变化线段和最大、差最小问题

初中数学专题复习：最短距离问题分析

最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函

数的最大或最小值

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，

大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大

都应用这一模型。

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”

B 几何模型：

A 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA?PB的值最小． l

P 方法：作点A关于直线l的对称点A?，连结A?B交l于点P，

则PA?PB?A?B的值最小（不必证明）．

A?模型应用：

例1 如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB?PE的最小值是___________；

例2 如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA?OB，?AOC?60°，P是OB上一动点，求PA?PC的最小值； 例3 如图3，?AOB?45°，P是?AOB内一点，PO?10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 1

注意：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点” 例4 如图，（1），在?ABC中，AC?BC?2,?ACB?90?，P为BC边上一定点，（不与点B，C重合），Q为AB边上一动点，设BP的长为a(0?a?2)，请写出CQ?PQ最小值，并说明理由。

路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 2

A Q P'

C P

B

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”

几何模型：

条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使|PA?PB|的值最大．

方法：作过点A与点B的直线，直线AB与交l于点P，则|PA?PB|的值最大（不必证明）．

若A、B是直线l异旁的两个定点．则先做对称点，再连接对称点与A（或B）。

模型应用：

例1 抛物线y?ax2?bx?c交x轴于A，B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为

x?1,B(3,0),C(0,?3).

y 求（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点的距离之差最大？若存在，求出点P的

x

O A 坐标；若不存在，请说明理由。 B C

例2 已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC?3，BC?2，取AB的中点M，连结MC，把?MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到?DAO.

(1)试直接写出点D的坐标；

(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上

移动，过点P作PQ?x轴于点Q，连结OP.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TO?TB的值最大.

路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 3

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1.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD?PE的和最小，则这个最小值为（ ）

A D A．23 B．26 C．3 D．6 P E

2．一次函数y?kx?b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点， 求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．

B C

yBDPO 第2题 · A y??3. 如图，抛物线

12x?x?24的顶点为A，与y 轴交于点B． (1)求点A、点B的坐标；

(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB； (3)当PA-PB最大时，求点P的坐标.

路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 4

y CAxB O x

0)C(0，2)，D为OA的中点．4. 如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，、设

点P是?AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）． （1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；

O

y C(0，2) B P D A(4，0) x △PDE（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，

的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；

不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”

信心测试

1.已知：抛物线的对称轴为与x轴交于A，B两点，与（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点

?2?．A??3，0?C?0，y轴交于点C，其中、

E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试

说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

y

y A O B x A O B x

C C 路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 5

5题图

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