自控控制原理习题 王建辉 第3章答案

自控控制原理习题 答案

3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9

控制系统的时域如何定义？

系统的动态过程与系统的极点有什么对应关系？ 系统的时间常数对其动态过程有何影响？ 提高系统的阻尼比对系统有什么影响？

什么是主导极点？ 主导极点在系统分析中起什么作用？ 系统的稳定的条件是什么？ 系统的稳定性与什么有关？ 系统的稳态误差与哪些因素有关？ 如何减小系统的稳态误差？

1

s(s 1)

3-10 一单位反馈控制系统的开环传递函数为Wk(s)

试求： （1） 系统的单位阶跃响应及性能指标 %,tr,ts,和 ; （2） 输入量xr（t）= t 时，系统的输出响应；

（3） 输入量xr (t) 为单位脉冲函数时，系统的输出响应。

2

1 n

解：（1）Wk(s)

s(s 1)s(s 2 n)

2

比较系数：得到 n 1 n 1，2 n 1， 0.5

0.5

2

% e

1

100% e

1 0.52

100% 16.3%

tr

arccos0.5 1.0472(rad) 其中： arccos

2

n

所以tr

3

3.14 1.0472

2.42(s) 22

n 0.5

3

6(s)(5%) 0.5

ts

n

自控控制原理习题 答案

6ts2 2

0.827 其中：tf 7.255(s) 所以

27.255tf0.866 n

解（2）输入量xr（t）= t时，Xr(s)

1

，这时； 2s

2

1 n

，应用部分分式法 Xc(s) 22

2

ss 2 ns n

Xc(s)

ABCs D 2s2ss2 2 ns n

22

As2 A2 ns A n Bss2 2 ns n Cs3 Ds2 2

s2s2 2 ns n

22

(B C)s3 (A D B2 n)s2 (A2 n B n)s A n 2

s2s2 2 ns n

通过比较系数得到：A 1，B A 1,C 1,D 0 所以：Xc(s)

11s11s

22222

sss 2 ns nsss s 1

2 0.5t 30

esin t 60 3 2

1

2

s s 1

所以：xc(t) t 1

解（3）当xr(t) (t)时，Xr(s) 1，这时，Xc(s)

2 0.5t 0

esin t 60 所以xc(t) 2

3-11 一单位反馈控制系统的开环传递函数为Wk(s)

Kk

， 其单位阶跃响

s( s 1)

应曲线如图所示，图中的xm=1.25 tm =1.5s 。试确定系统参数 kk 及 值。

xc1

O

自控控制原理习题 答案

2

Kk n解：因为Wk(s)

1 ss 2 ns( s 1)

s s 2 比较系数得到： n

Kk

Kk

，2 n

1

2

由图得到： % 25% e 得到 0.4

tm

n 2

12 n

3.14159263.43

1.5，所以 n 2.287 2 n n 0.4

所以

1

0.547

2 0.4 2.287

2

Kk n 0.547 2.2872 2.861

n23-12 一单位反馈控制系统的开环传递函数为Wk(s) 。已知系统的

s(s 2 n)

xr(t) = 1 (t) ,误差时间函数为e(t) 1.4e 1.07t 0.4e 3.73t, ,求 系统的阻尼比ξ、自然振荡角频率 n，系统的开环传递函数和闭环传递函数、系统的稳态误差。

解：单位反馈控制系统的结构图如下：

由此得到误差传递函数为：

E(s)

We(s)

Xr(s)

1

2 n

1 2

s 2 ns

s2 2 ns

2

2

s 2 ns n

因为输入为单位阶跃输入，所以

s2 2 nss2 2 ns1s 2 n

E(s) 2X(s) r222

s 2 ns ns2 2 ns nss2 2 ns n

对e(t) 1.4e

1.07t

0.4e 3.73t取拉变得到

E

(s)

1.40.40.4s 4.8

2

s 1.07s 3.73(s 1.07)(s 3.73)s 4.8s 4

自控控制原理习题 答案

比较两个误差传函的系数可以得到：

2 n 4

n 2

1.2

2 n 4.8

4

s2 4.8s

4

系统的闭环传递函数为 WB(s) 2

s 4.8s 4

系统的开环传递函数为 WK(s) 系统的稳态误差为： 1． ( ) limsE(s) lims

s 0

s 0

s 4.8

0 2

s 4.8s 4

1.07t

2． ( ) lime(t) lim[1.4e

t

t

0.4e 3.73t] 0

n2

3-13 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为Wk(s) ， 试选择

s(s 2 n)

kk及τ 值以满足下列指标：

（1） 当 xr(t) =t时，系统的稳态误差ev（∞）≤0.02；

（2） 当xr（t）=1（t）时，系统的σ％≤30%，ts（5％）≤0.3s。

解： 1．

xr(t) t时，由于该系统为1型系统，所以：

KK

KK

s( s 1)

kv limsWK(s) lims

s 0

s 0

e( )

1

0.02 得出KK 50 KK

2．因为要求当xr(t) 1(t)时，系统的 % 30%，ts(5%) 0.3s。

2

所以， % e

0.3 取 % e

1 2

0.3

e

1 2

10

3

2

2

2

2

ln

10

1.2 2 2 1.22(1 2) 3

1.22

0.357 ( 1.2) 1.2 2

2

1.2

2

2

由ts(5%)

3

n

0.3s 得出 n 10

自控控制原理习题 答案

因为，阻尼比越大，超调量越小。取 0.4

2 nKKKK/

由WK(s)

s( s 1)s(s 1/ )s(s 2 n)

所以：所以

KK

2 n 2 n

1

1

20 0.05 取 0.05

KK

因为KK 50 ，取KK 50 得到

2

n 1000 n 31.6

当 0.4， n 31.6时 满足 n 10即满足ts(5%) 所以，最后取KK 50， 0.05

3

n

0.3s

n2

3-14 已知单位反馈控制系统的闭环传递函数为Wk(s) 2，试画2

s 2 ns n

出以 n为常数、ξ为变数时，系统特征方程式的根在s 平面上的分布轨迹。

3-15 一系统的动态结构图如图P3-2，求在不同的KK值下（例如，KK=1，KK=3，

KK=7）系统的闭环极点、单位阶跃响应、动态性能指标及稳态误差。

图 P3-2 题3-15的系统结构图

解：该系统的特征方程为： 0.2s 1 0.4s 1 KK 0 即s2 7.5s 12.5 12.5KK 0

自控控制原理习题 答案

当KK=1时，系统的特征方程为：

s2 7.5s 25 0，此时，系统的闭环极点为s12 3.75 j3.3 12.5

s2 7.5s 12.5

12.5

系统闭环传递函数为：WB(s) 2

s 7.5s 25

3-16 一闭环反馈控制系统的动态结构如图

系统开环传递函数为：WK(s)

P3-3，

（1）试求当σ%≤20％，ts（5%）=1.8s 时，系统的参数k1及τ值。 （2）求上述系统的位置稳态误差系数kp 、速度稳态误差系数Kv 、加速度稳态误差系数

Ka

及其相应的稳态误差。

图 P3-3 题3-16的系统结构图

解：(1)将图P3-3的内部闭环反馈等效一个环节，如下图

2

由上图得到 n K1 2 n K1

根据系统性能指标的要求： % 20%，ts(5%) 1.8s可以得出

当 % 20%时，取 % e

1 2

0.2

e

1 2

10

2

2

2

2

2

ln5 1.6 2 2 1.62(1 2)

1.62

0.454 ( 1.6) 1.6

2

1.62

2

2

自控控制原理习题 答案

当ts(5%) 1.8s时，ts(5%)

3

n

1.8s n

310 1.86

n

1010 3.67 6 6 0.454

22

由 n K1 得到 K1 n 3.672 13.5

由2 n K1 得到

2 n2 0.454 3.67

0.247 K13.672

（2）由（1）得到系统的开环传递函数为：

WK(s)

所以：

K113.5

s(s K1 )s(s 3.33)

kp limWK(s) lim

s 0

s 0

K11

0 对应的xr(t) 1(t)时 e( )

s(s K1 )1 kp

kv limsWK(s) lim

s 0

K111

对应的xr(t) t时 e( )

s 0(s K ) kv11sK11

0 对应的xr(t) t时 e( )

s 0(s K )2k1a

ka lims2WK(s) lim

s 0

3-17 一系统的动态结构图如图，

试求（1）τ1 =0 ，τ2=0.1 时，系统的σ％，ts（5%）；

（2） τ1=0.1，τ2=0时，系统的σ％，ts（5%）；

（3） 比较上述两种校正情况下的动态性能指标及稳态性能。

图 P3-4 题3-17的系统结构图

解： （1） τ

1 =0

，τ2=0.1 时系统框图如下：

自控控制原理习题 答案

图 P3-4 题3-17的系统结构图

进一步化简结构图如下：

图 P3-4 题3-17的系统结构图

2 n

与二阶系统标准传递函数比较WK(s) 得到

s(s 2 n)

2 n 10， n 3.16，2 n 2，

1

0.316

% e

1 2

0.3512 35.12%，ts(5%)

1 =0.1

3

n

3s

（2） 解（2）τ

，τ2=0 时系统框图如下：

图 P3-4 题3-17的系统结构图

解上述系统输出表达式为：

3-18 如图P3-5中，Wg（s）为被控对象的传递函数，Wc（s）为调节器的传递

自控控制原理习题 答案

函数。如果被控对象为Wg(s)

Kg

(T1s 1)(T2s 1)

，T1>T2，系统要求的指标

为: 位置稳态误差为零，调节时间最短，超调量σ%≤4.3％，问下述三种调节器中哪一种能满足上述指标？ 其参数应具备什么条件？

图 P3-5 题3-18的系统结构图

(a)Wc(s) Kp;(b) Wc(s) Kp

s 1

s

;(c)Wc(s) Kp

1s 1

.

2s 1

s 1

s

。

解：三种调节器中，(b)调节器能够满足要求，即Wc(s) Kp校正后的传递函数为W(s) Wg(s)Wc(s)

KgKp s 1 s(T1s 1)(T2s 1)

这时满足位置稳态误差为零。如果还要满足调节时间最短，超调量σ%≤4.3％，

则应该使 T1，此时传递函数为W(s) Wg(s)Wc(s)

KgKps(T2s 1)

应该使

1

2KgKp，此时为二阶最佳系统，超调量σ%=4.3％，调节时间为T2

ts(5%) 4.14T2

3-19有闭环系统的特征方程式如下，试用劳斯判断系统的稳定性，并说明特征根在复平面上的分布。 (1) s3 20s2 4s 50 0 (2) s3 20s2 4s 100 0 (3) s4 2s3 6s2 8s 8 0 (4) 2s5 s4 15s3 25s2 2s 7 0

自控控制原理习题 答案

(5) s6 3s5 9s4 18s3 22s2 12s 12 0 解：（1）列劳斯表如下：

s3s2

s1s0

1

4

20502/350

由此得到系统稳定，在s平面的右半部没有根。 （2）列劳斯表如下：

s3s2s1s0

120 1100

4100

由此得到系统不稳定，在s平面的右半部有两个根。

（3）列劳斯表如下：

s41s32s2s1s0

248

688

8

由此得到系统稳定，在s平面的右半部没有根。

（4）列劳斯表如下：

s5s4s3s2s1s0

2 152125 7 65161641 765558311641 7

由此得到系统不稳定，在s平面的右半部有三个根。

（5）列劳斯表如下：

自控控制原理习题 答案

s6

192212

s531812s431812s31236s2912s120s012

由此得到系统稳定，在s平面的右半部没有根。

3-20 单位反馈系统的开环传递函数为 Wk(s) 系统稳定的KK 值范围。 解：系统特征方程为：

KK(0.5s 1)

求使

s(s 1)(0.5s2 s 1)

s(s 1)(0.5s2 s 1) KK(0.5s 1) 0

即：0.5s4 1.5s3 2s2 s KK0.5s KK 0 将最高项系数化为1得到

s4 3s3 4s2 2s KKs 2KK 0

列劳斯表如下：

s4s3s2s1s0

13

12

KK 10KK 20

10 KK

2KK

1

10 KK 3

42 Kk2KK

2KK

系统稳定的条件为劳斯表的第一列大于零，即

1

(10 KK) 0 得出 KK 10 3

12

[KK 10KK 20] 0 得出KK 5 45

10 KK

所以，系统稳定的取值范围为

5 45 KK 10

3-21 已知系统的结构图如图P3-6所示，试用劳斯判据确定使系统稳定的

自控控制原理习题 答案

Kf值范围。

图 P3-6 题3-17的系统结构图

解：该系统的特征方程为

s3 s2 10s 10Kfs 10 0

列劳斯表如下：

s3s2s1s0

1110Kf10

10 10Kf10

根据劳斯判据，系统稳定，劳斯表第一列必须大于零。 所以得到系统稳定条件为Kf 0

3-22 如果采用图P3-7所示系统，问τ取何值时，系统方能稳定？

图 P3-5 题3-18的系统结构图

解：该系统的特征方程为

s3 s2 10 s 10 0

列劳斯表如下：

s3s2s1s0

110

11010 1 10

自控控制原理习题 答案

根据劳斯判据，系统稳定，劳斯表第一列必须大于零。 所以得到系统稳定条件为 1

3-23 设单位反馈系统的开环传递函数为Wk(s)

K

，

s(1 0.33s)(1 0.107s)

要求闭环特征根的实部均小于-1，求K值应取的范围。 解：该系统的特征方程为

s(0.33s 1)(0.107s 1) K 0 即0.0353

s3

0.437s2

s K 0 将上述方程的最高次项系数化为1 得到s3

12.34s2

28.33s 28.33K 0

令s z 1代入特征方程中，得到

z3 9.34z2 6.65z 28.33K 15.99 0

列劳斯表如下：

z316.65

z29.3428.33K 15.99

z178.1 28.33K

9.34z0

28.33K 15.99

由劳斯判据，系统稳定，劳斯表的第一列系数必须大于零。

所以78.1 28.33K 0，K

78.1

28.33 2.757 28.33K 15.99 0，K 15.99

28.33

0.564

即0.564 K 2.757时，闭环特征根的实部均小于-1。 3-24 设有一单位反馈系统，如果其开环传递函数为

（1） W10K(s)

s(s 4)(5s 1)； （2）W) 10(s 0.1)

K(ss2(s 4)(5s 1)

。输入量为xr(t)=t和xr(t)=2+4t+5t2时系统的稳态误差。 解：（1）系统特征方程为：5s3 21s2 4s 10 0

列劳斯表如下：

试求

自控控制原理习题 答案

s3s2s1s0

54

211034/2110

由劳斯判据可知，该系统稳定。

KP limWK(s) lim

s 0

10

s 0s(s 4)(5s 1)

1010

2.5

s(s 4)(5s 1)410

0

s(s 4)(5s 1)

KV limsWK(s) lims

s 0

s 0

Ka lims2WK(s) lims2

s 0

s 0

当xr(t)=t时，稳态误差为：ess

11 0.4 KV2.5

2410 0 1.6 KPKVKa

xr(t)=2+4t+5t2时，稳态误差为：ess

解：（2）系统特征方程为：5s4 21s3 4s2 10s 1 0

列劳斯表如下：

s4s3s2s1s0

521410

1

34/211 101/341

由劳斯判据可知，该系统不稳定。

KP limWK(s) lim

s 0

10(s 0.1)

s 0s2(s 4)(5s 1)

10(s 0.1)10

2.5

s2(s 4)(5s 1)410(s 0.1)

0.25 2

s(s 4)(5s 1)

KV limsWK(s) lims

s 0

s 0

Ka lims2WK(s) lims2

s 0

s 0

当xr(t)=t时，稳态误差为：ess

11 0.4 KV2.5

自控控制原理习题 答案

xr(t)=2+4t+5t2时，稳态误差为：ess

2410 0 1.6 KPKVKa

此时求出的稳态误差没有意义，因为系统不稳定。 3-25 有一单位反馈系统，系统的开环传递函数为Wk(s) 入量为xr(t) 解：

Ka lims2Wk(s)lims2

s 0

s 0

KK

。求当输s

12

t和xr(t) sin t时， 控制系统的稳态误差。 2

KK

0 s

当xr(t)

1211t时，ess 2Ka0

当xr(t) sin t时，Xr(s)

2

2

s E(s)11s

此时，

Xr(s)1 Wk(s)1 Ks KKs

这时，E(s)

ss ABs C

Xr(s)

s KKs KKs2 2s KKs2 2

ABs CAs2 2 Bs2 BsKK Cs CKK

E(s) 2 222

s KKs s KKs

比较系数：A B 0 BKK C A CKK 0 解方程得到：

2

A

2

2 KK

，B

2

2 KK

，C

2

2

2 KKKK

1 s1 2

则E(s) 2 222222222

KKs KK KKs KK KKs

e(t)

2 2 KK

e

KKt

1 2

2cos t sin t 22 KKKK 2 KK

1 2

ess(t) 2cos t sin t 222

KKKK KK

自控控制原理习题 答案

显然ess( ) 0。由于正弦函数的拉氏变换在虚轴上不解析，所以此时不能应用终值定理法来计算系统在正弦函数作用下的稳态误差。

3-26 有一单位反馈系统，其开环传递函数为Wk(s)

3s 10

，求系统的

s(5s 1)

动态误差系数，并求当输入量xr(t)=1+t+ 1/2 t2时，稳态误差的时间函数 e（t）。

E(s)11 s 5s2

解： 2

Xr(s)1 Wk(s)1 10 2s 5ss5s 1利用综合除法得到：

E(s) s 5s2234

0.1s 0.52s 0.054s 0.2496s 2

Xr(s)10 2s 5s

11111

s s2 s3 s4 k0k1k2k3k4

k0 动态位置误差系数 k1 10动态速度误差系数 k2 1.9231动态加速度误差系数 3-27 一系统的结构图如图，并设W1(s)

K1(1 T1s)K2

，W2(s) 。ss(1 T2s)

11

当扰动量分别以 Xd(s) 2作用于系统时,求系统的扰动稳态误差。

ss

(s)

图 P3-6 题3-27的系统结构图

自控控制原理习题 答案

△N(s)

解：扰动误差的传递函数为：

K2

Xc(s)W2(s)s(1 T2s)

We(s)

2 N(s)1 W1(s)W2(s)1 11

ss(1 T2s)

K2s

T2s3 s2 K1K2T1s K1K2

t

s 0

( ) lim xc(t) limsWe(s) N(s)

所以： N(s)

1时 s

s 0

( ) lim xc(t) limsWe(s) N(s)

t

K2s

0

T2s3 s2 K1K2T1s K1K2

N(s)

1时 s2

s 0

( ) lim xc(t) limsWe(s) N(s)

t

K21

32

T2s s K1K2T1s K1K2K1

3-28 一复合控制系统的结构图如图P3-9所示，其中K1=2K3=1，

T2=0.25s,K2=2. 试求：（1）输入量分别为xr(t)=1,xr(t)=t,xr(t)=1/2t2时系统的稳态误差； （2）系统的单位阶跃响应，及其 %,ts。

)

自控控制原理习题 答案

解：

K1K2K2K3s

Xc(s)KKs K1K2sTs 1sTs 1 223

12Xr(s)1 12Ts s KK2121

sT2s 1sT2s 1当K1=2K3=1，T2=0.25s,K2=2时

Xc(s)K2K3s K1K2s 24s 8

Xr(s)T2s2 s K1K20.25s2 s 2s2 4s 8

E(s)Xr(s) Xc(s)4s 8s2

1 2

Xr(s)Xr(s)s 4s 8s2 4s 8

当xr(t)=1时，Xr(s)

1

s

s2s21s

E(s) 2Xr(s) 2 2

s 4s 8s 4s 8ss 4s 8s

0

s 0s 0s2 4s 8

1

当xr(t)=t，Xr(s) 2

s

此时ess linE(s) lin

s2s211

E(s) 2Xr(s) 2 22

s 4s 8s 4s 8ss 4s 811

0.125

s 0s 0s2 4s 88

12

当xr(t)=1/2t时，Xr(s) 3

s

此时ess linE(s) lin

s2s211

E(s) 2Xr(s) 2

s 4s 8s 4s 8s3ss2 4s 8

此时ess linE(s) lin

s 0

1

s 0ss2 4s 8

3-29 一复合控制系统如图P3-10所示，图中

Wc(s) as2 bs,Wg(s)

值及b值。

10

。如果系统由I型提高为II型系统，求a

s(1 0.1s)(1 0.2s)

自控控制原理习题 答案

图 P3-10 题3-29的系统结构图

解：

WgWWXc(s) cg Xr(s)1 Wg1 Wg

WgWW1 Wg Wg WcWg1 WcWgE(s)Xr(s) Xc(s)

1 cg

Xr(s)Xr(s)1 Wg1 Wg1 Wg1 Wg将Wc(s) as2 bs,Wg(s)

10

代入误差传递函数中，

s(1 0.1s)(1 0.2s)

10as2 bs1 2

E(s)1 WcWgs0.1s 10.2s 1s 0.1s 1 0.2s 1 10as bs

Xr(s)1 Wgs0.1s 10.2s 1 101

s0.1s 10.2s 1

E(s)s 0.1s 1 0.2s 1 10as2 bs0.02s3 0.3s2 s 10as2 10bs

Xr(s)s0.1s 10.2s 1 10s0.1s 10.2s 1 10

如果系统由I型提高为II型系统，则当Xr(s)

K

时，（其中K为常数） 3s

0.02s3 0.3s2 s 10as2 10bs

ess limE(s) Xr(s)

s 0s0.1s 10.2s 1 10

0.02s 0.3s s 10as 10bsK

常数

s0.1s 10.2s 1 10s3

3

2

2

由此得到10a 0.3，a 0.03，10b 1，b 0.1

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