电磁场与电磁波(第三版之1)

电磁场与电磁波

第1章 矢量分析1.1 标量场和矢量场 1.2 矢量场的通量 散度 1.3 矢量场的环流 旋度 1.4 标量场的梯度 标量场的梯 1.5 亥姆霍兹定理

电磁场与电磁波

1.1 标量场和矢量场标量场 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化， 标量函数 随时间变化。则称该区域存在一标量场。 随时间变化。则称该区域存在一标量场。 例如,在直角坐标下, 例如,在直角坐标下,

如温度场,电位场,高度场等。 如温度场,电位场,高度场等。 矢量场 矢量函数, 空间某一区域定义一个矢量函数 其大小和方向随空间坐标的变化而变化， 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化， 有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。 有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。

如速度场,电场、磁场等。 如速度场,电场、磁场等。

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1.2 矢量场的通量 散度一、通量 定义矢量 沿有向曲面S 定义矢量 A 沿有向曲面 的面积分 Φ = ∫ S A dS 穿过有向曲面S 为矢量 A 穿过有向曲面 的通量 若S 为闭合曲面

Φ=二、散度

∫

s

A dS

矢量场的通量

的闭合面 S 所围区域 τ 以任意方式缩小为点 时, 通量与 以任意方式缩小为点P 如果包围点P 的闭合面 体积之比的极限存在， 点的散度。 体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场A 在P 点的散度。即

d iv A = lim

τ → 0

1 τ

∫

s

A dS

直角坐标系中散度的计算公式 divA = A = Ax + Ay + Az x y z

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三、散度的物理意义 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 ◇ 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 散度代表矢量场的通量源的分布特性。 ◇ 散度代表矢量场的通量源的分布特性。

A = 0 (无源) (无源 无源) A

A = ρ>0 (正源) (正源 正源)

(负 A = ρ <0 ( 负 源 )

在矢量场中， 在矢量场中，若 A= ρ≠0,称之为有源场，ρ 称为(通量)源密度；若矢量 ，称之为有源场， 称为(通量)源密度； 场中处处 场中处处 A=0,称之为无源场。 ,称之为无源场。

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四、高斯定理(散度定理) 高斯定理(散度定理)

d iv A = lim

τ → 0

1 τ

∫

S

A dS

对于有限大体积 τ ,可将其按如图 方式进行分割， 方式进行分割，对每一小体积元有

d iv A τ = lim

τ → 0

∫

S

A dS

d iv A τ 1 = d iv A τ 2 =

∫ ∫

S1

A d S1 A dS2

S2

+)

d iv A d τ

∫n2 n1 n1=-n2

V

∫

S

A d S

高斯定理

∫

S

A dS = ∫ divA τ = ∫ Adτ dv v

式中S为 式中 为 τ 的外表面 该公式表明了区域 τ 中

场 与边界 上的场 之间的关系。 中场A与边界 的场A之间的关系 与边界S上 之间的关系。

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1.3 矢量场的环流 旋度 1.3 矢量场的环流一、环流 定义矢量场A沿空间有向闭合曲线 的积分 定义矢量场 沿空间有向闭合曲线C的积分 沿空间有向闭合曲线 为A的环流 的 二、旋度 1. 环流密度

∫

c

A dl

S = n S

PC环流的计算

A

过点P 作一微小曲面 S,它的边界曲线记为 它的边界曲线记为C,面的法线方与曲线绕向成右手 ◇ 过点 作一微小曲面 它的边界曲线记为 面的法线方与曲线绕向成右手 螺旋关系。 收缩至P 点附近时 螺旋关系。当 S 收缩至 点附近时,存在极限 lim

∫

c

Α dl S

S → 0

该极限值与 S 的形状无关，但与 的方向 有关。称为矢量场 A 在P 的形状无关，但与 S的方向 有关。称为矢量场 的方向n ◇ 该极限值与 点沿n 方向的环流密度 点沿 方向的环流密度 2. 旋度 用 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。 rot A 表示 ∫ c Α d l = (ro tA ) e li m n 它与环流密度的关系为 S → 0 S

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ex在直角坐标系下 三、旋度的物理意义

ey y

ez z

rotA =

x

= × A

Ax

Ay

Az

矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 ◇ 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 的旋度的大小是该点环流密度的最大值。 ◇ 点P的旋度的大小是该点环流密度的最大值。 的旋度的大小是该点环流密度的最大值 的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。 ◇ 点P的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。 的旋度的方向是该点最大环流密度的方向 四、斯托克斯定理 由旋度的定义 limc

∫ ∫=

c1 c2

A d l = ( × A ) d S1

A dl = ( × A ) dS2

∫

c

Α dl S

S → 0

(ro tA ) e n

+)

∫

c

A dl = ( × A ) dS

∫

c

A dl

∫

S

( × A ) dS

对于有限大面 ， 对于有限大面积S,可将其按如图方 式进行分割， 式进行分割，对每一小面积元有

斯托克斯定理

∫l A dl = ∫

S

( × A) dS

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1.4 标量场的梯度一、 方向性导数与梯度 等值面：标量场中量值相等的点构成的面。 等值面：标量场中量值相等的点构成的面。 u ( x , y , z ) = c 方向性导数 ◇ 考虑标量场中两个等值面 u , u + u 的变化率。 ◇ 定义标量函数 u( x, y, z) 沿给定方向 el 的变化率。u + u Nu + u u u u = lim = lim PM l u → 0 u → 0 PM

en

M

elP

u

方向的方向 为标量场 u ( x , y , z , ) 在P点沿 el 方向的方向 点 性导数。 有关。 性导数。其大小与方向

el 有关。

梯度

大小： 大小：最大方向性导数 标量场 u ( x , y , z , ) 在P点的梯度是一个矢量 点的梯度是一个矢量 方向： 方向：最大方向性导数所在的方向 由方向性导数的定义可知： ◇ 由方向性导数的定义可知：沿等值 的方向性导数最大。 面法线 en 的方向性导数最大。 故 grad u = en

u n

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可得

u = grad u el l

u x = grad u ex u = grad u e y y u = grad u ez z

在直角坐标系中梯度的计算公式

u u u gradu = ex + ey + ez = u x y z

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1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理： 亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。 散度 惟一地确定

矢量A的通量源密度 矢量 的通量源密度 已知 矢量A的旋度源密度 矢量 的旋度源密度 场域边界条件 在电磁场中

电荷密度ρ 电流密度J 电流密度 (矢量惟一地确定) 矢量惟一地确定) 场域边界条件

亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。 亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。

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