m序列和Gold序列特性研究要点

扩频通信实验报告

Harbin Institute of Technology

扩频通信实验报告

课程名称： 扩频通信 实验题目： Gold码特性研究 院 系： 电信学院 班 级： 通信一班 姓 名： 学 号： 指导教师： 迟永钢 时 间： 2012年5月8日

哈尔滨工业大学

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第1章 实验要求

1. 以r=5 1 45E为基础，抽取出其他的m序列，请详细说明抽取过程； 2. 画出r=5的全部m序列移位寄存器结构，并明确哪些序列彼此是互反多项式； 3. 在生成的m序列集中，寻找出m序列优选对，请确定优选对的数量，并画

出它们的自相关和互相关函数图形；

4. 依据所选取的m序列优选对生成所有Gold序列族，确定产生Gold序列族的

数量，标出每个Gold序列族中的所有序列，并实例验证族内序列彼此的自相关和互相关特性；

5. 在生成的每个Gold序列族内，明确标出平衡序列和非平衡序列，并验证其

分布关系。

6. 完整的作业提交包括：纸质打印版和电子版两部分，要求两部分内容统一，

且在作业后面附上源程序，并加必要注释。 7. 要求统一采用Matlab软件中的M文件实现。

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第2章 实验原理

2.1 m序列

二元m序列是一种伪随机序列，有优良的自相关函数，是狭义伪随机序列。m序列易于产生于复制，在扩频技术中得到了广泛应用。

2.1.1 m序列的定义

r级非退化的移位寄存器的组成如图1所示，移位时钟源的频率为Rc。r级线性移位寄存器的反馈逻辑可用二元域GF(2)上的r次多项式表示

时钟源12rf(x)?c0?c1x?c2x2???crxr ci?{0,1}

(1)

ai?1c0c1ai?2c2?ai?rcr?1cr模2加法器

r级线性移位寄存器

式(1)称为线性移位寄存器的特征多项式，其给出的表示反馈网络的而逻辑

图 2-1

关系式是现行的。因此成为线性移位寄存器。否则称为，非线性移位寄存器。

对于动态线性移位寄存器，其反馈逻辑也可以用线性移位寄存器的递归关系式来表示

ai?c1ai?1?c2ai?2?c3ai?3???crai?r ci?{0,1}

(2)

特征多项式(1)与递归多项式(2)是r级线性移位寄存器反馈逻辑的两种不同种表示法，因其应用的场合不同而采用不同的表示方法。以式(1)为特征多项式的r级线性反馈移位寄存器所产生的序列，其周期N?2r?1。假设以GF(2)域上r次多项式(1)为特征多项式的r级线性移位寄存器所产生的非零序列{ai}的周期为N?2r?1，称序列为{ai}是最大周期的r级线性移位寄存器序列，简称m序列。

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2.2.2 m序列的自相关函数

根据序列自相关函数的定义以及m序列的性质，很容易求出m序列的自相关函数

?1 ??mN? R(?)??1? ??mN??N(3)

但是(3)式给出的是m序列的自相关函数，并不是m码的自相关函数。首先将m序列变换为m码。将m序列的每一比特换为宽度为Tc(Tc?1/Rc)、幅度为1的波形函数，当m序列为0元素时，波形函数取正极性，否则取负极性。通过这样的变换后，周期为N的m序列就变为宽度为Tc、周期为NTc的m码。

m码的自相关函数R(?)是一个周期函数，其周期为N，在?Tc???(N?1)Tc区间内m码的自相关函数表达式为

?1N?1R(?)????(?)???(??kNTc)

NNTck???(4)

2.2.3 m序列的互相关函数

m序列的互相关函数不具有理想的双值特性。m序列的互相关函数是指长度相同而序列结构不同的两个m序列之间的相关函数。研究表明，长度相同结构不同的m序列之间的互相关函数不再是双值函数，而是一个多值函数。互相关函数值的个数与分元培集的个数有关。

2.2.4 m序列的构造

构造一个产生m序列的线性移位寄存器，首先要确定本原多项式。本原多项式确定后，根据本原多项式可构造出m序列移位寄存器的结构逻辑图。

本原多项式的寻找是在所有r次多项式中去掉其中的可约多项式，在剩余的

r次不可约多项式中，根据本原多项式的定义用试探的办法，查看其产生的序列是否为m序列。若产生的序列是m序列，则该多项式为本原多项式，否则就不是本原多项式。这一方法可以通过计算机编程来实现。

2.2 Gold序列

Gold序列具有良好的自相关与互相关特性，可以用作地址码的数量远大于m序列，而且易于实现、结构简单，在工程上得到广泛的应用。

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2.2.1 m序列优选对

m序列优选对，是指在m序列集中，其互相关函数绝对值的最大值(称为峰值互相关函数)R(?)max最接近或达到互相关值下限的一对m序列。

设?ai?是应对于r次本原多项式F1(x)所产生的m序列，?bi?是对应于r次本原多项式F2(x)所产生的另一m序列，当序列?ai?与?bi?的峰值互相关函数(非归一化)Rab(?)max满足下列关系：

?1?1?r2 r为奇数?2??r?2

?1?22 r为偶数且不是4的倍数?

Rab(?)max(5)

则F1(x)与F2(x)所产生的m序列?ai?与?bi?构成m序列优选对。

2.2.2 Gold序列族

在给定了移位寄存器级数r时，总可以找到一对互相关函数值是最小的码序列，采用移位相加的方法构成新的码组，其互相关旁瓣都很小，而且自相关函数与互相关函数均是有界的。这一新的码组被称为Gold码或Gold序列。

Gold序列是m序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同的m序列优选对的模2和序列构成。每改变两个m序列相对位移就可得到一个新的Gold序列。当相对位移1,2,?,2r?1个比特时，就可以得到一族2r?1个Gold序列，加上原来的两个m序列，共有2r?1个Gold序列，即

Gr?2r?1

(6)

产生Gold序列的移位寄存器结构有两种形式。一种是乘积型的，即将m序列优选对的两个特征多项式的乘积多项式作为新的特征多项式，根据此2r次多项式构成新的线性移位寄存器。另外一种是直接求两m序列优选对输出序列的模2和序列。由于这样产生的复码的后期是组成复码的子码周期的最小公倍数，由于组成复码Gold序列的子码的周期都是2r?1，所以Gold码序列的周期是

2r?1。Gold码族同族内互相关函数取值已有理论结果，且具有三值互相关函数

的特性。但是不同Gold码族之间的互相关函数取值已不是三值而是多值，而且互相关值已大大超过了同族内部的互相关值。

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2.2.3 平衡Gold序列

Gold序列就其平衡性来讲，可以分为平衡码序列和非平衡码序列。在一个周期内，平衡码序列中1码元与0码元的个数之差为1，非平衡码元中1码元与0码元的个数之差多余1。在扩频通信中，对系统质量影响之一就是扩频码的平衡性，平衡码具有更好的频谱特性。在直接序列系统中码的平衡性与载波的抑制度有密切的联系。码不平衡时直接序列系统的载波泄露增大，这样就破坏了扩频系统的保密性、抗干扰与侦破能力。

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第3章 实验设计

3.1 抽取m序列

由文献[2]可知，给定一个最大周期的r级线性移位寄存器序列，可以从中抽取出所有可能的最大周期的r级线性移位寄存器序列。即给定一r级小m序列，可以抽取出其他所有r级的小m序列。下面首先简单叙述小m序列抽取的定义和相关性质。

3.1.1 抽取m序列定义

设原m序列 u?{u0,u1,u2,?,uN?1}，序列u?q?为对m序列u进行等间隔采样，采样间隔为q。即u?q??{u0,uq,u2q,u3q?}。我们定义这个过程为m序列的抽取过程。

3.1.2 m序列抽取性质

（1）u?q??u?2iq?，即按照采样间隔为q和按照q二的倍数间隔采样得到是处在不同相位的同一组序列。

（2）当以间隔q对一个m序列采样时，新得到的序列的周期为

Nv?N。即当gcd(N,q)=1时抽取获得的序列满足Nv?2r?1，即抽取所得

gcd(N,q)为m序列。

3.1.3 抽取m序列设计

本实验中抽取m序列的函数文件为sample.m，对r级m序列抽取的q可以

?2r?2，使用Matlab抽取获得这2r?2个序列。如果某序列移位循环k取为1,2,位与另一序列相同，则它们是处于不同相位的同一m序列，将它们对应的q归为一类。

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3.2 m序列优选对的寻找

3.2.1 相关函数设计

本试验中求取m序列自相关函数的函数文件为Autorelation.m文件，求取m序列互相关函数的函数文件为Cross_Correlation.m文件。在求取相关函数的过程中，我们利用的是2个序列循环移位相加的形式得到结果的，并且自相关函数是归一化的，而互相关函数则未进行归一化。

3.2.2 优选对的寻找设计

m序列的定义详见2.2.1节，本项实验利用前面抽取获得的m序列，依次检查两项之间的互相关函数是否满足式（5），若满足，即为优选对，，最后记录下优选对的个数和每一对的八进制表示。

3.3 Gold序列和平衡Gold序列

3.3.1 生成Gold序列设计

Gold序列是m序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同的m序列优选对模2和或模2乘法构成。本报告采用模2加法实现。利用前面获得的优选对，每改变两个序列相对位移就可得到一个新的Gold序列。当相对位移1,2,?,2r?1个比特时，就可以得到一族2r?1个Gold序列，加上原来m序列优选对，共有2r?1个Gold序列，构成一个Gold序列族。最后记录并求其族内序列的自相关函数和互相关函数。

3.3.2 平衡Gold序列设计

若Gold序列中元素1的个数比元素0的个数多且仅多一个，那么这个Gold序列就是平衡Gold序列。

那么将所得到Gold序列一周期内的元素相加（序列采用+1，0表示），若结果为2r?1?1（例如当r?5时，平衡Gold序列中应该有17个1元素，16个0

元素，相加的结果就为17），则为平衡Gold序列，否则为不平衡Gold序列。记录下族内平衡和非平衡Gold序列个数再与理论值对比。

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第4章 实验仿真环境和结果

4.1 实验仿真环境

操作系统：Windows XP sp3； 仿真软件：Matlab 2010b。

4.2 m序列抽取结果

当r=5时的m序列可以由5级线性反馈移位寄存器产生出，移位寄存器的结构图如图4-1所示：

ai?1ai?2ai?3ai?4ai?5c0c1c2模2模模模c3c4c5

图4-1 m序列发生器

由于寄存器不同的初始状态会产生同一序列的不同的相位，在本实验中寄存器初始值统一00…01。运行程序文件sample.m，可得到如下图结果：

图4-2 抽取结果

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由文献可知，按照q?1,2,4,8,16抽取获得的是与原始m序列相同的序列，按照q?3,6,12,17,24抽取得到另一个m序列，同理按照q?5,9,10,18,20、

q?7,14,19,25,28、q?11,13,21,22,26、q?15,23,27,29,30、抽取得到另四个m

序列，一共有6组m序列。分别选取u?1?、u?3?、u?5?、u?7?、u?11?和u?15?作为r?5的6个m序列的到如下所示（u?q?的定义详见3.1.1节）：

q?1时：1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

q?3时：1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

0 1 0 0 1 1 0 0 0 0

q?5时：1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 1 1 1

q?7时：1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1

1 0 1 1 1 0 0 0 1 0

q?11时：1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1

q?15时：1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1

1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1

4.3 m序列寄存器结构

实验要求画出r=5的全部m序列移位寄存器结构，并明确哪些序列彼此是互反多项式。首先查书上附录可得r=5全部的寄存器结构：45E、57G、67H 、51E、75G、73G。作图并标明互反多项式如下：

ai-1ai-2ai-3ai-4ai-5+

（a-1）45E f1(x)?x5?x2?1

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ai-1ai-2ai-3ai-4ai-5+

(a-2) 51E f2(x)?x5?x3?1

即45E和51E两个结构为互反多项式。

ai-1ai-2ai-3ai-4ai-5+++

(b-2) 57G f3(x)?x5?x3?x2?x?1

ai-1ai-2ai-3ai-4ai-5+++

(b-1) 75G f4(x)?x5?x4?x3?x2?1

即57G和75G两个结构为互反多项式。

ai-1ai-2ai-3ai-4ai-5+++

(c-1) 67H f5(x)?x5?x4?x2?x?1

ai-1ai-2ai-3ai-4ai-5+++

(c-2) 73G f6(x)?x5?x4?x3?x?1

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即67H和73G两个结构为互反多项式。

1我们可以发现，两互反多项式之间满足下述关系：f'(x)?xrf()。

x4.4 m序列优选对查找结果

4.4.1 m序列的自相关特性

由2.2.2节可得，m序列的自相关值满足如下条件：

?1 ??mN? R(?)??1? ??mN??N我们在用4.2节中得到r=5的6个m序列：u?1?、u?3?、u?5?、u?7?、u?11?、u?15?，详情参见表4-1，现做他们的自相关函数，运行Autorelation.m文件可以得到下述

结果：

图4-2 m序列的自相关函数

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由图可得m序列有很好的尖锋自相关函数，且符合2.2.2节中式（3）所示，实验验证结果和理论相符。

4.4.2 m序列优选对查找

根据2.2.3的基础知识和3.2节的设计思想编程得到程序文件Cross_Correlation.m，运行得到优选对的结果如下：

图4-3 查找优选对的结果

并同时得到相应优选对的互相关函数曲线，分别如下图所示：

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图4-4 优选对序列1与序列2的互相关函数

图4-5 优选对序列1与序列3的互相关函数

图4-6 优选对序列1与序列4的互相关函数

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图4-7 优选对序列1与序列5的互相关函数

图4-8 优选对序列2与序列3的互相关函数

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图4-9 优选对序列2与序列5的互相关函数

图4-10 优选对序列2与序列6的互相关函数

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图4-11 优选对序列3与序列4的互相关函数

图4-12 优选对序列3与序列6的互相关函数

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图4-13 优选对序列4与序列5的互相关函数

图4-14 优选对序列4与序列6的互相关函数

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图4-15 优选对序列5与序列6的互相关函数

由这些互相关曲线可以看出，m序列优选对的互相关性具有3值特性：

1??1,?t?n?,t?n??2??，其中t?n?满足下面的表达式： N??1?r2?2?1t?n???r?2?22?1?r为奇数r为偶数但不是4的整倍数

4.5 Gold序列生成和相关性质结果

4.5.1 Gold序列数量

由3.3.1节可知道，每个m序列优选对可以产生2r?1个Gold序列，构成一个Gold序列族。在本试验中，由4.4.2节可以知道，当r=5时，功能找到12个优选对，即有12个Gold序列族，而每个Gold序列族功能产生33个Gold序列，合计396个Gold序列。

4.5.2 Gold序列结果及平衡性标示结果

运行函数文件GoldSerial.m，将产生12个Gold序列族，共396个Gold序

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列，并标明了是否为平衡序列。下面我们将运行结果给出，如下图所示：

图4-16 优选对序列1与序列2产生的Gold序列族

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图4-17 优选对序列1与序列3产生的Gold序列族

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图4-18 优选对序列1与序列4产生的Gold序列族

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图4-19 优选对序列1与序列5产生的Gold序列族

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图4-20 优选对序列2与序列3产生的Gold序列族

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图4-21 优选对序列2与序列5产生的Gold序列族

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图4-22 优选对序列2与序列6产生的Gold序列族

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图4-23 优选对序列3与序列4产生的Gold序列族

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图4-24 优选对序列3与序列6产生的Gold序列族

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图4-25 优选对序列4与序列5产生的Gold序列族

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图4-26 优选对序列4与序列6产生的Gold序列族

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图4-27 优选对序列5与序列6产生的Gold序列族

4.5.3 Gold序列的自相关和互相关函数验证结果

Gold序列族内33个Gold序列有两类：原始的两个m序列和由两个m序列模二加得到的序列，原始m序列以Gold序列族中第33个序列为例其自相关函数（未归一化）如下：

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图4-26 Gold序列33自相关函数

我们再以Gold序列20来做自相关运算：

图4-27 Gold序列22自相关函数

同一Gold序列族内中第5个序列和第15个序列为例，考察其互相关函数如下：

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图4-28 Gold族内序列5和序列15的互相关函数

从上可以看出，Gold序列族除了原始的两个m序列外，其它序列都具有三值的自相关特性，并且其互相关函数具有三值旁瓣为：其中：

n?1??1?22t(n)??n?2?1?22?1??1,?t(n),t(n)?2?，Nn为奇数n为偶数

带入r?5可以计算出Gold序列族的未归一化互相关函数的三值分别为：-1、-9、-7，并且Gold序列族自相关函数的旁瓣所取的三值与互相关函数值的三值相同，只是出现的位置不同。

由仿真结果可以看出Gold序列族的自相关除了主瓣的峰值为31之外，旁瓣为三值特性并且与互相关所取的三值相同，为-1、-9、7，与理论分析一致。由此可见Gold序列有着较好的互相关性和自相关特性并且数量大大多于m序列，可以作为扩频系统的地址码。

4.5.4 Gold序列平衡性验证

在4.5.2节已经标示出平衡与非平衡码，在运行完GoldSerial.m程序后，发现每一个Gold族里都有平衡序列17个。下面我们看看理论值如何：

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理论可知Gold序列族中平衡Gold序列中“1”的个数为2为：

r?1，序列的数量、

?2r?1?1k??r?1r?2?2?2?1代入r=5可得，k=17，与仿真结果一致。

r为奇数r为偶数

4.6 最大连通集的验证

在文献Crosscorrelation Properties of Pseudorandom and Related Sequences中给出如下所示的列表，下面我们将给出Mn的解释和其意义。

图4-29 文献截图

Mn在文献中定义如下：maximal connected set，即最大连通集。其实际意义为：在r给定的前提下m序列能够两两互为优选对的最大个数。如果有k个m序列两两互为优选对，我们定义connected set为k，k的最大值即为Mn。下面以r=5为例说明。

如图4-30所示，我们发现其12个优选对其实由下面4个连通集组成：

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（1）45、57、67 （2）45、73、75 （3）51、57、67 （4）51、73、75

每组组内均为两两互为优选对，每个连通集的大小为3，其最大值也为3，也就是图4-8中n=5对应着Mn?3。

文献中给出下图也可以进行说明：

图4-30 文献截图

文献中有下述描述：The vertices of every triangle form a maximal connected set.意思是图中圆圈两两都有直线相连只有3个，组成一个三角形。

同理我们可以对n=4和6的Mn做如下说明： 当n=4时，没有优选对，自然Mn?0。

当n=6时，只有两个m序列互为优选对的情况，不存在三个或三个以上的m序列胡为优选对，所以Mn?2。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f6ro.html