第6章 虚拟变量回归模型

本科教学课件 计量经济学基础 第6章 虚拟变量回归模型

第6章 虚拟变量回归模型

本章讲授的主要内容：

6.1 虚拟变量的性质 6.2 虚拟变量的引入方式 6.3 虚拟变量的设置原则 6.4 虚拟变量的特殊应用

6.5 因变量为虚拟变量的情形：线性概率模型（LPM）

6.1 虚拟变量的性质

1．虚拟变量概述

虚拟变量（dummy variable），又称为定性变量（qualitative variables）或指标变量、二元变量、分类变量和二分变量。

许多经济变量是可以定量度量的，但有些影响经济的因素，如职业、性别、民族、地区、文化程度、季节、战争、自然灾害等因素，无法定量度量。为了能够在模型中反映这些因素的影响，并提高模型的精度，需要将它们量化，这种“量化”是通过引入“虚拟变量”来完成的。虚拟变量通常记为D。

根据定性因素的属性，一般赋予它们“0”或“1”的人工变量。一般地，在虚拟变量的设置中，基础类型和肯定类型取值为1；比较类型和否定类型取值为0。 2．虚拟变量模型

同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型，称为虚拟变量模型。如：

Yi?B1?B2Xi?B3Di??i

3．方差分析模型（analysis-of-variance models，ANOVA）

Yi?B1?B2Di??i

其中，B1为截距，B2为差别截距系数。

以男性和女性对食品支出影响为例，

Di=1 女性 Di=0 男性

男性食品支出的期望：

E(Yi|Di?0)?B1?B2(0)?B1

女性食品支出的期望：

E(Yi|Di?1)?B1?B2(1)?B1?B2

这里的B2，反映男女食品支出的差别，所以称为差别截距系数。 4．虚拟变量的作用

（1）可以描述和测量定性（或属性）因素的影响。

（2）能够正确反映经济变量之间的相互关系，提高模型的精度。 （3）便于处理异常数据。

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6.2 虚拟变量的引入方式

虚拟变量作为解释变量引入模型，有加法和乘法两种基本方式。此外，还有两者相结合的混合方式。

1．加法方式

在模型中，将虚拟变量以相加的形式引入模型。从计量经济模型的意义看，其作用是改变了设定模型的截距水平。

例如 家庭的教育费用支出，除了受收入水平的影响外，还与子女的年龄结构密切相关。如果家庭中有适龄子女（6~21岁），教育费用支出就多。因此，为了反映“子女年龄结构”这一定性因素，设置虚拟变量：

?1有适龄子女 Di??0无适龄子女?将家庭教育费用支出函数写成：

Y Yi?B1?B2Xi?B3Di??i

无适龄子女家庭平均教育费用支出：E(Yi|Di?0)?B1?B2Xi

有适龄子女家庭平均教育费用支出：E(Yi|Di?1)?(B1?B3)?B2Xi

X 图6-1 平行回归 如图6-1所示。 2．乘法方式

在模型中，将虚拟变量与其他解释变量相乘作为新的解释变量，以达到其调整模型斜率系数的目的。

以乘法形式引入虚拟变量的主要作用在于：（1）两个回归模型之间的比较；（2）因素之间的交互影响分析；（3）提高模型对现实经济现象的描述精度。

例如 消费水平主要取决于收入水平，但在一个较长时期，人们的消费倾向会因某些因素（如自然灾害、战争等）的影响而发生变化。为了反映消费倾向的变化，可以用乘法方式引入虚拟变量来考察。设

Y ?1Di???0则消费模型可建立如下：

正常年份反常年份

Yi?B1?B2Xi?B3DiXi??i

图6-2 并发回归 正常年份的平均消费水平：E(Yi|Di?1)?B1?(B2?B3)Xi 反常年份的平均消费水平：E(Yi|Di?0)?B1?B2Xi 如图6-2所示。

3．混合方式：加法方式和乘法方式同时使用

模型中，虚拟变量以加法和乘法两种方式同时引入，即

Yi =B1 + B2Di +B3Xi +B4(DiXi) + ui

例如，对于食物支出

Y X X 图6-3 相异回归 45

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平均食物支出，男性 (Di=0)：

E(Yi|Di=0)=B1+B3Xi

平均食物支出，女性(Di=1)：

E(Yi|Di=1)=(B1+B2)+(B3+B4)Xi

如图6-3所示。

6.3 虚拟变量的设置原则

1．基本原则

在具有共同截距的模型中，如果定性变量有m个属性（类别），只需在模型中引入m-1个虚拟变量。

例如 冷饮的销售量除受k种定量变量的影响外，还受春、夏、秋、冬四季变化的影响。要考察该四季的影响，只需引入三个虚拟变量即可：

?1D1t???0春季其他

?1D2t???0?1D3t???0则冷饮销售量的模型为：

夏季其他秋季其他

Yt?B1?B2X2t??BkXkt?A1D1t?A2D2t?A3tD3t??t

因为冬季属性取0值，它被反映在共同截距（B1）中。 注意：如果模型中没有共同的截距（B1），那么，还需要设置一个虚拟变量来反映冬季的影响。 2．虚拟变量陷阱

假如不遵守上述原则，即在定性变量有m个属性（类别）的模型中引入m个虚拟变量。那么，将会导致完全多重共线性现象的出现而无法估计模型，这种现象被称为虚拟变量陷阱。

6.4 虚拟变量的特殊应用

1．调整季节波动

例如 冰箱的销售量与季节性

把第一季度作为基准季度，取值为0；引入第二、三、四季度三个虚拟变量，取值为1。通过引入虚拟变量来消除季节波动。

Y 2．分段回归

在实际经济问题的研究中，有些经济关系需要用分段回归加以描述。当解释变量X低于某个已知临界水平X*时，Y与X之间是某种线性相关关系；而当X>X*时，两者之间又是另一种相关关系。

X 对于上述现象，虽然可以将样本数据划分成XX*两个样本分X* 段进行回归，但样本容量减小会降低模型的精度。利用虚拟变量可以很好图6-4 分段曲线 地解决分段回归问题。

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取虚拟变量为：

?1D???0并将分段回归模型设置成：

X?X* *X?XYt?B1?B2Xt?B3(X?X*)Dt??t

其中，X*是已知的临界水平。

这样，用OLS法估计得到各段函数为：

??B?BX 当X?X时，Dt?0，Yt12t*??(B?BX*)?(B?B)X 当X?X时，Dt?1，Yt1323t*如图6-4所示。

6.5 因变量为虚拟变量的情形：线性概率模型（LPM）

1. 线性概率模型（LPM）概念

考虑如下模型：

Yi?B1?B2Xi??i

如果该模型中的被解释变量Y只能取0或1两个值。则称该模型为线性概率模型（linear probability model, LPM）。

2．线性概率模型（LPM）的特征

（1）虽然Y只能取0或1两个值，但无法保证估计的Y值介于0和1之间；

（2）由于Y是一个二分变量，所以误差项也是一个二分变量，所以ui不服从正态分布； （3）可以证明误差项是异方差的；

（4）由于Y只能取0或1两个值，所以惯用的R2没有实际意义。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f7df.html