广东省七校联合体2019届高三第二次（12月）联考数学理试题

广东省七校联合体2019届高三第二次联考试卷

数学理

参加学校：宝安中学 潮阳一中 桂城中学 南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学 第Ⅰ卷

一、选择题：

01．设复数z满足z?3i?3?zi，则z?( ) A．3 C．3i

B．-3 D．-3i

cos20????cos351?sin2002．求值( ) 2A．2

C．2

2B．-2

D．-2 03．“a≤-3”是“f(x)=-|x+a|在[3,+∞)上为减函数”的什么条件( ) A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要

04．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A．6种 B．10种 C．12种 D．24种

05．设FB1B、FB2B是双曲线C的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使得∠FB1BAFB2B=90°，且|AFB1B|=3|AFB2B|，则其离心率为( )

5A．2

15C．2

10B．2

D．5 06．如图一个水平放置的透明无盖的正方体容器，高12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )

169?A．6cmP3P

676?B．3cmP3P 8788?C．3cmP3P

2197?D．6cmP3P

·1·

??????????????AB?aAC?b07．如图△ABC中，D、E分别是AB和BC的三等分点，若，，则DE?( )

?????????1??1?12DE?a?bDE?a?b3333 A． B．?????????2??1?11DE?a?bDE?a?b3322 C． D．

108．已知函数f(x)=ln(x?1)-x,则y=f(x)的图像大致为( )

09．执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2) 和实数aB1B,aB2B,…,aBNB,输出A,B,则( ) A．A+B为aB1B,aB2B,…,aBNB的和

A?BB．2为aB1B,aB2B,…,aBNB的算术平均数

C．A和B分别是aB1B,aB2B,…,aBNB中最大的数和最小的数 D．A和B分别是aB1B,aB2B,…,aBNB中最小的数和最大的数

(x?a)(2x?1)5xx的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x2项为( ) 10．

A．0

2

B．?80x D．160x

22C．80x

11．如图一个圆柱被一个平面截去一部分后与半

球(半径r=3)组成一个几何体，该几何图体 三视中的正视图和俯视图如图所示，则该几 何体的表面积为( ) A．63?

·2·

B．80? C．36?27? D．36?45?

12．设函数f(x)?(x?2)lnx?ax?1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)?0， 则a的取值范围是( )

A．

(0,1?3ln3) C．(1?3ln3,1)

(12,1?ln3B．3)D．[1?3ln3,1)

3·

·第Ⅱ卷

二、填空题：

24?xf(x)?x?a?2为奇函数，则a?____________ 13．若函数

2x2?y?114．经过双曲线916的左顶点，

虚轴上端点，右焦点的圆的方程是_____________

?x?y?4??y?x?2??x?1x?y?y?0x,y满足约束条件?15．若，则x?1的最小值为_____________

16．已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，

且(2?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC，则△ABC周长的最大值为__________ 三、解答题

17．(本小题满分12分)

a1?a2?a3???an?1?a?2n(n?2)，a1?2 34n已知Sn为数列?an?的前n项和，21bn??3an?5??3an?1?5?，求数列?bn?的前n项和Bn ⑴求?an?的通项公式；⑵设

18．(本小题满分12分)

人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示： 幸福感指数 男居民人数 女居民人数 [0，2) 10 10 [2，4) 20 10 [4，6) 220 180 [6，8) 125 175 [8，10] 125 125 根据表格，解答下面的问题： (Ⅰ)在右图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；

(Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数，求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)． 19．(本小题满分12分)

如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分， 底面ABCD是矩形，侧棱GC、ED、FB都垂

·4·

直于底面ABCD，GC=3，AB=22，BC=5， 四边形AEFG为菱形，经过C且垂直于AG的 平面与EG、AG、FG分别交于点M、H、N； ⑴求证：CN⊥BH；

⑵求面AFGE与底面ABCD所成二面角的余弦值。 20．(本小题满分12分)

2y2xC:2?2?1( a?b?0)P(4,b)ab椭圆的上顶点为A，33是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C

的右焦点F．

⑴求椭圆C的方程；

⑵设过点M(2 ,0)的动直线l与椭圆C相交于D、E两点，求△ODE面积的最大值

21．(本小题满分12分)

1?xg(x)?xef(x)?(2?a)x?2lnx?a?2已知函数，

(0,1)f(x)⑴若函数在区间2无零点，求实数a的最小值；

⑵若对任意给定的x0?(0,e]，方程f(x)?g(x0)在(0,e]上总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E， ⑴证明：∠ADE=∠AED；

PC⑵若AC=AP，求PA的值.

·5·

23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

已知曲线C1：

?x?3?costy?2?sint (t为参数)， C2：y?3sin?(?为参数).

?x?4cos?⑴化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； ⑵若C

1上的点P对应的参数为

t??，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线

C3:??cos??2sin???7距离的最大值．

24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??x?a.

⑴若f?x??m?m?0?的解集为x????,1???7,???，求实数a,m的值；

⑵当a??1时，当x??2时，不等式f?x??t?f?x?2?恒成立，求t的取值范围.

七校联合体2019届高三第二次联考试卷

理科数学（答案）

一、选择题：CCDCBD、ABCADB 二、填空题： -2 三、解答题

x2?y2?2x?1y?15?04

43

6

a1?a2?a3???an?1?a?2n34n17．解：⑴当n≥2时，2 ……① aa1a2a3?????n?an?1?234n?1∴2 ……②【1分】

an?1n?2an??an?1?anan?1 (n?2……)【3分】 ∴②-①得n?1，即na1?a2?22由，得a2?3

∴

……【4分】

an?a2?a3a4a????n?3?4?5???n?1a2a3an?134n?n?1 (n?3)……【6分】

·6·

∵a1?2、a2?3都满足上式 ∴an?n?1 ⑵

……【7分】

bn?11111??3an?5??3an?1?5??3n?2??3n?1??3(3n?2?3n?1)……【9分】

频率组距0.250.200.150.100.05O0.010.0151?(1?1)?(1?1)???(1?1)??4473n?23n?1? ∴Bn3??1(1?1)?n33n?13n?1 ……【12分】

18．解：(1)频率分布直方图如右……【3分】 所求的平均值为： 0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5

+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46……【5分】

0.20 0.15 0.125250?0.5(2) 男居民幸福的概率为500 300?0.6女居民幸福的概率为500

246810幸福感指数故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6=0.3……【7分】

因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B(4,0.3) ……【8分】

∴P(X?0)?C4?(1?0.3)?0.2401，P(X?1)?C4?0.3(1?0.3)?0.4116

23P(X?2)?C4?0.32(1?0.3)2?0.2646，P(X?3)?C4?0.33(1?0.3)?0.0756 4P(X?4)?C4?(1?0.3)4?0.0081，

04113∴X的分布列为 X

p 0 0.2401

1 0.4116 2 0.2646 3 0.0756 4 0.0081

……【11分】

∴E(X)?np?4?0.3?1.2

……【12分】

·7·

19．⑴证：连结BH，由题知AB⊥面BCGF 又∵CN?面BCGF，∴AB⊥CN ……【1分】 ∵AG⊥面CMN，∴AG⊥CN ……【2分】

又∵AG∩AB=A，AG、AB?面BAH，∴CN⊥面BAH……【4分】 又∵BH?面BAH，∴CN⊥BH ……【5分】

⑵解：以DA、DC、DE为x、y、z轴，建立空间直角坐标系……【6分】 ∵四边形AEFG为菱形，可设AE=EG=a，DE=b

222由AE?AD?DE，得a?5?b

22由EG?(GC?DE)?DC，得a?(3?b)?8 以上面两式解得：a=3，b=2

……【8分】

22222∴E(0,0,2)、A(5,0,0)、G(0,22,3)

????????∴AE?(?5,0,2)、AG?(?5,22,3)

??????n?AE?0???????n?AG?0?n由，解得?(8,?10,45)为面AFGE的一个法向量……【10分】

?m由题知?(0,0,1)为面ABCD的一个法向量

????n2770??2770cos?n,m????mnm77，∴所求二面角的余弦值为77……【12分】 ∴

????4?c,b??AF?c,?b,FP?33 20．解：⑴由题知：A?0,b?,F?c,0?，∴

??4c?c2?b2?0????????????????3∵AF?FP，?AF?FP?0，即3……【1分】

b43?3?12222b2又a且a?b?c，

????22 ……【2分】

x2?y2?1∴b?c?1,a?2，∴椭圆C的方程为：2……【4分】

⑵依题意可设动直线l的方程为：y?k?x?2??k?0? 设D?x1,y1?,E?x2,y2?

2??x?y?1?22222?1?2kx?8kx?8k?2?……0【5分】 ????y?kx?2?由可得 20?k?1??64k?41?2k8k?2?0????2……【6分】 则，解得

2422·8·

22x1?x2?8k2x1x2?8k?21?2k，1?2k2 由韦达定理可得

……【7分】

2?x1?x2??4x1x2 DE?1?k∴

2?1?k2?8k21?2k2?2222221?k1?2k?48k?2?1?2k21?2k2……【8分】

设点O到直线l的距离为d, 则

d?2k1?k2 S?ODE∴

?1DEd?222k2?2k42?1?2k2? ?22?231?11?312?22???122221?2k21?2k??16……【10分】 2k?14??1?1?1?20?k2?122 ?1?2k?1?2 22k?1 ?1?3k??61?222?26时，S△ODE取得最大值，最大值为42 ∴当2k?14即

21．解：⑴记l(x)?(2?a)(x?1)，s(x)?2lnx，则f(x)?l(x)?s(x)

(0,1)(0,1)f(x)s(x)l(x)∵在2上无零点，∴直线与曲线在2上无交点

l(1)?s(1)(2?a)(1?1)?2ln12，即22 只需2解得a?2?4ln2，∴a的最小值是2?4ln2……【4分】 ⑵g(x)?(1?x)e?1?x，

e)在(0,1)上，g(x)?0，g(x)单调增；在(1,上，g(x)?0，g(x)单调减

??g(0)?0，g(1)?1，g(e)?e2?e?0

∴g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]

……【6分】

f?(x)?(2?a)x?2x

?①当a?2时，在(0,e]上，f(x)?0，f(x)单调减，不合题意……【7分】 x?2?0?f(x)?02?a②当a?2时，令得

·9·

2?e2?2?a?2e(i)当2?a时，即时，

?在(0,e]上，f(x)?0，f(x)单调减，不合题意……【8分】

2?ea?2?2e时， (ii)当2?a时，即

(0,2)(2 ,e)??f(x)?0f(x)在2?a上，，单调减；在2?a上，f(x)?0，f(x)单调增

?x1?(0,2)?(0,e2?a∵

a?32)，使得f(x1)?(2?a)?0?2lnea?32?a?2?1……【9分】

∴要使方程f(x)?g(x0)在(0,e]上总存在两个不等的实根

a?2ln(2?a)?2ln2?02???f(2?a)?0???3a?2???e?1只需?f(e)?1，即?……（*） ……【10分】 x?2?2h(x)?x?2ln(2?x)?2ln2e 令，

h?(x)?xx?2，令h?(x)?0得x=0

2)(0,2?e上，h?(x)?0，h(x)单调减 在(??,0)上，h?(x)?0，h(x)单调增；在

∴h(x)max?h(0)?0，

?a?2?2?e?a?2?3??e?1 ∴（*）式的解为

……【11分】

a?2?3(??,2?3]e?1，∴实数a的取值范围是e?1……【12分】 ∴

22．解：(1)∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C

又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE ∴∠ADE=∠AED

…………【5分】

PCAC(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴?APC∽?BPA,PA=AB,

∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC,

由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180o, ∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90o ∴∠C+∠APC+∠BAP=90o,∴∠C=∠APC=∠BAP=30o,

PCAC在Rt?ABC中, AB=3,∴PA=3

…………【10分】

·10·

23．解：⑴由C1：

?x?3?costy?2?sint (t为参数)可得?x?3???y?2??1

222x2?y?1由C2：y?3sin?(?为参数)可得169

?x?4cos?曲线C1是以C1?3,2?为圆心，以1为半径的圆； 曲线C2是焦点在x轴上的椭圆；

…………【4分】

3sin?M1?2cos?,1?2⑵由已知可得点P?2,2?，Q?4cos?,3sin??，则

又直线C3:??cos??2sin???7可化为：x?2y?7?0 设M到直线C3的距离为d，

??则

d?1?2cos??2?3sin??72cos??3sin??8?55 ?13sin??????8tan??253) (其中

???R ?sin????????1,1? ∴d的最大值为

65?855 …………【10分】

24．解：⑴由题意可得1和7是方程x?a?m的两根

∴7?a?m 解得a?4,m?3

?1?a?m

…………【4分】

⑵当a??1时，不等式f?x??t?f?x?2?可化为x?1?x?3??t

?2,x??3?g?x??x?1?x?3???2x?4,?3?x??1???2,x??1令

当x??2时，g?x??0

????∴当x??2时，不等式fx?t?fx?2恒成立

只需满足0??t即可

·11·

∴t?0，∴t的取值范围为?0,???.

…………【10分】

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