高中数学(人教A版)选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 测试题(含详解)

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第二章测试

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)

x2y2

1．方程1所表示的曲线是( )

sinθ－12sinθ＋3A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线

解析 ∵sinθ－1<0,2sinθ＋3>0，∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．

答案 D

2．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是( ) A．－1 10C20

B．1 10D.2

x2y232

解析 把方程化为标准形式－1＋3＝1，则a＝－mb2＝

－m－m14

－m，∴c2＝a2＋b2＝－m4，∴m＝－1.

答案 A

3．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )

A．(1，＋∞)

B．(1,2)

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1

C．(21)

D．(0,1)

22xy2

解析 把方程x2＋ky2＝2化为标准形式221，依题意有k>2，

k

∴0<k<1.

答案 D

4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为( )

A．1 C．1或0

B．0 D．1或3

x＝ y＝2，

解析 验证知，当k＝0时，有 2 2

y＝8x，

1

y＝2.

适合题意．

y＝x＋2， x＝2，

当k＝1时，有 2解得 也适合题意，

y＝8x， y＝4.

∴k＝0或1. 答案 C

x2y2

5．已知曲线ab＝1和直线ax＋by＋1＝0(a，b为非零实数)在同一坐标系中，它们的图像可能为( )

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1

解析 直线ax＋by＋1＝0中，与x轴的交点为P(－a0)，与y1

轴的交点为(0，－b)，在图A，B中，曲线表示椭圆，则a>b>0，直线与坐标轴负半轴相交，图形不符合．

在图C中，a>0，b<0，曲线为双曲线，直线与x轴负半轴相交，与y轴正半轴相交，适合．

答案 C

12

6．已知F是抛物线y＝4x的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )

1

A．x＝y－2

2

1

B．x＝2y－16

2

C．x2＝2y－1

D．x2＝2y－2

122

解析 由y＝4 x＝4y，焦点F(0,1)，设PF中点为Q(x，y)，

2x＝0＋x0，

P(x0，y0)，则

2y＝1＋y0，

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x0＝2x，∴ 又P(x0，y0)在抛物线上， y0＝2y－1.

∴(2x)2＝4(2y－1)，即x2＝2y－1. 答案 C

7．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(

)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

22

xy

解析 将方程mx2＋ny2＝1111，它表示焦点在y轴

mn

上的椭圆的充要条件是

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1

n>0， 11 mn

1

m，

m>0， n>0， m>n.

m>n>0.

答案 C

8．如图正方体A1B1C1D1－ABCD的侧面AB1内有动点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在的曲线的形状为(

)

解析 点P到B1的距离等于到AB的距离，符合抛物线的定义．∵点P在正方形ABB1A1内运动，当P在BB1的中点适合，当点P与A1重合时，也适合，因此选C.

答案 C

9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点( )

A．(4,0) C．(0,2)

B．(2,0) D．(0，－2)

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解析 直线x＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．

答案 B

x22

10．设F1和F2是双曲线4y＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为( )

A．1 C．2

5

B.2 D.5

|PF1|－|PF2|＝4 ①

解析 由题设知 22

|PF1|＋|PF2|＝20 ②

②－①2得|PF1|·|PF2|＝2.

1

∴△F1PF2的面积S2PF1|·|PF2|＝1. 答案 A

x2y2

11．椭圆ab1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( )

1

A.2 32

2B.2 3D.4

解析 由椭圆的定义可知d1＋d2＝2a， 又由d1,2c，d2成等差数列， c1

∴4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝a＝2答案 A

12．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是( )

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35 A. 24 39 C.24

B．(1,1) D．(2,4)

解析 设P(x，y)为抛物线y＝x2上任一点，则P到直线2x－y＝4的距离

|2x－y－4||2x－x2－4|d＝＝

5| x－1 2＋3|

＝5

35

∴当x＝1时，d有最小值5P(1,1)． 答案 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)

13．(2012·安徽模拟)抛物线y2＝8x的焦点坐标是________． 答案 (2,0)

14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程为________．

x2y2

解析 11＝1的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．离心率e

22

22a－b＝1，22 xy

2.设椭圆的方程为ab＝1，依题意得 1

a2＝1，

∴a2＝2，b2＝1. x22

2＋y＝1.

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x22

答案 2＋y＝1

15．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．

b

解析 设双曲线的一条渐近线为ya，一个顶点A(a,0)，一个|a·0－ab||a·0－bc|

焦点F(c,0)．则2，6，即ab＝2c，bc＝6c，

a＋ba＋b

c

∴b＝6，c＝3a，∴e＝a3. 答案 3

3π

16．过抛物线y＝4x的焦点，作倾斜角为4P，

2

Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于__________．

y＝－ x－1 ，解析 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F为抛物线焦点，由 2

y＝4x，

得y2＋4y－4＝0，

∴|y1－y2|＝ y1＋y2 －4y1y2 －4 ＋4×4＝2. 1

∴S△POQ＝2|OF||y1－y2|＝22. 答案 22

三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

5

17．(10分)求与椭圆4x＋9y＝36有相同的焦距，5

2

2

的椭圆的标准方程．

22

xy

解 把方程4x2＋9y2＝36写成941，则其焦距2c＝25，∴

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c＝5.

c5

又e＝a5，∴a＝5. b2＝a2－c2＝52－5＝20，

x2y2y2x2

故所求椭圆的方程为25＋20＝1，或25201.

3

18．(12分)已知直线x＋y－1＝0与椭圆x＋by＝42

2

同点，求实数b的取值范围．

解

x＋y－1＝0，

由 232

x＋by＝4

得(4b＋4)y2－8y＋1＝0.

因为直线与椭圆相交于不同的两点，

4b＋4≠0所以 ，解得b＜3，且b≠－1.

Δ＝64－4 4b＋4 ＞0

3

又方程x＋by＝4表示椭圆，所以b＞0，且b≠1.

2

2

综上，实数b的取值范围是{b|0＜b＜3且b≠1}．

19．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直2

线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－3求此双曲线的方程．

x2y2

解 设双曲线方程为a－b＝1(a＞0，b＞0)，依题意c7，∴x2y2

方程可以化为a－＝1， 7－a

22

xy 21，a7－a由

y＝x－1，

得

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(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.

－2a2

设M(x1，y1)，N(x2、y2)，则x1＋x2＝

7－2ax1＋x22∵2＝－3

－a222∴2＝－a＝2. 37－2a

x2y2

∴双曲线的方程为25＝

1.

20．(12分)如右图线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A，B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线．

(1)求抛物线方程；

→→(2)若OA·OB＝－1，求m的值．

解 (1)设直线AB为y＝k(x－m)，抛物线方程为y2＝2px.

y＝k x－m ，由 2消去x，得 y＝2px，

ky2－2py－2pkm＝0.

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∴y1·y2＝－2pm.

又∵y1·y2＝－2m，∴p＝1， ∴抛物线方程为y2＝2x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， →→

则OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)．

22→→yy则OA·OB＝x1x2＋y1y2＝4y1y2＝m2－2m.

→→又OA·OB＝－1，

∴m2－2m＝－1，解得m＝1.

21．(12分)已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围，使：

(1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点．

y＝k x－1 ，解 由 22消去y得x2－k2(x－1)2＝4，

x－y＝4，

即(1－k2)x2＋2k2x－4－k2＝0.(*)

当1－k2≠0时，Δ＝16－12k2＝4(4－3k2)．

2 4－3k＞0，2323 (1)当3k＜3k≠±1时，方程(*)有2

1－k≠0，

两个不同的实数解；

2 4－3k＝0， 23(2)当 即k＝方程(*)有两个相同的实数解； 23 1－k≠0，

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2

4－3k＜0，2323(3)当 即k＜－k＞(*)无实数233 1－k≠0，

解．

5而当k＝±1时，方程(*)变形为2x－5＝0，x＝2(*)也只有一解．

233

3k＜－1，或－1＜k＜1，或1＜k＜3时，直线与双曲线有两个公共点；

3

当k＝±1，或k＝3时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 33

当k＜－3，或k＞

3时，直线与双曲线没有公共点．

22．(12分)如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°.曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E，F. 若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围．

解 (1)以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P3，1)，依题意得

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||MA|－|MB|| ＝|PA|－|PB| 2＋3 2＋12－ ＝22<|AB|＝4，

∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线． 设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则c＝2,2a＝2， ∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2. x2y2

∴曲线C的方程为221.

(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理得(1－k2)x2－4kx－6＝0.①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

2

1， k≠± 1－k≠0，

∴ 22

Δ＝ －4k ＋4×6 1－k >0， －3<k<3.

23 2＋12

∴k∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得 4k6x1＋x2xx＝－

1－k121－k|EF|＝ x1－x2 ＋ y1－y2 1＋k x1－x2 1＋k x1＋x2 －4x1x2

22 3－k

1＋k.

|1－k|

而原点O到直线l的距离d＝

2

1＋k

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1

∴S△OEF＝2·|EF|

＝12223－k21＋k

1＋k|1－k2|223－k|1－k|

.

若△OEF面积不小于22，即S△OEF≥2，则有223－k|1－k|2 k4－k2－2≤0， 2≤k≤2③

综合②③知，直线l的斜率的取值范围为[－2，－(1，2]． 1)∪(－1,1) ∪

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f6re.html