《线性代数》习题集（含答案）

线性代数习题集

《线性代数》习题集（含答案）

第一章

【1】填空题 （1） 二阶行列式

a2babb=___________。

cos?（2） 二阶行列式

sin?（3） 二阶行列式

?sin?=___________。

cos?a?bib=___________。

2aa?bixyxzzy=___________。 xcb?cbca=___________。 c?a2（4） 三阶行列式zya?b（5） 三阶行列式

ab答案：1.ab(a-b)；2.1；3.?a?b?；4.x?y?z?3xyz；5.4abc。

333【2】选择题

12（1）若行列式153?2=0，则x=（）。

25xA-3； B-2； C2； D3。

x11（2）若行列式1x1?0，则x=（）。 11xA -1，?2； B 0，?2； C 1，?2； D 2，?2。

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?2（3）三阶行列式503315201298=（）。 23A -70； B -63； C 70； D 82。

a0（4）行列式

0b440ab020ba022b0=()。 0a；Cb?a；Dab。

44Aa?b；Ba?b??44010?0002?0?=（）（5）n阶行列式???。

000?n?1n00?0A0；Bn！；C（-1）·n！；D??1?n?1?n!。

答案：1.D；2.C；3.A；4.B；5.D。

【3】证明

by?azbz?axbx?ayxyxzzy xbx?ayby?azbz?ax?(a3?b3)zbz?axbx?ayby?azy答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）?（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）?（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）?（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数：

（1）135?（2n-1）246?（2n）；（2）246?（2n）135?（2n-1）。 答案：（1）

11n（n-1）；（2）n（n+1） 22【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

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（1）a15a23a32a44a51a66；（2）a21a53a16a42a65a34；（3）a61a52a43a34a25a16 答案：（1）正号；（2）负号。 【7】根据定义计算下列各行列式：

00001000200（1）00300；(2)

004000a415000000（4）?n?100?0100?200???? 0?0000?00na110a22a3200a23a330a1400a4400；（3）?00??01?20??；

0n?1?00n0?00答案：（1）5！=120；（2）

n(n?1)2?a11a44?a14a41??a22a33?a23a32??a11a22a33a44?a11a23a32a44?a14a22a33a41?a14a22a33a41(n?1)(n?2)2；

（3）(?1)（4）(?1)?n!；n!。

【8】计算下列行列式：

11（1）

0?51a（4）2aa335411bb2b31233?41；（2）

1?113?611cc2c31d。 2dd3131111311111；（3）1131111234；

491682764答案：（1）-136；（2）48；（3）12；

（4）（b-a）（c-a）（d-a）（c-b）（d-b）（d-c） 【9】计算下列n阶行列式：

100?01111?122?223?3； ???23?n第3页 共35页

110?001（1）011?00；（2）1??????000?111线性代数习题集

123?n322?2-10（3）-1-23?n232?20?n；（4）223?2；

????222?3n1?。

????-1-2-3?n12（5）?23?34???n?1n1?n?2n12?n?1答案：（1）1+(?1)n?1?2???0n（n-1）2n为奇数n为偶数?n+1n-1n。 2；（2）1；（3）n！

（-1）（4）2n+1；（5）

【10】计算下列行列式：

a1?b1a2?b1（1）a3?b1a1?b2?a1?bnab0?000ab?0000??ab0a（n阶）；

?an?b1a?a（3）

00a?a3?b2?a3?bn；（2）

?????000?an?b2?an?bnb00?a?a?00a10a2?01?0a?00????000???an1000?an1。

a2?b2?a2?bna?ha?2h?a?(n?1)ha?nh??00?a?a00?0a；

0?00?a100?01?a20?01（4）

?a3?答案：（1）n=2时，行列式等于（b2-b1)(a2-a1)；n≥3，行列式为0； （2）a?(?1)nn?1n1n（3）(n?1)(2a?nh)a； b；

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（4）(?1)(n?1)n?a

ii?1n【11】计算n+1阶行列式：

01?110?010?0??100（ai?0；i=1，2，?n） ?1a1a2??an答案：?a1a2?an?1(a?0;i?1,2,?,n). ?ai?1in【12】解下列线性方程组：

?x1?4x2?6x3?4x4?5x5?0?x1?x2?x3?x4?5?x?x?4x?6x?5x?012345?x?2x?x?4x??2??1?234（1）?；（2）?4x1?x2?x3?4x4?6x5?0。

2x?3x?x?5x??2234?1?6x?4x?x?x?4x?02345??1?3x1?x2?2x3?11x4?0??4x1?6x2?4x3?x4?x5?0答案：（1）x1?1,x2?2,x3?3,x4??1； (2)x1?x2?x3?x4?x5?0.

【13】计算n阶行列式

a?x1D?aa?aaa?x2a?aa?aa?aa?x3?a ??a?a?1111?于是Dn?ax1x2????????

xnxn?1x1a??【14】证明

2cos?1Dn?0?0012cos?1?0001?00??000?000?12cos?sin?n?1???

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