第九章多元函数微分学习题简解

基本训练1

1．设函数f(x,y)?2xyx?y22，求f?1,??y??． x?答案：

2xyx?y22

2．求下列函数的定义域：

（1）z?ln?y2?4x?8?； 答案：{(x,y)|y2?4(x?2)}； （2）z?

（3）z?arcsinyx21x?y?1x?y； 答案：{(x,y)|x?|y|}；

； 答案：{(x,y)||y|?|x|且x?0}

23．求下列极限： （1）lim

sin(xy)xx?y22； 提示：分母有理化；答案：2

x?0y?0x?y?1?1（2）lim； 答案：0

x?0y?0（3）lim

x?0y?0?3x?ysin?1xcos1y． 提示：无穷小与有界函数之积仍是无穷小； 答案：0

4．证明极限limx?yx?y不存在：

x?0y?0提示：令(x, y) 沿不同的路径y?kx趋向于原点，极限等于不同的值.

5．函数z?1x?y在何处是间断的？

答案：在位于xOy平面的直线y = x上.

xy?,?26．讨论函数z??x?y2?0,?x?yx?y222?0?0的连续性．

2提示：选取直线y?kx， 则

(x,y)?(0,0)x2?y2y?kxlimxy?lim?222(x,y)?(0,0)x?kx1?ky?kxkx2k

随着k的变化而变化，即

7．求下列函数的偏导数： (1) z?x?y?x?y22lim(x,y)?(0,0)xxy2?y2不存在，函数在除(0,0)外任一点都连续.

；

第八章 多元函数微分学 第 2 页 共 18 页 答案：

?z?x?1?xx?y22，

?z?y?1?yx?y22

（2）z?lntanxy； 1答案：

?z?x?ysinxyycosxy，

?z?y?ysin2?xxycosxy

（3）z?arctanx；

yy答案：

?z?x?yx2y2x(1?x)，

?z?y?x2lnx2(1?x)y

（4）z?sec(xy)；

答案：

?z?x?ytan(xy)?sec(xy)，

?z?y?xtan(xy)?sec(xy)

2?xy,?8．设f(x,y)??x4?y4?0,?x?yx?y444?0?0，证明函数f(x,y)在(0,0)处偏导数存在，但不连续．

0?0x4简解： fx(0,0)?lim同理fy(0,0)?0； 但k?0时，所以函数在(0,0)处不连续．

f(x,0)?f(0,0)xlimxy424?limx?0?0，

kx434x?0?lim(x,y)?(0,0)xy?kx??(x,y)?(0,0)xy?kx,

?y?kx第八章 多元函数微分学 第 3 页 共 18 页 基本训练2

1．求下列函数的二阶偏导数： (1) z?x2y，求

?z?x22，

?z?x?y2；

答案：

?z?x22?2y(2y?1)x2y?2，

?z2?z?x?y2?2x2y?1(1?2ylnx)

(2) z?xsiny?ysinx，求

33?x?y；

答案：3x2cosy?3y2cosx

(3) z?xln(xy)，求

?z?x?y23．

答案：0

2．设r?x?y?z222，证明

?r?x22??r?y22??r?z22?2r2．

r?x??r22?r?x?y简解： 同理可得

?r?x?xx2?y22?z2?xr，

?r?x222?zr32，

?r?y2?2x2?zr322,

2?r?z2?2x?yr32，

2因此

?r?x2??r?y2??r?z2?2(x?yr2?z)2r3

3．求下列函数的全微分：

xydx?xdy(1) z?arcsin； 答案：

22y|y|y?x 22（2）z?ln(x?y)，求dz (3) u?x

234．求函数z?xy当x?2，y??1，?x?0.02，?y??0.01时的全增量及全微分．

(1,1)； 答案：dx?dy

?yz?dx?zlnxdy?ylnxdz??x?yz． 答案：xyz?

答案：?z??0.20404,dz??0.2.

*5．设有一圆柱，它的底圆半径r由2cm增加到2.05cm，其高h由10cm减少到9.8cm，试确定其体积的近似变化．

第八章 多元函数微分学 第 4 页 共 18 页 6．设z?u2v?uv2，而u?xcosy，v?xsiny，求

?z?x，

?z?y．

答案：

?z?y?z?x3?32xsin2y(cosy?siny)，

233??xsin2y(cosy?siny)?x(sinyx?cos3y)

7．设z?，而x?et，y?1?e2t，求

dz． 答案：?e?t?et．

xdt8．设z?arctan(xy)，而y?ex，求

dzdx．

ex答案：(1?x)1?x2e2x．

第八章 多元函数微分学 第 5 页 共 18 页 基本训练3

1．设u?eax(y?z)2a?1，而y?asinx，z?cosx，求

，求

?z?xdudx． 答案：eaxsinx．

2．设z??2x?3y?(x?4y)，

?z?y．

x?4y?1两边取对数 答案：

?z?y?z?x?2(x?4y)?2x?3y?x?4y?1??2x?3y?x?4yln(2x?3y)，

?3(x?4y)?2x?3y??4?2x?3y?yxx?4yln(2x?3y)

?z?x?y?z?y?z?xy．

4．设z?xy?xF(u)，而u?，F(u)为可导函数，求证x?1x解答： 因为

?u?x???z?x?zyx2,?u?y，故

?u?x?y?F(u)?yxF?(u)?y?F(u)?xF?(u)

?y?x?xF?(u)?u?y?x?F?(u)，

所以 x?z?x?y5．求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶偏导数）：

?y?z?xy?xF(u)?yF?(u)?xy?yF?(u)?(xy?xF(u))?xy?z?xy

(1)u?f(xy?yz?zx)；

答案：

?u?x?u?(y?z)f?(xy?yz?xz)，

?y?(x?z)f?(xy?yz?xz)，

?u?z?(x?y)f?(xy?yz?xz)

（3）u?f(x,xy,xyz)．

答案：

?u?x?f1??yf2??yzf3?，

?u?y?xf2??xzf3?，

?u?z?xyf3?

6．设z?yf(x?y)?z?x22，其中f(u)为可导函数，试求

?yf21?zx?x?1?zy?y．

简解： 因为

?z?yf(x2?(x2?y)?f(x222f?(x2?y)?2x?222?2xyf?(x?y)f2(x22?y)22f?(x?y)22,

?222?y)?yf?(x?y)?(?2y)?y)?2yf2f2(x2?y)f(x22(x2,

1?y)所以

1?zx?x?1?zy?y?22?2yf?(x?y)f2(x2?y)2??y)?2yyf22222f?(x?y)2(x2??y)yf(x?y)22.

第八章 多元函数微分学 第 6 页 共 18 页 7．求下列函数的二阶偏导数（其中f有二阶连续的偏导数）： (1) u?f(x?y?z)，求

222222?u?x22；

答案：2f?(x?y?z)?4x2f??(x2?y2?z2).

?x??u?（2）u?f?，求； x,2??y??y?2答案：

；

2xy3f2??xy24??f22.

(3) z?f(esiny,x?y)，求

x22?z?x?y2简解：因为 所以

?z?x?y2?z?xx?， ?esinyf1??2xf2xxx???2yf12??)?2x(excosyf21???2yf22??) ?ecosyf1??esiny(ecosyf11??e2xsinycosy?2ex(ysiny?xcosy)f12???4xyf22???f1?excosy. ?f11

(4) z?f(u,x,y)，u?xe，求

y?z?x?y2；

???eyf13???xeyf21???f23???eyf1? 答案：xe2yf11

8．设y??(x??t)??(x??t)，其中?，?是任意的二次可导函数，求证： ?y?t22??2?y?x22．

?y?t????(x??t)????(x??t),

2简证：因为

?y?t222?????(x??t)?????(x??t)

又 所以

?y?t22?y?x2???(x??t)???(x??t),

?y?x22????(x??t)????(x??t)

??2?y?x2.

第八章 多元函数微分学 第 7 页 共 18 页 基本训练4

1．设lnx?y22?arctan1yx，求

dydx．

yx提示：原方程就是ln(x2?y2)?arctan2，对方程两边关于x求导;

12ln(x2也可以用隐函数的求导方法求解，令F(x,y,z)?存在定理的求导公式来解. 答案：

2．设x3?y3?z3?3axyz?0，求

?z?x?y)?arctan2yx, 利用隐函数

x?yx?y.

?z?y，

2．

答案：

?z?x?ayz?x22z?axy，

?z?x?z?y?axz?y2z?axy.

3．设ez?xyz?0，求

，

?z?y．

简解：令F(x,y,z)?ez?xyz，则Fx??yz，Fy??xz， Fz?ez?xy Fy??xz 所以

?z?x??e?yzz?ezyzz，

z?z?y??e?xzz?exzz

?xy?xy?xy?xy因此

?z?x?y2(z?y??z?y)(e?xy)?yz(ez?z?y?x)?z1(e?xy)3(e?xy)2?ze2x?xyze?xyz2z22?

4．证明由方程?(cx?az,cy?bz)?0（?(u,v)具有连续的偏导数，a，b，c为常数）所确定的函数z?f(x,y)满足关系式a?z?x?b?z?y?c．

简解：（方法一）方程两边微分得

??(cdy?bdz)?0?dz??1??(cdx?adz)??2?dyc?1?dx?c?2?a?1??b?2,

因此

?z?x?c?1??a?1??b?2，

?z?y??c?2?a?1??b?2，得a?z?x?b?z?y?c.

（方法二） 记F??(cx?az,cy?bz), 则

?z?x??FxFz?c?1??a?1??b?2?z?y?22,

?z?x??FyFz??c?2?a?1??b?2.

5．设z?2xz?y?0，求

?z?x223?z?x22，

2．

?6z答案：

??16xz(3z?2x)23，

?z?y2(3z?2x)23

第八章 多元函数微分学 第 8 页 共 18 页

7．设u?f(x,y,z)?x3y2z2，其中z?z(x,y)是由方程x3?y3?z3?3xyz?0所确定的函数，求

?u?x(?1,0,1)．

简解：令 F(x,y,z)?x3?y3?z3?3xyz， 则Fx?3x2?3yz, Fz?3z2?3xy；

所以

?u2?z?x22??3x?3yz3z?3xy3222?yz?x22z?xy222，

32?3xyz?2xyz??z?3xyz?2xyz?yz?x2.

?x?xz2?xy第八章 多元函数微分学 第 9 页 共 18 页 基本训练5

1．求曲线x?y2，z?x3在(1,1,1)处的切线与法平面方程．

x?12y?11z?16答案：切线方程

??，法平面方程2x?y?6z?9

2．求出曲线x?t，y?t2，z?t3上的点，使在该点的切线平行于平面x?2y?z?4．

?简解：曲线上任一点处的切线的方向向量为 s?1,2t,3t2，已知平面的法向量为

???1??2n??1,2,1?. 由题意得 s?n?0，即 1?4t?3t?0，解得t??1或t??，故所求的点为

3(?1,1,?1)，

或??,??1139,?1?? 27?

?x2?y2?z2?63．求曲线? 在点(1,1,2)处的切线方程． 22z?x?y??x?2cost???提示：曲线可以表示为 ?y?2sint，曲线上点(1,1,2)处也就是t?时的切线的方向

4?z?2???向量为s?(?1,1,0).

?x?y?2z?6?0答案：切线方程??2x?2y?z?2?0yxy?1?x?1??或??11??z?2?0

4．求曲面z?arctan在?1,1,?????处的切平面和法线方程．

4?答案：切平面方程x?y?2z??2?0， 法线方程

x?11?y?1?1z??2?4

2225．求曲面3x?y?z?27在点(3,1,1)处的切平面与法线方程．

答案：切平面方程9x?y?z?27?0， 法线方程

22x?39?y?11?z?1?1

6．在曲面z?x?2y上求一点，使该点处的法线垂直于平面2x?4y?z?1?0，并写出法线方程．

答案：所求点为(?1,?1,3), 法线方程

7．求曲面x?y2x?12?y?14?z?31．

2?2z上平行于平面2x?2y?4z?1?0的切平面方程．

2答案：切平面方程x?y?2z?1?0

8．求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数： (1) z?esiny?ecosy，在点?0,?沿向量{2,?1}； 2??21提示：方向l的方向余弦为cos??； ,cos???55xy???

?z?x?esinyx，

第八章 多元函数微分学 第 10 页 共 18 页 ??z?y?ecosy?ecosy?esiny，

xyy?z?l(0,?2?)?z?x(0,?2co?s?)?z?y(0,?2co?s?)2?e25．

(2) u?xy?ez，在点(1,1,0)处沿从点(4,2,?1)到(5,1,0)的方向．

?u?x?u?y?u?z提示：

??y,?x,z?e，

方向l的方向向量s?(1,?1,1)；所以方向l的方向余弦为：

cos??13,cos???13?u?z,cos??13；

13代入方向导数公式可得

?u?l?u?l(1,1,0)??u?x(1,1,0)cos???u?y(1,1,0)cos??cos??(1,1,0)

9．设从x轴正向到方向l的转角为?，求函数u?x3?2xy?y3在点M(1,1)处沿方向l的方向导数

．问?为何值时，方向导数

?u?x?u?l：1）具有最大值；2）具有最小值；3）等于零．

?u?x(1,1)提示：

?3x?2x,?u?l2?u?x??2y?3y2，

??u?y(1,1)?1，

?cos??sin??(1,1)5?42sin(??3?4?4),

7?4所以当???4时，

?u?l最大；当??时，

?u?l最小；当??或??时，

?u?l?0．

10．设u?x2?2y2?3z2?xy?3x?2y?6z，求gradf(0,0,0)及gradf(1,1,1)．

答案：gradf(0,0,0)??3i?2j?6k，gradf(1,1,1)?3j

11．设z?x?xy?y，求在点(1,1)处的梯度，并问函数z在该点沿什么方向使方向导数：1）取最大值；2）取最小值；3）等于零．

22答案：gradz(1,1)?i?j，函数z在(1,1)处沿i?j方向向

?z?l?z?l取最大值，沿?i?j方

取最小值，沿?i?j或i?j方向

?z?l取值为零．

第八章 多元函数微分学 第 11 页 共 18 页 基本训练6

1．问函数u?xy2z在点P(1,?1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值．

提示：

?u?z(1,?1,2)?u?x?yz,2?u?y?2xyz,?u?z2?xy，

?u?x(1,?1,2)?2,?u?y(1,?1,2)??4,

?1，所以gradu?2i?4j?k21是方向导数取最大值的方向， 此方向导数的最大

值为|gradu|?．

2．求下列函数的极值：

(1) z?x3?4x2?2xy?y2； 答案： 极大值为f(0,0)?0

(2) z?(1?ey)cosx?yey； 答案： 极大值为f(2k?,0)?2，k?0,?1,?2,? 3．求函数z?x2?y2在条件

xa?yb?1下的极值．

22?ab??2?a?b2 ?2?ab2ab答案：极小值为f??a2?b2,a2?b2?4．建造容积为一定的矩形水池．问怎样设计，才能使建筑材料最省．

简解：设水池的长宽高分别为x,y,z，令L(x,y,z,?)?xy?2yz?2zx??(xyz?V), 关于x,y,z,?求偏导，求得驻点为(32V,32V,3V4)，这是唯一可能极值点，由问题的实际

V4意义得，所用的建筑材料存在极小值，故长宽高分别为32V,32V,3时，建筑材料最省.

5．在椭圆x2?4y2?4上求一点，使其到直线2x?3y?6?0的距离最短．

提示：目标函数为 f(x,y)?为了求目标函数的最值，可设

2x?3y?613，条件函数为?(x,y)?x2?4y2?4.

L(x,y,?)?(2x?3y?6)??(x?4y?4)，

222求得可能极值点为(,)，(?,?), 代入, 比较得所求点?,55558383?8?53??. 5?6．设有一槽形容器，底是半圆柱形，其长为H，截面是半径为R的半圆，横放在水平面上，其表面积为常数S0，试求R与H的值，使其容积最大．

12简解：令L(R,H,?)?(R,H)?(S0,2S0?RH??(?RH??R?S0)，求得唯一可能极值点为：

S0223?3?3?3?7．在平面3x?2z?0上求一点，使得它到点A(1,1,1)、点B(2,3,4)的距离平方之和为最小．

)；因此当R?，H?2S0时，容积最大．

第八章 多元函数微分学 第 12 页 共 18 页 提示：目标函数为

f(x,y,z)?(x?1)?(y?1)?(z?1)?(x?2)?(y?3)?(z?4)?2(x?y?z?3x?4y?5z?16)，

222222222

条件函数为?(x,y)?3x?2z,答案是点?

?21?13,2,63??. 26?

第八章 多元函数微分学 第 13 页 共 18 页 本篇自测A卷

一、填空题

1．答案：f(x,y) 2．答案：不存在

3．提示：分式函数在分母为0处间断，答案为：x?n?，或y?m?，（n，

． m?0,?1,?2,?）

?fx(x0,y0)?04．答案：?

f(x,y)?0?y00二、单项选择题 1． 答案：B

2．提示：函数f(x,y)在一点连续、偏导数存在、可微之间有如下关系

偏导数在P点连续?全微分存在 ? 函数在P点可微?偏导数在P点存在?函数在P点连续

故答案为B.

3．提示：参见第2小题提示，答案为A .

4．提示：令F(x,y,z)?ez?z?xy?3，则Fx?y，Fy?x，Fz?ez?1 所以曲面在点(2,1,0)处法向量为：(1,2,0)，从而可得C为正确答案.

三、计算题

1. 提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小, 答案为0. 2. 答案：

?z?x?yxyy?1，

y?z?y?xlnx2x(1?x)yyy

2x(1?x)3. 提示：两边取对数得lnz?(x?2y)ln?2x?y?, 两边关于y求偏导得

1?zz?y?2ln(2x?y)?x?2y2x?y.

故答案为：

?z?y??2x?y??z?xx?2y?x?2y?2ln(2x?y)???2x?y??.

4. 答案：5．答案：

?f1??f2??yf3?，

?z?y?f1??f2??xf3?

322z1(e?xy)z3(2yze2z?2xyz?yze)．

第八章 多元函数微分学 第 14 页 共 18 页 2226．答案：

x?yx?y?z?x2???． 7．答案：f122yx2??f22. 8．答案：dx?5225dy．

9．提示：令令

?z?y?3x2?6x?9?0, 得x??3或x?1,

??3y?6y?0, 得y?0或y?2;

所以驻点为 (?3,0),(?3,2),(1,0),(1,2), 利用二元函数极值的充分条件可求得极小值为

f(1,0)??5，极大值为f(?3,2)?31.

四、应用题

1. 简解：设切点为(x,y,z)，则切点处的方向向量s?(1,2x,3x2)，已知平面的法向量

?n?(1,2,1)x??13?.由题意得 s与n垂直, 即 s?n?0, 所以1?4x?3x2?0, 解得x??1或

1??.

3927??xyz222L(x,y,z,?,?)?z??(???1)??(x?y?1),

345?,?11????. 故所求点为:(?1,1,?1)或??,2. 简解: 令

分别求关于x,y,z,?,?的偏导数得

Lx??3?2?x,Ly?x3?y4?z5?4?2?y,Lx?2z??5,

L???1,

L??x2?y2?1

?4335?比较z的大小得所求点为： ?,,?.

?5512?解得可能极值点为：?,?5?4385?335??4,?. ???,?,512?512??53. 简解: 设第一卦限内的内接点为(x,y,z), 由空间解析几何知识得: 直角平行六面

体的长宽高分别为2x,2y,2z, 体积V?8xyz; 故令

L(x,y,z,?)?8xyz??(2a32b32c3xa22?yb22?zc22?1).

833答案为：长、宽、高分别为

五、证明题

，，时，有最大体积 V?abc．

1．简解: z?x?y?(z) 两边关于x，y求偏导得

?z?x?1?y??(z)?z?x，

?z?y??(z)?y??(z)?u?x?z?z?y，

?u?y?f?(z)?z?y解得 所以

?z?x?u?y?11?y??(z)?u?x，

?z?y??(z)1?y??(z), 又 ?f?(z)?x，

??(z).

第八章 多元函数微分学 第 15 页 共 18 页 2. 简证: 令 F(x,y,z)?f??Fx?f1?z?c,Fy?x?a?z?cf2?z?c,y?b??z?c?，则

?(x?a)(z?c)2， Fz?f1???f2???(y?b)(z?c)2．

所以曲面上任一点(x,y,z)处的法向量为：

(f1?,f2?,f1???(x?a)z?c?f2???(y?b)z?c),

故点(x,y,z)处的切平面为

f1??(X?x)?f2??(Y?y)?[f1???(x?a)z?c?f2???(y?b)z?c](Z?z)?0,

即 f1??[(X?x)(z?c)?(x?a)(Z?z)]?f2??[(Y?y)(z?c)?(y?b)(Z?z)]?0. 不论x,y,z取何值，X?a,Y?b,Z?c总能使上式恒成立；即切平面总通过点(a,b,c).

本篇自测B卷

一、填空题

1．答案：{(x,y)|y2?4x且0?x2?y2?1}． 2．提示：分子有理化，原式?limxy?4?4xy?4?2)x?0xy(y?0?limx?0y?01xy?4?2?14.

3．提示：混和偏导数连续，则它们相等；答案为: = .

4．提示：函数可微分, 则方向导数存在(显然偏导数连续也保证方向导数存在). 答案为: 函数可微分.

二、单项选择题 1．提示：令u?x?y,v?为B

2．简解：limf(a?x,b)?f(a?x,b)x?0yx，则x?u1?v，y?uv1?v 代入得f(u,v)?u21?v1?v，故答案

?limx?0xf(a?x,b)?f(a,b)

x?limx?0f(a?x,b)?f(a,b)?x?2fx(a,b).

3．提示：切点为(1,1,0), 方向向量为(?1,1,1)，所以答案为D.

*4．简解：偏导数存在，不一定可微，故A错误；由题设条件知曲面z?f(x,y)的法向量为{3,?1,?1}，故B错误；曲线??z?f(x,y)?y?0在点(0,0,f(0,0))的一个切向量为

第八章 多元函数微分学 第 16 页 共 18 页 {1,0,fx}?{1,0,3}，故Ｃ正确；也可以根据曲线的切向量与曲面的法向量互相垂直来判定答

案C正确而D错误.．

三、计算题 1.提示： 因为

0?xy(xx22?y)22?xy(xx222?y)22?y?y22??xy(x?y)122??xy或0??x?y?22??x?y2??，

由夹逼准则得limx?0y?0xy(xx22?y)2?0.

?y?y?y?y?2．答案：f?(xy)?f???f???．

?x?x?x??z?x3．简解：

?z2?, ?f1???(x)?f2所以

?x?y?????(y)f12??)??(x)?(?f21?????(y)f22??) ?(?f11???(??(x)??(y)?1)f12?????(y)f22??. ????(x)f114．提示：两边关于x求偏导得：2x?2zy?y??y??f???xf???(?),

2?x?x??x?x?z?z?x??y?y?y?f???f????2x?x?x?x?2z?y??x?.

也可以令F(x,y,z)?x2?y2?z2?xf??，利用隐函数求偏导公式来计算.

??y?z???x??5．答案：xyz???lnz?dx????lnx??dy???lny?dz? xy??z??????yzx6. 简解：（解法一）利用全微分的形式不变性，方程两边求微分得：

?(dy?dz)?(xdx?ydy?zdz)?0， F1?(dx?dz)?F2所以 dz??)dy(x?F1?)dx?(y?F2.

??zF1??F2?z?x?)?F2?z?x?x?z?z?x?0，

（解法二）方程两边关于x求偏导得： F1?(1??zx?F1??解得 ，

??z?xF1??F2第八章 多元函数微分学 第 17 页 共 18 页 ??)dyy?F2(x?F1?)dx?(y?F2同理得 ， 所以 dz?. ???z??z?yF1??F2F1??F2?z?u?v?2x?v?u?0??x?x*7．简解：方程组两边对x求偏导得： ?

?u?v2?y?2u?2v?0?x?x?解关于

?u?x，

?v?x的二元一次方程组得

?u?x?4xv?uy2222(u?v)，

?v?x?4xu?vy222(u?v)2.

四、应用题

1. 简解：曲面上任一点(x,y,z)处切平面的法向量为 n?(2x,2y,?1)， 又已知直线的方向向量为： s?(1,0,2)?(0,1,2)?(?2,?2,1) 由题意, n//s, 即

??2x?2?2y?2??11??.

解得x?1,y?1，代入曲面方程得z?2，故所求的切平面方程为

2(x?1)?2(y?1)?(z?2)?0，

即 2x?2y?z?2?0.

??2x0?y0,?h?y(x,y)00??2y0?x0,

*2．简解：

?h?x??2x?y,?h?y??2y?x,

?h?x(x,y)00所以gradh(x0,y0)?(y0?2x0)i?(x0?2y0)j，沿梯度

gradh(x0,y0)?(y0?2x0)i?(x0?2y0)j

方向的方向导数最大，最大值为 g(x0,y0)?5x02?5y02?8x0y0. 令

L(x,y,?)?5x?5y?8xy22??(x2?y2?xy?75),

由拉格朗日乘数法得M1(5,?5)，M2(?5,5)，M3(53,53),M3(?53,?53)为g(x0,y0)的可能极值点，计算相应函数值并比较得M1(5,?5)或M2(?5,5)可作为攀登的起点．

五、证明题 1. 简证：因为

?z?y2?z?x?a2???(y?ax)???(y?ax)??12a2[?(y?ax)??(y?ax)]，

?12???(y?ax)???(y?ax)??2[?(y?ax)??(y?ax)];

?z?x22?a212????(y?ax)???(y?ax)??12a22[??(y?ax)???(y?ax)],

?z?y2?????(y?ax)???(y?ax)??[??(y?ax)???(y?ax)].

第八章 多元函数微分学 第 18 页 共 18 页 22所以

?z?x2?a2?z?y2?0.

*2．简证：因为 0?xy2223/2?x2?y??xy223/2(2|xy|)xy22?|xy|1/222， 又lim|xy|1/2x?0y?022?0，

所以 limx?02y?0x?y?23/2??0，

注意到f(0,0)?0，因此函数在点(0,0)处连续；

因为f(x,0)?0，所以fx(0,0)?lim考虑极限 lim??0f(x,0)?f(0,0)xxy22x?0?0， 同理 fy(0,0)?0；

f(x,y)?f(0,0)?lim?lim(x,y)?(0,0)?x2?y?k2222，其中??x2?y2，

若沿直线y?kx取极限，则

kx244(x,y)?(0,0)y?kx?1?k?22?x(1?k)2随着k的变化而变化，表明上述

极限不存在，因此函数在点(0,0)处不可微．

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