华师版初中数学全册知识点

初中数学知识点总结

七年级上

第二章 有理数

正整数0负整数正分数负分数 加 法 整数有理数分数有理数的运算交换律结合律乘 法除 法分配律减 法点与数的对应乘 方数 轴比较大小1．相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+

12

，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 3像-5，-2.8，-

4【注】0既不是正数也不是负数。

等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。

3．有理数

（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。

分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类

1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类

正整数 正整数 整数 0 正有理数

有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数

分数 负有理数

负分数 负分数

【注】有限循环小数叫做分数。

（3）数集 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。

1

初中数学知识点总结

4．数轴

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。

2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．

（2）在数轴上比较有理数的大小

1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数

（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。

（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简

多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。

6．绝对值

（1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。

（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．

?a,a?0?a??0,a?0

??a,a?0?（3）绝对值的主要性质

一个数的绝对值是一个非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． (4)两个相反数的绝对值相等． (5)运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是：

1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值的大小；

3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 7．有理数的加法 (1)有理数加法法则

1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3）互为相反数的两个数相加得零。 4）一个数与0相加，仍得这个数。

2

初中数学知识点总结

（2）有理数加法的运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

8. 有理数的减法

减去一个数等于加上这个数的相反数。 a-b=a+(-b)

9．有理数的加减混合运算

（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。 （2）适当的应用加法运算律。 10．有理数的乘法

（1）有理数的乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。

（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。 （3）乘法运算律

乘法交换律： ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac 11．有理数的除法

（1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

【注】0没有倒数。

（2）有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 【注】0不能做除数。

a?b?a?1b(b?0)

（3）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不等于的数，都得零。 12．有理数的乘方

（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。

a?a?a?????a?an

n 个

（2）乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。

（3）有理数乘方法则：

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。 13．科学记数法

（1）一般的，10的n次幂，在1的后面有n的0。

3

初中数学知识点总结

（2）一个大于0的数就记成a?10的形式。其中1?a?10,n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。

（3）用科学记数法表示一个数时，10的指数等于原数的整数位数减1。（或等于小数点向右移动的位数。

14．有理数的混合运算

（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。

（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。

（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 15．近似数和有效数字

（1）准确数：完全符合实际的数。

（2）近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。 （3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 （4）近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。

n第三章 整式的加减

1．用字母表示数

代数式 用运算符号将数字和字母连接起来的式子 分式 分母中含有字母 整式 代数式的运算 （合并同类项） 单项式 数与字母的积 多项式 几个单项式的和 合并同类项法则： 同类项系数相加所得的结果为系数，字母和字母的指数不变 去括号 括号前是加号 不改变符号 括号前是减号 都改变符号 2．代数式

（1）由数和字母用运算符号连接起所成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也叫

4

初中数学知识点总结

代数式。

【注】运算符号指加、减、乘、除、乘方、开方。代数式中不可含有“>”、“<”、“=”、“?”、“?”、“?”等表示相等或不等关系的符号。 （2）代数式书写要求

1)代数式中出现的乘号，通常写作“?”或省略不写。但数字与数字相乘时，要用“?”。 2）数字与字母相乘时，数字写在字母的前面。 3）除法运算写成分数形式。

4)带分数与字母相乘时，要把带分数写成假分数。

5)在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，若代数式是积或商的形式，则单位直接写在后面，若代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在后面。

（3）解释简单代数式表示的实际背景

（4）列代数式

在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列代数式。 【注】抓住题中表示运算关系的关键词：如和、差、积、商、比、倍、大、小、增加了、增加到、减少、几分之几等。 （5）代数式的值

一般的，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中运算计算得出的结果叫做代数式的值。

【注】1)代数式中的值随着代数式中字母取值的变化而变化。所以求代数式值时，在代入前必须写出“当??时”。 2）代数式里字母的取值必须确保代数式有意义。 3．单项式

（1）如100t、6a、2.5x、vt、-n，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 【注】1）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。 2）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。

4．多项式

（1）几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

（2）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 (3)一个多项式含有几项，就叫几项式；例如：x+2x+18是一个二次三项式。 【注】1）多项式的次数不是所有项的次数和。

2）多项式的每一项都包括它前面的正负号。

5．整式 单项式与多项式统称为整式。 6．升幂排列与降幂排列

为便于多项式的运算，可以用加法交换律将多项式各项的位置按某个字母的指数的大小顺序重新排列。

22

5

初中数学知识点总结

若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降幂排列。 若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升幂排列。 【注】重新排列的多项式，每一项一定要连同它的正负号一起移动。

含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一个字母升幂排列或降幂排列。 7．整式的加减

（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。

（2）合并同类项：根据乘法对加法的分配律把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。

合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

(3)去括号与添括号

1）去括号法则：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变正负号。 a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c

2）添括号法则：所添括号前面是“十”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括h号前是“一”号，括到括号里的各项都改变正负号。 a+b+c= a+(b+c) a-b-c= a-(b+c)

（4）整式的加减 先去括号，再合并同类项。

第四章

图形的初步认识

几何体 点动成线，线动成面，面动成体 从三个方向看： 主视图；左视图；俯视图 棱柱，棱锥 圆柱，圆锥 球 棱与棱的交点（各侧棱的公共点） ——顶点 侧棱长相等 棱柱上下面是相同的多边形 棱锥侧面是三角形 1．生活中常见的立体图形 （1）球体

6

初中数学知识点总结

（2）柱体：包括圆柱和棱柱。

1）圆柱：有两个底面是圆，侧面是曲面。

2）棱柱：上下两个底面是两个平行且相同的多边形，侧面是平行四边形。 棱柱可按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 （3）椎体：包括圆锥和棱锥。

1）圆锥：有一个底面是圆，侧面是曲面。 2）棱锥：底面是多边形，侧面是三角形。

棱锥可按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 （4）多面体：由平的面围成的立体图形。 2．画立体图形

（1）视图：就是从正面、上面、和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，然后描绘三张所看到的图，即视图。

正视图：从正面看到的图形。

俯视图：从上面看到的图形。

侧视图：从侧面看到的图形。依观看方向不同，有左视图、右视图。

三视图：通常把正视图、俯视图、与左（或右）视图称作一个物体的三视图。 （2）球体的三视图都是圆。

正方体的三视图都是正方形

圆柱体的正视图和左视图都是长方体，俯视图是圆。

圆锥体的正视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，中心有一个点。

3．由视图到立体图形

主视图：可分清物体的长与高。 俯视图：可分清物体的长与宽。

左视图：可分清物体的宽与高。

口诀：主俯长对正，主左高齐平，俯左宽相等。 4．立体图形的表面展开图

多面体是由平面图形围成的的立体图形，沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体的表面展开成一个平面图形，这个平面图形叫做多面体的表面展开图。

正方体的表面展开图：有“一四一型”、“一三二型”、“二二二型”、“三三型” 口诀：一行不过四，“田”“凹”应弃之，相间、Z端是对面。 5．平面图形

（1）圆是由曲线围成的封闭图形。

（2）多边形：由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做多边形。

按照组成多边形的边的个数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形?? 在多边形里，三角形是最基本的图形，每个n边形都可以分割成(n-2)个三角形。 6．最基本的图形——点和线

（1）点：通常表示一个物体的位置。 （2）线段、射线、直线

线段：有两个端点，不向任何一方延伸，可度量。有两种表示方法线段AB（BA），或线段

7

初中数学知识点总结

a。

a

B A

射线：有一个端点，向一方无限延伸，不可度量。有一种表示方法射线OA.。

O A

直线：没有端点，向两方限延伸，不可度量。有两种表示方法直线AB(BA)，直线l。

A B

（3）两点之间，线段最短。

经过两点有且只有一条直线。 （4）线段长短的比较

1) 度量法

2）叠合法，就是把其中一条线段移到另一条线段上，使其一个端点重合，然后去加以比较。

（5）画一条线段等于已知线段。 已知：线段MN,

求作：一条线段AC，使AC=MN。 做法：1）画一条射线AB

2)用圆规量出线段MN的长

3）在射线AB上截取AC=MN，则线段AC就是要画的线段。

（6）线段中点 把一条线段分成相等的点，叫做这条线段的中点。 7．角

（1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形。 （2）角也可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的中边。 【注】角的大小只与开口大小有关，与角的边的长短无关。 （3）角的表示方法

1）用数字表示单独的一个角。如∠1，∠2等

2）用小写的希腊字母表示单独的一个角。如∠?，∠?等

3）用一个大写的英文字母表示独立（在一个顶点处只有一个角）的角。如∠O，∠A等。

3604）用三个大写的英文字母表示任意一个角，但必须把表示角的顶点的字母写在中间。

ol

如 ∠AOB，∠BOC等。 （4）角的分类

锐角 0 < ∠?<90 直角 ∠?=90

ooo

8

初中数学知识点总结

钝角 90o<∠?<180o

平角 角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角。 ∠?= 180o

周角 角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角。 ???360o （5）角的度量

||| 1周角=360o 1平角=180o 1o?60/ 1?60。

（6）用角表示方向

一般以正北、正南为基准，向东或向西旋转的角度表示方向。例如，北偏东60o。 （7）角的比较

1）度量法

2）叠合法 把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧。 （8）画一个角等于已知的角 已知：∠AOB

求作：∠CDE=∠AOB 作法：1）画射线DE

2）以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。

3）以点D为圆心，以OM长为半径作弧，交DE于P。

4）以点P为圆心，以MN长为半径作弧，交前一条弧于Q。 5）经过点Q画射线DC。

则∠CDE为所求。

（9）角的平分线

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 （10）角的特殊关系

1）互为余角：两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。

互为补角：：两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。 2）等角或同角的余角相等。 等角或同角的补角相等。

3）对顶角 两条直线相交得到的，有公共的顶点，没有公共边的两个角。 4）对顶角相等

8．相交线

（1）两条直线相交所构成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 若直线AB、CD互相垂直。记作“AB?CD” （2）垂线的性质

oo

9

初中数学知识点总结

在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简述为“垂线段最短”。 （3）点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 9．相交线中的角

直线l截直线a、b得到八个角。

l

a

1 4

2 3

b 5 6

8

7

同位角：在截线l的同一侧，被截直线a、b的同一方，这样位置的一对角叫做同位角。如∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。

内错角：在截线l的两侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫做内错角。如∠5与∠3，∠6与∠4。

同旁内角：在截线l的同一侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫做同旁内角。如∠3与∠6，∠4与∠5。 10．平行线

（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。若直线a与直线b互相平行，记作“a//b”。 【注】1）在同一平面内两条直线的位置关系只有平行与相交。

2）线段、射线平行是指它们本身所在的直线平行。

（2）平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 （3）画一条直线与已知直线平行 一贴二靠三推四画 （4）平行线的判定

同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行

同旁内角互补，两直线平行

垂直于同一条直线的两条直线平行 （5）平行线的性质

两直线平行，同位角相等

两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补

第五章 数据的收集与表示

10

初中数学知识点总结

调查 总体：所考察对象的全体 个体：组成总体的每一个考察对象 样本：从总体中所抽取的一部分个体 样本的容量：样本中个体的数目 普查 对所有考察对象所做的全面调查 抽查 对部分考察对象所做的调查 1． 2． 数据的收集

明确调查对象 确定调查对象 选择调查方法 展开调查 记录结果

得出结论 3． 频数：表示每个对象出现的次数

4． 频率：表示每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）。即频率=频数/数据总数。所有小组的频率之和等于1

5． 频数和频率都能够反映每个对象的频繁程度。 5．数据的表示

（1）扇形统计图：是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形的面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图。它可以直观的反映出各部分数量在总量中所占的份额。

（2）条形统计图：是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图。它们可以直观的反映出数据的数量特征。如果有两个研究对象，常常把两个对象的相应数据并列表示在同一张条形统计图中。

（3）折线统计图：是用折线表示数量变化规律的统计图。它能反映出各部分数据的变化趋势。

（4）统计图表：可以准确的反映出数据的不同特征。

七年级下

第五章 一元一次方程

1．解一元一次方程

（1）方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。

方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变。

（2）移项 将方程的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项。 （3）一元一次方程：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。 （4）解一元一次方程的一般过程

11

初中数学知识点总结

去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。但要灵活运用。

（5）列方程解应用题的一般思路

实际问题 审题 找出等量关系 设未知数（分直接设法和间接设法） 列方程 解方程 检验解得合理性

第六章 二元一次方程

二元一次方程组 含有两个未知数的一次方程所组成的方程二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是适合二元一次方程的一对未知数的解：这个方程的一个解 二元一次方程组的解：两个方程的公共解 代入消元法 加减消元法 用方程组解决问题 1． 二元一次方程：有两个未知数，并且未知项的次数是1，这样的方程叫做二元一次方程。

2． 二元一次方程组：把两个二元一次方程合起来。

3． 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程的左右两边的值都相等的两个未

知数的值。 4． 二元一次方程组的解法： （1）代入消元法

从方程中选出系数比较简单的方程进行变形，即将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的的代数式表示出来。

代入消元，即将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

解这个一元一次方程，求出未知数的值。

回代求解，即将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值。 把求得的未知数的值联立写成??x?a?y?b的形式。

（2）加减消元法

方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，是其中一个未知数的系数互为相反数或相等。

把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 解这个一元一次方程。

将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数。

?x?a把求得的未知数的值联立写成?的形式。

y?b?

12

初中数学知识点总结

第七章 一元一次不等式

1． 不等式

用不等号“>”或“<”表示不等关系的式子，叫做不等式。 【注】常见的不等号有：“>”、“<”、“?”、“?”、“?”五种。 2． 不等式的解

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3． 不等式的解集

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。 【注】不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，大于向右，小于向左，有等号画实心圆，无等号画空心圆。

a x?a

4． 不等式的基本性质

如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。

a x?a

性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果a>b，并且c>0，那么ac>bc。

性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果a>b，并且c<0，那么ac

只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。

6． 一元一次不等式的解法

同解方程类似，主要有去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。但这里的去分母和系数化为1时需要注意若乘以或除以的数是负数，不等号需要改变方向。 一元一次方程的解只有1个，但一元一次不等式的解有无数个。

7． 一元一次不等式组 把两个一元一次不等式和在一起，就得到了一元一次不等式组。 8． 一元一次不等式组的解集 不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不

等式组的解集。 9． 解集的确定方法

口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解不见。

a b

a b 无解

a b

a b x

x>b

a

13

初中数学知识点总结

10利用一元一次不等式解决实际问题

和列方程解应用题步骤类似，有审 设 列 解 验 答

第八章 多边形

1． 三角形

（1）三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。这三条线段就是三角形的边。

（2）在三角形里，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，一个三角形有三个内角。 （3）三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。 【注】 CB的反向延长线是从点B到点C方向延长得到的一条射线。

（4）在三角形中，每两边的交点叫做三角形的顶点，三角形共有三个顶点。 2．三角形的分类

（1）按内角的大小分类

直角三角形

三角形

斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 （2）按边分类

不等边三角形 三角形

等腰三角形 等边三角形（正三角形） 底和腰不相等的等腰三角形 3．三角形的三种重要线段 （1）三角形的角平分线

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）三角形的中线

在三角形里，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 （3）三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。 【注】1）三角形中，角平分线、中线、高线都有三条，都交于一点，都是线段。

2）三角形的角平分线和中线都在三角形的内部。而锐角三角形的三条高线在内部；直角三角形的两条高在直角边，斜边的高在形内；钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外。

4．三角形内外角关系 （1）三角形的内角和是180

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

o

14

初中数学知识点总结

（4）与三角形的每个内角相邻的外角有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和成为三角形的外角和。 （5）三角形的外角和是360o。 5．三角形的三边关系

（1）三角形的任意两边之和大于第三边。 （2）三角形的任意两边之差小于第三边。

【注】只要三条线段的长符合上述条件之一就可以构成三角形。 （3）三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。 6．多边形

（1）一般的，在一个平面内，有n条不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做n边形，又称为多边形。

【注】我们所研究的的都是凸多边形，即整个图形都在任意边所在直线同旁的多边形。 （2）正多边形 所有多边形各边相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形。 （3）多边形的对角线

1）对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

2）从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）对角线。所有对角线的数量是（4）n边形的内角和是?n?2??180o。 （5）任意多边形的外角和是360o。 7．用正多边形拼地板

（1）镶嵌 由形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片，叫做平面图形的镶嵌。

（2）铺满平面的条件

当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形。用相同的正多边形进行镶嵌时，可以实现镶嵌的正多边形有正方形、正三角形、正六边形。

n?n?3?2。

第九章 轴对称

1． 轴对称图形

如果一个图形沿着某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，我们称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。 【注】一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条。

2． 轴对称

把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。 3．轴对称的性质

15

初中数学知识点总结

（1）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）沿对称轴折叠后两部分是完全重合的，所以它的对应线段相等，对应角相等。

（2）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（3）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（4）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。

4．简单的轴对称图形——线段和角

（1）垂直平分线：把垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。垂直平分线又称为中垂线。

（2）垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 （3）线段的对称轴是本身所在的直线和它的垂直平分线。 （4）角的对称轴是它的角平分线所在的直线。 （5）角平分线上的点到角两边的距离相等。 5．画轴对称图形

（1）画某点关于某条直线的对称点的方法

1）过已知点作已知直线的垂线，标出垂足。

2）在这条直线的另一侧从垂足出发截取与已知点到垂足距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点。

（2）画已知图形关于某直线的对称图形 1）画出图形的特殊点的对称点 2）连结对称点，即可。

6．等腰三角形

（1）两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）等腰三角形的性质

1）等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线，底边的高线，底边的中线所在的直线是对称轴。

2）等腰三角形两底角相等。（等边对等角）。

3）等腰三角形的顶角的平分线，底边的高线，底边的中线重合。（三线和一）。 7．等边三角形

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形。（正三角形）。 （2）等边三角形的性质

1）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60。 2）等边三角形是特殊的等腰三角形，有三条对称轴。 （3）等边三角形的判定

1）三条边都相等的三角形是等边三角形。 2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。

oo

16

初中数学知识点总结

第十一章 体验不确定现象

确定与不确定 可能性大小的比较 随机事件 我们事先无法确定它会不会发生的事情 1．可能还是确定

不可能事件 我们事先能肯定他一定不会发生的事情 必然事件 我们事先能肯定他一定会发生的事情 （1）必然事件 无需通过实验就能够预先确定他们在每一次试验中都一定发生的事件。发生的机会100%。

不可能事件 在每一次实验中都一定不会发生的事件。发生的机会是0 确定事件 指必然事件和不可能事件。

不确定事件（随机事件） 无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件。发生的机会在0到100%之间。

（2）区别“很有可能发生与必然发生”、“不大可能发生与不可能发生”。 2．游戏的公平性

公平的游戏是指对游戏双方来说，参与游戏的成功的机会都相等，游戏是公平的，否则是不公平。

3． 在反复实验中观察不确定现象

（1）不确定事件发生的可能性有大有小，我们就用平稳时的频率估计这一随机事件在每一次实验时发生机会的大小。

（2）通过实验方法用稳定时的频率估计机会的大小，必须要求实验在相同条件下进行，并且，在相同条件下，实验次数越多，就越有可能得到较好的估计值。

八年级上

第 12章 数的开方

1．平方根

（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。 （2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

其中正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”，另一个平

17

初中数学知识点总结

方根是它的相反数，即?a。因此，正数a的平方根可以记作?a。a称为被开方数。

0的平方根只有一个，就是0，记作0?0。 负数没有平方根。

a?0（a?0） （3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 2．立方根

（1）如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

（3）数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”，其中a称为被开方数，3称为根指数。 （4）任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个。 正数有一个正的立方根。 负数有一个负的立方根。 0的立方根是0。

4． 无理数 无限不循环小数叫做无理数。 5． 实数 有理数和无理数统称为实数。 6． 实数与数轴上的点一一对应。

第13章

1．幂的运算 2． 整式的乘除

幂的运算 乘法 除法 乘方 同底数幂相乘 am2an=am+n 同底数幂相除 am/an=am-n 幂的乘方 (am)n=amn 积的乘方 (ab)n=anbn 推广：三个或三个以上同底数幂相乘 规定a0=1(a≠0) 推广：底数为三个或三个以上的字母

18

初中数学知识点总结

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

am?an?am?n（m、n为正整数）

(2)幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

?a?mn?amn（m、n为正整数）

(3)积的乘方

积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

?ab?n?ab（n为正整数）

nn(4)同底数幂的除法

同底数幂相除，底数不变，指数相减。（m、n为正整数，m>n，a?0） 2.整式的乘法

（1）单项式与单项式相乘 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

（2）单项式与多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 （3）多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（a+b）(m+n)=am+bm+an+bn 3.乘法公式

(1)平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。

?a?b??a?b??a?b

22（2） 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数

积的2倍。

?a?b?2?a?2ab?b ?a?b??a?2ab?b

222224．整式的除法

（1）单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

（2）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

19

初中数学知识点总结

5．因式分解 十字相乘法 乘法公式 分解因式（倒推） 单项式乘单项式：把它们的系 数、相同字母的幂分别相乘，对 单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项 ，再把所得的积多项式乘多项式：用多项式乘另一个多项式的每一项 ，再把所完全平方公式 222平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a±b)=a±2ab+b

（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

（2）公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。 （3）提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。

（4）公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。

（5）十字相乘法：x?(a?b)x?ab=(x?a)(x?b)（a、b是常数）

公式特点：1）右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项的系数为一。2）左边是二次三项式，二次项的系数是1，一次项系数是两常数项之和，积的常数项等于两个因式中常数项之积。

2第14章

a?b22勾股定理

1.对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有

?c

2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2．直角三角形的判定：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a?b?c，那么这个三角形是直角三角形。

222

20

初中数学知识点总结

第15章 平移与旋转

1．平移：图形的平行移动，简称为平移。它由移动的方向和距离所决定。

如下图：把点A与点A'叫做对应点，把线段AB与线段A'B'叫做对应线段，∠A与?A'叫做对应角。△ABC平移的方向就是由点B到点B'的方向，平移的距离就是线段BB'的长度。

2．平移的特征

（1）平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

【注】在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上。 （2）平移后对应点所连的线段平行并且相等。

【注】在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上。

3.旋转 平面内某一个或几个基本的图形绕一个定点沿某一个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做旋转角。显然，旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转的角度、旋转的方向所决定。 4．旋转的特征

（1）图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心距离相等。对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的形状与大小都没有发生变化。

5．旋转对称图形

如果一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形，其中的定点叫做旋转对称图形的旋转中心。 6．中心对称

（1）在平面内，一个图形绕着中心点旋转180后，与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形。这个中心点叫做对称中心。

【注】中心对称图形是旋转角度为180的旋转对称图形。

（2）把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称。，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点，叫做关于中心的对称点。

7．中心对称的特征

（1）在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。反过来，如果两个图形的所有对称点连成的的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。

（2）在成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等，对应角相等。

ooo

21

初中数学知识点总结

8．图形的全等

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

（2）一个图形经过翻折、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。

（3）全等多边形经过变换而重合，互相重合的顶点叫做对应顶点。相互重合的边叫做对应边。相互重合的角叫做对应角。

（4）符号“?”表示全等，读作“全等于” （5）全等多边形的性质

全等多边形的对应边相等，对应角相等。 （6）判断全等多边形全等的方法

边、角分别对应相等的两个多边形全等。 （7）全等三角形对应边相等，对应角相等。

（8）如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 ?ABC??A'B'C'

第16章 平行四边形的认识

1．平行四边形：有两组对边分别平行的四边形。 平行四边形ABCD可以记作 ABCD。 2．平行四边形的性质

（1）平行四边形两组对边分别平行。 （2）平行四边形对边相等，对角相等。 （3）平行四边形对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。 （4）平行线之间的距离处处相等。

【注】两条直线平行，其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离。 3．矩形

（1）有一个角为直角的平行四边形。 （2）矩形特有的性质

1）矩形的四个角都是直角。

2）矩形的对角线相等且互相平分。

3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。 4．菱形

（1）有一组邻边相等的平行四边形。

（2）菱形特有的性质

1）菱形的四条边都相等。

2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 3）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。 5．正方形

22

初中数学知识点总结

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 有一个角是直角的菱形是正方形。 （2）正方形的性质

1）四个角都是直角，四条边都相等。

2）正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 6．梯形

（1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

（2）等腰梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合。 1）等腰梯形是轴对称图形。只有一条对称轴，一底的垂直平分线。 2）等腰梯形同一底边上的两个内角相等。 3）等腰梯形的两条对角线相等。

八年级下

第17章 分式

1．分式

B分式的分子，B叫做分式的分母。

A形如（A、B是整式，且B中含有字母，B?0）的式子，叫做分式。其中A叫做

【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。 2．有理式

整式和分式统称为有理式。 3．分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 5． 最简分式

分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。 6．最简公分母

各分母所有因式的最高次幂的积

7．分式的运算

（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。

（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。 （3）分式的乘方等于分子分母分别乘方。

（4）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 8．分式方程

（1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为

23

初中数学知识点总结

整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。

（3）增根是指不适合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程必须进行检验。

（4）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了方便起见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则为增根。

9．零指数幂与负整指数幂

（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1。

【注】0的零次幂没有意义。

（2）任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。

a?n?1an是正整数） (a?0,n 10． 利用10的负整指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成

?na?10的形式，其中n是正整数，1?a?10。

第18章 函数及其图像

1．变量与函数

（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。

（2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量。此时也称y是x函数。 （3）表示函数关系的方法

1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式法。 2）列表法 3）图像法

（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。 （5）函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值全体。通常从两方面考虑1）在实际问题中，自变量x的取值会受到实际意义的限制。2）使函数的解析式有意义。 2．函数的图像 （1）直角坐标系

1)在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点。

2)在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。例如点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N。这时，点M在x轴上对应的数字是m，称为点P的横坐标；点N在y轴上的坐标为n，称为点P的纵坐标，得到一对有序实数（m，n），称为点P的坐标，可记为P（m，n）。

3)在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。

24

初中数学知识点总结

4)在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。

y Ⅱ N P Ⅰ n O M m x

Ⅲ Ⅳ 5)不同位置点的坐标的特征 第Ⅰ象限 Ⅰ 第Ⅱ象限 第Ⅲ象限 第Ⅳ象限 x轴 y轴 （2）函数的图像 1）一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标 （x，y）代表函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。

2）画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。 3．一次函数

横坐标 + — — + 0 任意实数 纵坐标 + + — — 任意实数 0

25

初中数学知识点总结

（1）函数的解析式都是用自变量的一次整式表示，我们称它们为一次函数。 一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b是常数，k?0。 特别的，当b=0时，一次函数y=kx（常数k?0），也叫做正比例函数。

（2）一次函数的图像

一次函数y=kx+b（k、b是常数，k?0）的图像是一条直线，通常也称为直线y=kx+b。特别的，正比例函数y=kx（k?0）的图像是经过原点（0，0）。

对于直线y=kx+b（k、b是常数，k?0），k表示直线的倾斜程度。b是直线与y轴交点的纵坐标。

（3)一次函数的性质

当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图像从左到右上升。

当k<0时，y随x的增大而减小，这时函数的图像从左到右下降。 当k>0，b>0时，函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限。 当k>0，b<0时，函数经过Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限。 当k<0，b>0时，函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ象限。 当k<0，b<0时，函数经过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限。 （4）求一次函数的关系式

待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知数的系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得出所求结果的方法，叫做待定系数法。 4．反比例函数 （1）一般的，形如y?kx(k?0,k 是常数）的函数叫做反比例函数。

（2）反比例函数的图像时双曲线。 （3）反比例函数的性质

1）当k>0时，函数的图像在第Ⅰ、Ⅲ象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增大而减小。

2）当k<0时，函数的图像在第Ⅱ、Ⅳ象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增大而增大。 5．二元一次方程组的图像解法

画出方程组对应的两个一次函数的图像，找出它们的交点，这个交点的坐标就是二元一次方程组的解，这种解方程的方法叫做二元一次方程组的图像解法。

6．一次函数与一元一次不等式

使一次函数y=kx+b（k?0）的函数值y>0的自变量的所有的值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集。

第19章 全等三角形

1．命题

判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题。

命题可以写成“如果??，那么??”的形式。 2．定理

26

初中数学知识点总结

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 3．公理

数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定公理。 4．全等三角形的判定

一般三角形 SSS SAS ASA AAS

直角三角形 SSS SAS ASA AAS HL 5．尺规作图

只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。 （1）作一条线段等于已知线段 （2）作一个角等于已知角

（3）作已知角的平分线

（4）经过一已知点（直线上、直线外）作已知直线的垂线 （5）作已经线段的垂直的平分线 6．逆命题

（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。 （2）原命题为真，它的逆命题不一定为真 7．等腰三角形的判定

（1）利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）。 8．勾股定理的逆定理

如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的和，那么这个三角形是直角三角形。 9．角平分线

到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 10．线段垂直平分线

到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

第20章 平行四边形的判定

1．平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 2．矩形的判定

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。

27

初中数学知识点总结

3．菱形的判定

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。

（4）每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。 4．正方形的判定

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（2）有一个角是直角的菱形是正方形。

（3）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 5．等腰梯形的判定

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。

（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 （3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

第21章 数据的整理与初步处理

1．算术平均数

??若一组数据为x1,x2,x3......xn，它们的平均数为x，则x?平均数反映了这组数据中个数据的平均大小或者是集中趋势。

1n?x1?x2?x3?????xn?。

2．加权平均数

一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，各指标乘以相应的权重后所得的平均数就是加权平均数。

?x?f1x1?f2x2?????fnxnf1?f2?????fn(f1?f2?????fn?n)

3．扇形统计图的制作

（1）先计算出各部分数量占总数量的百分比。

（2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角的度数。

（3）按照圆心角度数，在圆中画出各个扇形。

（4）在每个扇形中标出所表示各个部分数量名称和所占的百分比。 5．中位数

把一组数据按由小到大的顺序排列，若有奇数个数时，则处在正中间的数是中位数。 若有偶数个数时，则取中间两个数的平均数是中位数。

中位数也反映的是一组数据的集中趋势。 6．众数

一组数据中出现次数最多的那个数据值。它也反映的是一组数据的集中趋势。 一组数据中可以不止一个众数，也可以没有众数。 7．极差=最大值—最小值，反映这组数据的变化范围。

28

初中数学知识点总结

8．方差

用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均。”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫做方差。

通常用ss22?表示一组数据的方差，x表示一组数据的平均数。

222???1???????????x1?x???x2?x???????xn?x?? n??????????9．标准差

s?222???1??????????x1?x???x2?x???????xn?x?? n??????????

九年级上

第22章 二次根式

1．二次根式

a(a?0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，a(a?0)是一个非负数，它的平

方等于a，即有：（1）a?0 (a?0)（2）

形如a(a?0)的式子叫做二次根式。

(a?0)?a ???a(a?0)??a?2?a(a?0)

二次根式的性质：a22．二次根式的乘法

两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。

a?b?ab(a?0,b?0)

3．积的算术平方根

积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。主要用于二次根式的化简。

ab?a?b(a?0,b?0)

4．二次根式的除法

两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。

ab

?ab(a?0,b?0)

29

初中数学知识点总结

6． 商的算术平方根

商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母。

ab?ab(a?0,b?0)

7．最简二次根式

被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。

8．二次根式化简主要包括两方面

（1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。

（2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。 9．同类二次根式

像33与?23，3a 、?2a 与4a 这样的几个二次根式，称为同类二次根式。 二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。

第23章 一元二次方程

1．一元二次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式：ax?bx?c?0(a,b,c是已知数，a?0)。其中a,b,c分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。 2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （2）因式分解法 （3）配方法 （4）公式法 x??b?b?4ac2a222 b?4ac?0

?2?3．一元二次方程的判别式，??b?4ac

当??0时，方程有两个不等的实根。 当??0时，方程有两个相等的实根。 当??0时，方程没有实数根。

x1?x2??ba,x1?x2?ca

30

初中数学知识点总结

第24章

1．相似图形

把具有相同形状的图形称为相似图形。 2．成比例线段

图形的相似

对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如

ab?cd (a:b?c:d)，那么这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段，此时也称这四条

线段成比例。 3．比例的基本性质 （1）如果

ab?cd ，那么ad=bc。

ab?cd 。

（2）如果ad=bc,（a,b,c,d都不等于零），那么4．（1）如果 （2）如果

aba?cdc ，那么

a?bba?c?ddc 。

? 。 ? ，那么

a?bc?dbd5．相似多边形的性质

对应边成比例，对应角相等。（也是判断两个多边形相似的方法） 6．相似三角形

（1）相似用“∽”来表示。

（2）△ABC∽△A＇B＇C＇，对应顶点要写在对应位置上。 （3）如果记

ABA'B'?BCBC''?ACAC''?k，那么这个比值k就是这两个相似三角形的相似比。

（4）全等三角形是相似三角形的特例。 7．相似三角形的判定

（1）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。

（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。

8．相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应高的比等于相似比。 （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

（3）相似三角形的对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 （4）相似三角形周长的比等于相似比。 9．中位线

31

初中数学知识点总结

（1）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。

三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。

（2）三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的

13（3）梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半。

。

10．画相似图形

位似：两个相似的多边形，它们对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。这一点叫做位似中心。

位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比。

第25章

1．锐角三角函数 （1）在Rt△ABC中

∠A 的正弦：sinA=∠A的对边/斜边 ∠A 的余弦：cosA=∠A的邻边/斜边 ∠A 的正切：tanA=∠A的对边/∠A的邻边 ∠A 的余切：cotA=∠A的邻边/∠A的对边 （2）0

sinA?cosA?1tanA?cotA?122解直角三角形

（3）结论：1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2）在直角三角形中，两个锐角互余。 （4）特殊角的函数值 ? sin? 30 oocos? 32tan? cot? 3 12 33 1 45 o22 1221 60 o32 2 3 33 2．解直角三角形，只有两种情况 （1）已知两条边

（2）已知一条边和一个锐角

32

初中数学知识点总结

第26章 随机事件的概率

1．概率

（1）表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率。 P(所关注的事件)=所关注的结果/所有等可能的结果。 2．概率的预测

（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果 （2）要清楚所有机会的结果 （1）、（2）两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率。 方法： 画树状图 列表法

第27章

1．二次函数

形如y?ax2?bx?c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数。它的图像是一条抛物线。

2．y?ax2(a?0)的图像与性质 （1）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）。

（2）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值。当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大。

当a0时，y随x的增大而减小。

3．y?ax?k (a?0)的图像与性质

（1）y?ax?k (a?0)由y?ax(a?0)向上（或向下）平移k个单位得到的。 （2）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,k）。

（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=0时，y=k。当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大。

当a0时，y随x的增大而减小。 4．y?a(x?h)(a?0)的图像与性质

(1) y?a(x?h)(a?0)由y?ax(a?0)向左（或向右）平移h个单位得到的。 （2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，0）。

（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=0。当x

222222二次函数

33

初中数学知识点总结

大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大。

当ah时，y随x的增大而减小。 5．y?a(x?h)2+k（a?0）的图像与性质

（1）y?a(x?h)2?k（a?0）由y?ax2（a?0）先向右（或向左）平移h个单位，再向上（或向下）平移k个单位得到的。 （2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。

（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=k。当xh时，y随x的增大而增大。

当ah时，y随x的增大而减小。

(4)二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y?a(x?h)2+k（a?0）中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关。

6．通过配方把二次函数y?ax2?bx?c(a?0)化成y?a(x?h)2+k（a?0）的形式，即

b2a2y?a(x?)?4ac?b4a2

（1）对称轴x??b2a，顶点坐标（?b2a,4ac?b4a2）

（2）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=?b2ab2a时，y=

4ac?b4a2。当x?时，y随x的增大而增大。

b2a4ac?b4a2当a?2a7．最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步

时，y随x的增大而减小。

配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。

解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果。

8．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。 （1）一般式：y?ax?bx?c(a?0)，给出三点坐标可利用此式来求。

2

34

初中数学知识点总结

（2）顶点式：y?a(x?h)2?k(a?0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求。 （3）交点式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)时可利用此式来求。

9．抛物线与直线的交点

一次函数y?ax?b(a?0)与二次函数y?ax2?bx?c(a?0)交点的个数由方程组

y?ax?b?的解得个数决定。 ?2y?ax?bx?c?当方程组有两个不同解时，两函数图像有两个交点。 当方程组有两个相同解时，两函数图像有一个交点。 当方程组无解时，两函数图像没有交点。 10．二次函数与一元二次方程的关系

（1）二次函数y?ax2?bx?c(a?0)，当y=0时，二次函数就转化为一元二次方程

ax2?bx?c?0(a?0)。

（2）抛物线与x轴交点的个数就由一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中的

??b?4ac决定。

2若??0，抛物线与x轴有两个交点，方程ax?bx?c?0(a?0)有两个不等的实根，

2这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。

2若??0，抛物线与x轴有一个交点，方程ax?bx?c?0(a?0)有两个相等的实根，

此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。

2若? ?0，抛物线与x轴没有交点，方程ax?bx?c?0(a?0)无实根，a?0抛物

线在x轴上方，a?0，抛物线在x轴下方。

11．二次函数y?ax?bx?c(a ?0)与一元二次不等式之间的关系

2若??0，y?ax?bx?c?0的解集为x?x1,x?x2(x1?x2)；

2 y?ax?bx?c?0的解集为x1?x?x2(x1?x2)。

2若??0，y?ax?bx?c?0的解集为x?x1,2；

2 y?ax?bx?c?0的无解。

235

初中数学知识点总结

若??0，y?ax2?bx?c?0的解集为x可取任意实数。 y?ax2?bx?c?0的无解。

第28章 圆

1．圆的认识

（1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。或到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。 （2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。

（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。

（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为BC、BAC，

︵

︵

︵其中像弧BC这样小于半圆周的圆叫做劣弧。像弧BAC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。

︵

（3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。

2．圆的对称性

（1）在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 （2）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。 （3）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。 （4）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 3．垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。

4．圆周角

（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。 （2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。

90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

（3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。 （4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 5．点与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则 （1）点在圆外 d?r （2）点在圆上 d?r

36

初中数学知识点总结

（3）点在圆内 d?r 6．（1）过一点可以画无数个圆；

过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；

过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。

（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。

（3）一个三角形的外接圆是唯一的。 7．直线与圆的位置关系

（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。

（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．

（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．

如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出： 若d?r 直线l与⊙O相离； 若d?r 直线l与⊙O相切； 若d?r 直线l与⊙O相交； 8．切线

（1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论：1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）切线长：把切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

（5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点。 6．圆和圆的位置关系

1）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内

37

初中数学知识点总结

含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。

2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。 3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如（6）所示。

（1）两圆外离?d?R?r； （2）两圆外切?d?R?r； （3）两圆外离?R?r?d?R?r； （4）两圆外离?d?R?r； （5）两圆外离?0?d?R?r

7．圆中的计算问题 （1）弧长的计算公式为：l?n? r180

（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

扇形面积的计算公式：S?n? r3602?12lr

（3）圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。

圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中a，而h就是圆锥的高。

38

初中数学知识点总结

（4）圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。

第29章

反证法的步骤：

（1）先假设结论的反面是正确的。

几何的回顾

（2）然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确。

第三十章 样本与总体

1．普查：为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查。

2．抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查。 3．总体：把所要考察的对象的全体叫做总体。

4．个体：把总成总体的每一个考察对象叫做个体。

5．样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 6．样本容量：一个样本中包含的个体的数量叫做这个样本的容量。 7．调查的对象在总体中要具有代表性，样本容量要足够大。

8．简单的随机抽样：用抽签的办法决定哪些个体进入样本，这种抽样方法叫做简单的随机抽样。

9．随机性：不能够事先预测结果的特性叫做随机性。

39

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f7d3.html