椭圆中焦点三角形的性质（含答案）

焦点三角形习题

b2性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2

ax2y2性质二：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

abPF1F2中?F1PF2??,则S?F1PF2?b2tan证明：记|PF1|?r1,|PF2|?r2，

?2.

由椭圆的第一定义得r1?r2?2a,?(r1?r2)2?4a2.

在△F1PF2中，由余弦定理得：r1?r2?2r1r2cos??(2c)2.

配方得：(r1?r2)2?2r1r2?2r1r2cos??4c2. 即4a2?2r1r2(1?cos?)?4c2.

222(a2?c2)2b2?r1r2??.

1?cos?1?cos?由任意三角形的面积公式得：

S?F1PF2?1sin?r1r2sin??b2??b2?21?cos?2sin?22?b2?tan?.

?22cos22cos??S?F1PF2?b2tan?2.

y2x2同理可证，在椭圆2?2?1（a＞b＞0）中，公式仍然成立.

abx2y2性质三：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

abPF1F2中?F1PF2??,则cos??1?2e2.

性质三

证明：设PF1?r1,PF2?r2,则在?F1PF2中，由余弦定理得：

r12?r22?F1F2(r1?r2)2?2r1r2?4c22a2?2c2 co?s????1

2r1r22r1r22r1r22 1

2a2?2c22a2?2c2?1??1?1?2e2. 命题得证。 ?2r?r2a2(12)22x2y2??1上的一点，F1、F2是其焦点，且?F1PF2?60?， 例1. 若P是椭圆

10064求△F1PF2的面积.

x2y2??1中，a?10,b?8,c?6,而??60?. 例1．解法一：在椭圆

10064记|PF1|?r1,|PF2|?r2.

?点P在椭圆上，

?由椭圆的第一定义得：r1?r2?2a?20.

在△F1PF2中，由余弦定理得：r1?r2?2r1r2cos??(2c)2. 配方，得：(r1?r2)2?3r1r2?144.

22?400?3r1r2?144.从而r1r2?S?F1PF2?256. 3112563643r1r2sin?????. 22323?60?.

x2y22??1中，b?64，而?解法二：在椭圆

10064?S?F1PF2?b2tan?2?64tan30??643. 3

x2y2例2.已知P是椭圆??1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，

259若PF1?PF2|PF1|?|PF2|?1，则△F1PF2的面积为（ ） 23 3A. 33 B. 23 C. 3 D.

PF1?PF2|PF1|?|PF2|1，???60?. 2 解：设?F1PF2??，则cos???S?F1PF2?b2tan??2?9tan30??33.故选答案A.

2

x2y2?1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一例3.已知椭圆?169个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ） A.

9797999 B. C. D. 或

77445b29?；若P是直角顶点，解：若F1或F2是直角顶点，则点P到x轴的距离为半通径的长a4设点P到x轴的距离为h，则S?F1PF2?b2tan?7h?9，h?97.故选D. 7?2?9tan45??9，又S?F1PF2?1?(2c)?h?7h, 2

y2x2??1上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△F1PF2的面积为1. 椭圆

4924（ ）

A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 解：?F1PF2???90?,b2?24，?S?F1PF2?b2tan

x22. 椭圆?y2?1的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积为1时，

4?2?24tan45??24.故选D.

PF1?PF2的值为（ ）

A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 解：设?F1PF2??，?S?F1PF2?b2tan?2?tan?2?1，

??2?45?,??90?，PF1?PF2?0.故选A.

x23. 椭圆?y2?1的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积最大时，

4PF1?PF2的值为（ ）

A. 0 B. 2 C. 4 D. ?2 解：a?2,b?1,c?3，设?F1PF2??，? S?F1PF2?b2tan?2?tan?2，

?当△F1PF2的面积最大时，?为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，??120?，

2???2. ?PF1?PF2?|PF1|?|PF2|cos??acos120故答案选D. 4．已知椭圆

x22a且?F1PF2?60?，则|PF1|?|PF2|的值为（ ）

?y2?1（a＞1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，

3

A．1

1 B．

3 C．?24 3

3， 3 D．

2 3 解：?F1PF2???60?，b?1，S?F1PF2?b2tan又?S?F1PF2??tan30??13|PF|?|PF|sin??|PF121|?|PF2|， 24?334|PF|?|PF|?，从而|PF. 121|?|PF2|?433故答案选C.

5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点P在椭圆上， 直线PF1与PF2倾斜角的差为?F1PF2?90?，△F1PF2的面积是20，且c/a=√5/3， 求椭圆的标准方程.

解：设?F1PF2??，则??90?. ? S?F1PF2?b2tanc又?e??aa2?b25?， a3?2?b2tan45??b2?20，

b25205?1?2?，即1?2?.

99aa解得：a2?45.

x2y2y2x2?所求椭圆的标准方程为??1或??1.

45204520

专题2：离心率求法：

1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )

2356A. B. C. D. 2233

1.解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形， c2∴＝. a2

2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) 4321A. B. C. D. 5555

222

2.解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b＝a－c， ∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.

∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.

3

∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝－1(舍去)．

5

3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为

4

________．

3.解析：依题意，得b＝3，a－c＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，

c44

∴椭圆的离心率为e＝＝. 答案： a55

x2y2

4.已知A为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、 F2，且与

ab

椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|∶|AF2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．

4.解：设|AF2|＝m，则|AF1|＝3m，

∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4m. 又在Rt△AF1F2中，

|F1F2|＝|AF1|2－|AF2|2＝22m.

2c|F1F2|22m2∴e＝＝＝＝. 2a2a4m2

5．如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，

2

其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．

3

5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，

2

M点的坐标为(c，b)，

3

则△MF1F2为直角三角形． 在Rt△MF1F2中，

|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，

4

即4c2＋b2＝|MF1|2.

9

42

而|MF1|＋|MF2|＝4c2＋b2＋b＝2a，

93

2222

整理得3c＝3a－2ab.又c＝a－b2，

b24

所以3b＝2a.所以2＝. a9222

ca－bb2552

∴e＝2＝2＝1－2＝， ∴e＝.

aaa93法二：设椭圆方程为 x2y2

＋＝1(a>b>0)， a2b22c24b2

则M(c，b)．代入椭圆方程，得2＋2＝1，

3a9b2

c5c55所以2＝，所以＝，即e＝. a9a33

5

椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）

离心率求法：6

y P F1 O F2 x

性质二

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