2.2.3向量数乘运算及其几何意义_学案(人教A版必修4)
更新时间:2023-05-23 16:10:01 阅读量: 实用文档 文档下载
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件.
1.向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________,这种运算叫做向量的__________,记作________,其长度与方向规定如下: (1)|λa|=__________.
当 时,与a方向相同
(2)λa (a≠0)的方向 ;
当 时,与a方向相反
特别地,当λ=0或a=0时,0a=________或λ0=________. 2.向量数乘的运算律 (1)λ(μa)=________.
(2)(λ+μ)a=____________. (3)λ(a+b)=____________.
特别地,有(-λ)a=____________=________; λ(a-b)=____________. 3.共线向量定理
向量a (a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______________. 4.向量的线性运算
向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有 λ(μ1a±μ2b)=__________________.
一、选择题
1.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2 (k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则( )
A.k=0 B.k=1
1
C.k=2 D.k=2→→→
2.已知向量a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是( ) A.B、C、D B.A、B、C C.A、B、D D.A、C、D
→→→→
3.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且PA+PB+PC=AB,则( ) A.P在△ABC内部 B.P在△ABC外部
C.P在AB边上或其延长线上 D.P在AC边上
→→→→→→
4.已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
→→→→
5.在△ABC中,点D在直线CB的延长线上,且CD=4BD=rAB+sAC,则r-s等于( )
48
A.0 B. C. D.3
53
→→→→→→
6.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|等于( )
A.8 B.4 C.2 D.1
11
y- -(c+b-3y)+b=0,其中a、b、c为已知向量,则未知向量y=_______. 7.若2 3 2
→→→
8.已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,且OC=xOA+yOB,则x+y=________.
→
9. 如图所示,D是△
ABC的边AB上的中点,则向量CD=______.(填写正确的序号)
→1→①-BC+BA
2→1→②-BC-BA
2
→1→③BC-BA
2→1→④BC+BA
2
→→→→→
10. 如图所示,在 ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=______.(用a,b表示)
三、解答题
11.两个非零向量a、b不共线.
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、D三点共线; (2)求实数k使ka+b与2a+kb共线.
→→→→→
12. 如图所示,在 ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=______.(用a,b表示)
→→
→
能力提升
→→
13.已知O是平面内一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+→→ ABAC +λ (λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) →→ |AB||AC|
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
14.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与
→→→
CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF等于( ) 1121A.a + 42331112C.ab +
2433
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
知识梳理
1.向量 数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 0 0
2.(1)(λμ)a (2)λa+μa (3)λa+λb -(λa) λ(-a) λa-λb 3.b=λa
4.加 减 数乘 λμ1a±λμ2b 作业设计
11
1.D [当k=时,m=-e1+2,n=-2e1+e2.
22
∴n=2m,此时,m,n共线.]
→→→→
2.C [∵BD=BC+CD=2a+4b=2AB, ∴A、B、D三点共线.]
→→→→→
3.D [PA+PB+PC=PB-PA,
→→
∴PC=-2PA,∴P在AC边上.]
→→→
4.B [∵MA+MB+MC=0, ∴点M是△ABC的重心. →→→
∴AB+AC=3AM,∴m=3.]
→→→→
5.C [∵CD=CB+BD=4BD, →→∴CB=3BD.
→→→→→→∴CD=AD-AC=AB+BD-AC →1→→=AB+-AC
3
→1→→→=AB+AB-AC)-AC
34→4→=- 33448∴r=,sr-s=.]
333
→
6.C [∵BC2=16, →→→→
∴|BC|=4.又|AB-AC|=|CB|=4, →→
∴|AB+AC|=4.
→1→→
∵M为BC中点,∴AM(AB+AC),
2
→1→→
∴|AM|=|AB+AC|=2.]
24117.-b 21778.1
→→
解析 ∵A,B,C三点共线,∴ λ∈R使AC=λAB. →→→→∴OC-OA=λ(OB-OA). →→→∴OC=(1-λ)OA+λOB.
∴x=1-λ,y=λ,∴x+y=1. 9.①
→1→→1→→→→
解析 -BC=CB+=CB+BD=CD.
22
1
10.(b-a) 4
→→→→
解析 MN=MB+BA+AN
13→=-b-a+
2413
=-b-a+a+b)
241
=b-a). 4
11.(1)证明 ∵AD=AB+BC+CD=a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6AB,∴A、B、D三点共线.
(2)解 ∵ka+b与2a+kb共线,∴ka+b=λ(2a+kb). ∴(k-2λ)a+(1-λk)b=0,
→→→→→
k-2λ=0,∴ k=2. 1-λk=0
→→
12.证明 设BA=a,BC=b,则由向量加法的三角形法则可知: →→→1→→1
CM=BM-BC=-BC=a-b.
22
又∵N在BD上且BD=3BN,
1→1→1→→
∴BN=BD=BC+CD)=(a+b),
333
1221→→→1
-b , ∴CN=BN-BC=(a+b)-b=a-b= 33332
→2→→→
∴CN=,又∵CN与CM共点为C,
3
∴C、M、N三点共线.
→→→→AB→AC→ABAC
13.B [AB上的单位向量,AC上的单位向量,则的方向为∠BAC的
→→→→|AB||AC||AB||AC|→
角平分线AD的方向.
→→→→→→ AB ABAC AC ABAC→→+又λ∈[0,+∞),∴λ 的方向与+的方向相同.而OP=OA+λ ,→→→→→→ |AB||AC| |AB||AC| |AB||AC|
→
∴点P在AD上移动.
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.] 14.B
[
如图所示,
∵E是OD的中点, →1→1∴OE==.
44
又∵△ABE∽△FDE, AEBE3∴=. EFDE1→→→3→∴AE=3EF,∴AE=AF.
4
→→→11
在△AOE中,AE=AO+OE=a+.
24
→4→21∴AF==+b.]
333
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