高三物理带电粒子在磁场中的运动

圆周运动中的有关对称规律:

(1)当带电粒子从同 一直线边界入射出射 时速度与边界夹角相 同

——对称性

(2) 在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必 沿径向射出

带电粒子在圆形匀强磁场 中的运动往往涉及粒子轨 迹圆与磁场边界圆的两圆 相交问题。

v α

B

O θ

边 界 圆

边 界 圆

B O C A

B

O'

θ O′

轨 迹 圆

轨迹圆

两圆心连线OO′与点C共线。

θ+ α = π

例1、如图，虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场B。电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁 场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向成θ 角。设电子质量为m,电荷量为e,不计电子之间的相互 作用力及所受的重力。求： r B (1)电子在磁场中运动轨迹的半径R; v O (2)电子在磁场中运动的时间t; θ (3)圆形磁场区域的半径r。 mv R 解：(1) R θeB

(2)由几何关系得：圆心角： α = θt

2 O1 2 r R

v

2

T

m eBtan

(3)由如图所示几何关系可知，

所以：r

mv eB

tan

2

轨迹圆的缩放 当粒子的入射速度方向一 定而大小可变时，粒子做 圆周运动的圆心一定在粒 子在入射点所受洛伦兹力 的方向上，半径R不确定， 利用圆规作出一系列大小 不同的内切圆，从圆的动 态变化中即可发现临界点

例2、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方 向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在 ad边中点O,方向垂直磁场向里射入一速度方向跟 ad边夹角θ=30°、大小为v 的带正电粒子，已知 粒子质量为m,电量为q,ad边长为L,ab边足够 长，粒子重力不计，求：(1)粒子能从ab边上射出 磁场的v0大小范围.0

解：(1) R1+R1sin30º L/2 = 得R1 = L/3 R2- R2cos60º L/2 = 得：R2 = L。 (1)qBL mqBL 3m

a

b

R1O v 0

R2 B c

≥v0≥

d

例2、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向 垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad 边中点O,方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边 夹角θ=30°、大小为v 的带正电粒子，已知粒子质 量为m,电量为q,ad边长为L,ab边足够长，粒子 重力不计，求：(2)如果带电粒子不受上述v 大小范 围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.0 0

a

b

R1O v 0

R2 B c

d

轨迹圆的旋转 当粒子的入射速度大小 一定而方向不确定时， 从不同方向入射的粒子 的轨迹圆都一样大，只 是位置绕入射点发生了 旋转，从定圆的动旋转 中发现临界点

例3、如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于 纸面向里，

PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。 现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不

同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带 电粒子打在边界PQ上的范围(粒子的重力不计)。

分析：从O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r相同，O为这些轨迹圆周的公共点。P P M P r O O O r Q N Q答案：MN ( 3 1) r

2r

2r

Q

练1、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B=0.6T的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板ab,在距ab距离 为l=16cm处，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子， α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s,已知 α粒子的电荷与质 量之比q/m= 5.0×107 C/kg ,现只考虑在图纸平面中运动 的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。解：α 粒子带正电，沿逆时针方向做 匀速圆周运动，轨道半径R为R mv qBNP 1 R2

a

P1

N l S

P2

b

10 cm

即：2R > l > R。2

(l R )2 2

8 cm

B

NP 2

( 2R ) l

12 cm

∴P1P2=20cm

例、如图，水平放置的平板MN上方有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B,许多质量为m,带电 量为+q的粒子，以相同的速率 v 沿位于纸面内的各个方 向，由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的 相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的 区域，其中R=mv/qB,哪个图是正确的？( A )A.2R

B.

2R

OM2R R N M 2R R

O2R N

B

C.M 2R

D.OM 2R 2R

O2R N

R N

M

O

N

……以速率 v 沿纸面各个方向由小孔O射入磁场

2R

2R

2R

O2R R R

O2R 2R

O2R 2R

O

R 2R

A.

B.

C.

D.

例、如图，半径为 r=3×10-2m的圆形区域内有一匀强磁场B=0.2T,一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入磁

场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg,不计重力。若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如 何(以v0与oa的夹角表示)?最大偏转角多大？ 解析： R =mv/Bq=5×10-2m > r

说明：半径确定时，通过的弧越长，偏转角度越大。而弧小于半 个圆周时，弦越长则弧越长。 sin = r/Ra

B v0 α r R α O b

= 37º ,

最大偏转角为 2 = 74º 。

拓展：若改粒子射入磁场的速度为v0′=3.0×105m/s,其 它条件不变。用斜线画出该批粒子在磁场中可能出 现的区域。若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角， 其入射时粒子的方向应如何(以v0与oa的夹角表示)? 最大偏转角多大？解析： R′ = mv0′/Bq=1.5×10-2m = r/2因此，在ab上方的粒子可能出现 的区域为以aO为直径的半圆，如图 所示。在ab下方粒子可能出现的区域 为以a为圆心，aO为半径所作圆与磁 场相交的部分，如图。

v0 v0

B O

a 2R′

v0

最大偏转角为180º ,射时粒子的方向应与oa的夹角为30º 。

例.如图，在足够大的屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁

场方向垂直纸面向里，P为屏上一小孔，PC 与MN垂直。一束质量为m、电荷量为-q的粒子(不计 重力)以相同的速率v从P处射入磁场区域，粒子入射方 向在与磁场垂直的平面里，且散开在与PC夹角为θ的范

围内，则在屏MN上被粒子打中区域的长度为( 2mv 2mvcosθ A. B. qB qB C 2mv(1-sinθ) C. qB θ θ θθ 2mv(1-cosθ) D. M P N qBθθ

D)

例、如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R1=0.5m, 外半径为 R2=1.0m,磁场的磁感应强度 B=1.0T,若被缚

的带电粒子的荷质比为 q/m=4×107C/kg,中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。试计算： (1)粒子沿环状的半径方向 射入磁场，不能穿越磁场的最 大速度。R2 R1 O r v B

(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

R2

答案：(1)1.5×107m/s,(2)1.0×107m/s。

例、一磁场方向垂直于xOy平面，分布在以O为中心的圆形区域内。质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开 始运动，初速为v,方向沿x正方向。粒子经过y轴上的P

点，此时速度方向与y轴的夹角为30º ,P到O的距离为L。不计重力。求磁感强度B磁场区域的半径R。 解析： 基本思路： 1)作出运动轨迹；y v 30° P

L=3r 2)找出有关半径的几何关系： 3)结合半径、周期公式解。 mv2 3mv evB = B R qL 3 R L 3

L

r R

O

v B

x

例、如图，质量为m、电量为q的正离子，从A点正对圆心O以某一速度射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电 粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出，问发生碰撞的 最少次数？并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间t ? 设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子

的重力。

2次B

t = m / Bqv B O α

v

Oθ O′

α + θ =

例、如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度 为L;中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀 强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度 大小均为B。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正 电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中 间磁场区域进入右侧磁 d L 场区域后，又回到O点，然 O3 后重复上述运动过程。求： E (1)中间磁场区域的宽度d; O2 O (2)带电粒子的运动周期。B O1 1 B2

解：(1)如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得： q E L带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得： BqV 由以上两式，可得R 1 B 2 mEL q

m

V

2

1 2

mV

2

R

粒子在两磁场区运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为：d R sin 600

1 2B

6 mEL q

(2)在电场中运动时间t1 2V a 2 mV qE 2 2 mL qE

LO3t2 T 35 6

d

在中间磁场中运动时间 在右侧磁场中运动时间 则粒子的运动周期为t t1 t 2 t 3 2

2 m 3 qB

E O B O1 1O2

t3

T

5 m 3 qB

B2

2 mL qE

7 m 3 qB

例、 如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d,外筒 的半径为r0,在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线 方向的均匀磁场B。在两极间加上电压。一质量为m、带 电量为+q的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝a的S 点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点S,则 两电极之间的电压U应是多少？ (不计重力，整个装置在真空中)

解析 ：1 mv 2 qU 2

a

v2 qBv m R

q Sd O c

b

半径 R = r0

qr 02 B 2 U 2m

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