新人教版2019春九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数教案新版

28．1锐角三角函数

第2课时 余弦函数和正切函数

1．理解余弦、正切的概念；(重点)

2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)

一、情境导入

教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？

学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当锐角∠A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？

二、合作探究

探究点一：余弦函数和正切函数的定义

【类型一】 利用余弦的定义求三角函数值

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( )

A.513

B.512

C.1213

D.125

解析：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，∴cos A ＝AC AB ＝1213

.故选C. 方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题

【类型二】 利用正切的定义求三角函数值

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A

＝( )

A.35

B.45

C.34

D.43

解析：在直角△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∴tan A ＝BC AB ＝43.故选D.

方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题

探究点二：三角函数的增减性

【类型一】

判断三角形函数的增减性

随着锐角α的增大，cos α的值( )

A ．增大

B ．减小

C ．不变

D ．不确定

解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.

方法总结：当0°＜α＜90°时，cos α的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．

【类型二】

比较三角函数的大小

sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( )

A ．tan70°＜cos70°＜sin70°

B ．cos70°＜tan70°＜sin70°

C ．sin70°＜cos70°＜tan70°

D ．cos70°＜sin70°＜tan70°

解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.

方法总结：当角度在0°≤∠A ≤90°之间变化时，0≤sin A ≤1，0≤cos A ≤1，tan A ≥0.

探究点三：求三角函数值

【类型一】

三角函数与圆的综合

如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD .

(1)求证：DC ＝BC ；

(2)若AB ＝5，AC ＝4，求tan ∠DCE 的值．

解析：(1)连接OC ，求证DC ＝BC 可以先证明∠CAD ＝∠BAC ，进而证明DC ︵＝BC ︵

；(2)由AB ＝5，AC ＝4，可根据勾股定理得到BC ＝3，易证△ACE ∽△ABC ，可以求出CE 、DE 的长，在Rt △CDE 中根据三角函数的定义就可以求出tan ∠DCE 的值．

(1)证明：连接OC .∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA .∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90°.∵AE ⊥CE ，∴∠AEC ＝∠OCE ＝90°，∴OC ∥AE ，∴∠OCA ＝∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BAC ，∴DC ︵＝BC ︵.

∴DC ＝BC ；

(2)解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB2－AC2＝52－42＝3.∵∠CAE ＝∠BAC ，∠AEC ＝∠ACB ＝90°，∴△ACE ∽△ABC ，∴EC BC ＝AC AB ，即EC 3＝45，EC ＝125.∵DC ＝BC ＝3，∴ED ＝DC2－CE2＝32－（125）2＝95，∴tan ∠DCE ＝ED EC ＝95125

＝34

. 方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行

转化．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第5题

【类型二】 利用三角形的边角关系求三角函数值

如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．

解析：根据tan ∠BAD ＝34，求得BD 的长．在直角△ACD 中由勾股定理可求AC 的长，然后利用正弦的定义求解．

解：∵在直角△ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝3

4，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34

＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴AC ＝AD2＋CD2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213

. 方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

三、板书设计

1．余弦函数的定义；

2．正切函数的定义；

3．锐角三角函数的增减性．

在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.

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