EDPQ2∴AD＝AQ，即＝

42

?122??3m＋3m－5???

5＋m

，

121121

∴3m2＋3m－5＝4(5＋m)或3m2＋3m－5＝－4(5＋m)，

12115

当3m2＋3m－5＝4(5＋m)时，整理可得4m2＋5m－75＝0，解得m＝4或m＝－5(与点A重合，舍去)，

1219

当3m2＋3m－5＝－4(5＋m)时，整理可得4m2＋11m－45＝0，解得m＝4或m＝－5(与点A重合，舍去)，

915

∴存在满足条件的点P，其横坐标为4或4.

(40分)

3．(20分)[2016·南宁]如图6－3－3，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)求证：△ABC是直角三角形；

(3)若N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与

抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】 (1)∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线表达式为y＝a(x－1)2＋1，

又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x， 联立抛物线和直线表达式，可得

图6－3－3

4

2???y＝－x＋2x，?x＝2，??x＝－1，

?解得?或? ????y＝x－2，?y＝0?y＝－3，

∴B(2，0)，C(－1，－3)；

(2)证明：如答图，分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于D，E两点， 则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3， EC＝3.

∴∠ABO＝∠CBO＝45°，即∠ABC＝90°， ∴△ABC是直角三角形；

(3)假设存在满足条件的点N，设N(x，0)，则M(x， －x2＋2x)，

∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|，

由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝2，BC＝32， ∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC＝∠MNO＝90°， MNONMNON∴当△ABC和△MNO相似时有AB＝CB或CB＝AB， |－x2＋2x||x|MNON

①当AB＝CB时，则有＝，

2321

即|x|·|－x＋2|＝3|x|，

∵当x＝0时M，O，N不能构成三角形，∴x≠0， 11∴|－x＋2|＝，即－x＋2＝±，

3357

解得x1＝3，x2＝3，

?5??7?

此时点N坐标为?3，0?或?3，0?；

????|－x＋2x||x|MNON

②当CB＝AB时，则有＝，

322

2

第3题答图

即|x|·|－x＋2|＝3|x|，

5

∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3， 解得x＝5或－1，

此时点N坐标为(－1，0)或(5，0)，

?5??7?

综上可知，存在满足条件的点N，其坐标为?3，0?或?3，0?或(－1，0)或(5，

????0)．

4．(20分)[2017·泸州]如图6－3－4，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点． (1)求该二次函数的表达式；

(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标； (3)点P是该二次函数图象上位于第一象限内的一个动点，连结PA分别交BC，y轴于点E，F，若

图6－3－4

△PEB，△CEF的面积分别为S1，S2，求S1－S2的最大值． 【解析】 (1)根据待定系数法求解；

(2)设直线BD与y轴的交点为M(0，t)．根据tan∠MBA＝tan∠CAO列关于t的方程求解t，从而可确定直线BD表达式，再求直线BD与抛物线交点坐标即可，注意分类讨论；

(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，设P(t，at2＋bt＋c)，根据直线BC表达式点H的坐标，计算线段PH长度；用t表示直线AP表达式，解出点E，F坐标从而可表示出线段CF，将S1－S2用t表示，根据二次函数性质求最值．

解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－4)，∵抛物线图象过点C(0，2)，1

∴－4a＝2，解得a＝－2.

1

∴抛物线的表达式为y＝－2(x＋1)(x－4)，

6

13

即y＝－2x2＋2x＋2；

(2)设直线BD与y轴的交点为M(0，t)． ∵∠DBA＝∠CAO，∴∠MBA＝∠CAO， |t|

∴tan∠MBA＝tan∠CAO＝2，∴4＝2，即t＝±8. 当t＝8时，直线BD表达式为y＝－2x＋8. ??y＝－2x＋8，?x1＝4，??x2＝3，联立?解得? ? 123

?y1＝0；??y2＝2.?y＝－2x＋2x＋2，?∴D(3，2)．

当t＝－8时，直线BD表达式为y＝2x－8.

?y＝2x－8，

联立? 123

?y＝－2x＋2x＋2，

??x1＝4，??x2＝－5，解得? ?∴D(－5，－18)．

??y1＝0；??y2＝－18.综上：点D的坐标为(3，2)或(－5，－18)； (3)如答图，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，131??

设P?t，－2t2＋2t＋2?， 直线BC的表达式为y＝－2

??

1??x＋2，则H?t，－2t＋2?， 第4题答图 ??

12

∴PH＝yP－yH＝－2t＋2t；

1?1?

直线AP的表达式为y＝?－2t＋2?(x＋1)，取x＝0，得y＝2－2t；

??

1?1?1??

故F?0，2－2t?，CF＝2－?2－2t?＝2t；

????

t??2－??y＝（x＋1），??2??t

联立?解得xE＝，

15－t

??y＝－2x＋2，

7

1

∴S1＝2(yP－yH)(xB－xE) 1?12??4－t?

?， ＝2?－2t＋2t??

5－t????1tt

S2＝2·. 2·5－t

1?12525?8?216??4－t?1tt

?－··＝－t＋4x＝－?t－5?＋. ∴S1－S2＝2?－2t＋2t??

44?55－t?225－t????816

∴当t＝时，S1－S2有最大值，最大值为.

55

(20分)

5．(20分)[2016·金华]在平面直角坐标系中，O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y＝ax2相交于A，B两点(点B在第一象限)，点D在AB的延长线上． (1)已知a＝1，点B的纵坐标为2.

①如图6－3－5①，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长；

1

②如图②，若BD＝AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该

2抛物线的函数表达式；

(2)如图③，若BD＝AB，过O，B，D三点的抛物线L3的顶点为P，对应函数a3的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴交抛物线L于E，F两点，求a的值，AB

并直接写出EF的值．

图6－3－5

解：(1)①对于二次函数y＝x2，当y＝2时，2＝x2，解得x1＝2，x2＝－2，∴AB＝22.

8

∵平移得到的抛物线L1经过点B，∴BC＝AB＝22， ∴AC＝42；

②如答图①，记抛物线L2的对称轴与AD相交于点N. 12

根据抛物线的轴对称性，得BN＝2DB＝2，

32

∴OM＝2.

?32?2

?. 设抛物线L2的函数表达式为y＝a2·?x－

2??由①得，点B的坐标为

(

2，2，

)

?32?2

?，解得a2＝4. ∴2＝a2·?2－

2??

?32?2

?； ∴抛物线L2的函数表达式为y＝4?x－

2??即y＝4x2－122x＋18.

① ②

第5题答图

(2)如答图②，设抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点B作BK⊥x轴于点K.

设OK＝t，则AB＝BD＝2t，点B的坐标为(t，at2)， 根据抛物线的轴对称性，得OQ＝2t，OG＝2OQ＝4t. 设抛物线L3的函数表达式为y＝a3x(x－4t)，

9

∵该抛物线过点B(t，at2)，∴at2＝a3t(t－4t)， a31

又∵t≠0，∴a＝－3，

由题意得，点P的坐标为(2t，－4a3t2)，则－4a3t2＝ax2， 232343AB3

解得x1＝3t，x2＝－3t，EF＝3t，∴EF＝2.

10

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