06 常微分方程

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第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

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u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy =, y=, x+ye=c. =xu u+eycx +ey

y

y2 2xy x2 y'=22. y+2xy x2 y(1)= 1

解. 令

y

=u,y=xu. x

dyduduu2 2u 1

, 所以 u+x =u+x=2

dxdxdxu+2u 1duu2 2u 1 u3 u2 u 1

x= u=

dxu2+2u 1u2+2u 1u2+2u 1dx

du= 32

u+u+u+1x

dx2u 1

+2 du=

x u+1u+1

u+1u+1

=lncx, =cx. 由y(1)= 1,得u(1)= 1 22

u+1u+1

u+1y

所以 c = 0. 2=0, 得到u+1=0, +1=0, 即y= x.

u+1xln

三. 求解下列微分方程： 1.

+x2y'sin2y=2xsin2y+e2

2

+x2

解. 令u=siny,则u'=y'sin2y. 得到

+x2u'=2xu+e2

解得 u=e

21+x2

1+x

2

, u'

2x+x

2

u=

e2

+x2

2

+x

为一阶线性方程

1+x2

(c+ln|x++x2|). 即 sin2y=e2

2

(c+ln|x++x2|).

2. (x 2xy y)dy+ydx=0 解. 原方程可化为

2

dx2xx=1+ 2. dyyy

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即

dx 12 + 2 x=1, 为一阶线性方程(y为自变量, x为因变量). dy yy

2

2

1

y

解得: x=y+cye.

3. xy'lnxsiny+cosy(1 xcosy)=0 解. 令cosy=u, 则 u'= y'siny. 原方程化为

u'xlnx+u(1 xu)=0

uu2

u'+=, 为贝奴利方程.

xlnxlnx

u'111

+ =. u2xlnxulnx

1 u'11令z=, 则z'=2. 方程化为 z'+z=, 为一阶线性方程.

uuxlnxlnx

解得 z=

(x+c)x+c1

. 即 =, (x+c)cosy=lnx.

cosylnxlnx

四. 求解下列微分方程： 1. edx+(xe 2y)dy=0 解. edx+xedy 2ydy=0.

于是d(xe) dy=0. 所以方程解为 xe y=c.

y

2

y

2

y

y

y

y

2. x+ x dx+ 1

y2 x2 yy2 x2

1

dy=0

2

解. xdx+dy+

1y x

2

2

dx

xyy x1y x

2

22

dy=0

xyy x

2

2

设函数u(x,y)满足du(x,y)= dx dy.

x

+ (y) y

所以

u= x

1y2 x2

, u(x,y)=

∫

1y2 x2

dx+ (y)=arcsin

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所以

u= y

xy2xy2

2

+ '(y)=

xyy x

2

2

. 于是 '(y)=0, (y)=c

所以原方程的解为

12x

x+y+arcsin=c 2y

3. (x+y+2x)dx+2ydy=0

解. 由原方程可得 (x+y)dx+d(x+y)=0

2

2

2

2

22

d(x2+y2)

=0. 得到 dx+

x2+y2

于是原方程解为 x+ln(x+y)=c.

五. 求解下列微分方程:

2

2

y2 x

1. y'=

2y(x 1)

解. 2yy'(x 1)=y x

令y=u, 得到u'(x 1)=u x

2

2

u'

x1

u= 为一阶线性方程. 解得 x 1x 1

x u=(x 1) ln(x 1)+c .

x 1

即 y=c(x 1)+x (x 1)ln(x 1) 2. xy'+y=xy 解. 该方程为贝奴利方程.

3

6

2

xy 6y'+y 5=y3.

x

u'+u=x3 555

u' u= 5x2. 解得 u=x5(c+x 2)

x2

53 55

于是 y=cx+x

2

令y

5

=u, 5y 6y'=u',

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六. 设ψ(x)在实轴上连续, ψ'(0)存在, 且具有性质ψ(x+y)=ψ(x)ψ(y), 试求出ψ(x). 解. ψ(0+0)=ψ(0)ψ(0), ψ(0)=ψ(0), ψ(0)=0, ψ(0)=1. i) ψ(0)=0. 对于任何x有ψ(x+ x)=ψ(x)ψ( x)

所以 Ψ(x)=limψ(x+ x)=ψ(x)limψ( x)=ψ(x)ψ(0)=0.

x→0

x→02

所以 ψ(x)≡0. ii) ψ(0)=1

ψ(x+ x) ψ(x)

x

上式令 x→0, 得到 ψ'(x)=ψ(x)ψ'(0)

ψ(0)=1

解得 ψ(x)=e

七. 证明: y=e

=

ψ(x)ψ( x) ψ(x)

x

=

ψ(x)(ψ( x) 1)

x

=

ψ(x)(ψ(x) ψ(0))

x

ψ'(0)x

.

∫x0

x

p(x)dx

p(t)dt x

y0+∫Q(s)e∫x0 是一阶线性方程y'+p(x)y=Q(x)满足ds x0

s

初始条件y(x0)=y0的特解. 解. 显然y(x0)=y0.

y'= p(x)e

∫x0

x

p(x)dx

p(t)dt ∫x0p(x)dxx

y0+∫Q(s)e∫x0 +eds x0

sx

p(t)dt

Q(x)e∫x0

x

= p(x)y+Q(x). 于是y'+p(x)y=Q(x).

八. 求解下列方程: 1.

ydx+(y x)dy=0

y(0)=1

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dxx

= 1

解. 可得 dyy. 这是以y为自变量的一阶线性方程.

x(1)=0

解得 x=y(c lny).

x(1)=0, c=0. 所以得解 x= ylny.

x(y'+1)+sin(x+y)=0 2. π

y(=0 2 xu'+sinu=0

解. 令x+y=u. 可得 ππ

(=u 2 2

dxducc

=, ln=ln(cscu cotu), =cscu cotu. xsinuxxππcπππu()=, =csc cot=1, c=.

222222

解为

π

2x

=csc(x+y) cot(x+y).

九. 求解下列方程:

1. (1+x)y''+(y')+1=0 解. 令y'=p,则y''=所以 (1+x)

22

2

dp. dx

dpdxdp

= +p2+1=0, 2

2

p+11+xdx

arctanp= arctanx+c

所以

p+x

=tanc=c1, p+x=c1 c1px, p(1+c1x)=c1 x

1 px

c12+1dyc1 x1

== + 于是

dx1+c1xc1c1(1+c1x)

1c12+1 dy= c+c(1+cx) dx

11 1

c12+11

ln|1+c1x|+c2. 解为 y= x+2

c1c1

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xy''+x(y')2 y'=02.

yy(2)=2,'(2)=1

解. 令y'=p,则y''=

dp

dx

x

dpdpp1dp11

= 1 +xp2 p=0, = p2, 2

pdxxpdxdxx11dp

=u，则u'= 2，u(2)=1 ppdx

令

11

u= 1, u'+u=1 为u对于x的一阶线性方程 xx1c1

解得 u=x+, u(2)=1, 得c = 0. u=x

2x2

于是得到 u'

11dx1

=x, =x, y=2lnx+c, y(2)=2,解得c=2 2ln2 p2dy2

所以 y=2lnx+2 2ln2=ln()+2

x

2

2

2y''+(y')2=y

3.

yy(0)=2,'(0)=1

解. 令y'=p，则y''=p

dp

dy

得到 2p

dp

+p2=y dy

du

=p2(0)=[y'(0)]2=1 +u=y为关于y的一阶线性方程. 且u

|x=0dy

y

令p=u, 得到

2

解得 u=y 1+ce所以 1=u

|x=0

=y(0) 1+ce y(0)=2 1+ce 2, c=0.

于是 u=y 1, p=±y 1

xcdy

=±dx, 2y 1=±x+c1, y 1=±+1

22y 1y(0)=2, 得到

c1

=1, 得解 2

y 1=±

x+1 2

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十. 求解下列微分方程: 1. y

(5)

+y(4)+2y'''+2y''+y'+y=0

解. 特征方程

λ5+λ4+2λ3+2λ2+λ+1=0

(λ+1)(λ2+1)2=0

λ1= 1,λ2,3=i,λ4,5= i

于是得解 y=c1e

x

+(c2+c3x)sinx+(c4+c5x)cosx

y(4) 5y''+10y' 6y=0

2.

y(0)=1,y'(0)=0,y''(0)=6,y'''(0)= 14

解. 特征方程

λ4 5λ2+10λ 6=0, (λ 1)(λ+3)(λ2 2λ+2)=0

λ1=1, λ2= 3, λ3,4=1±i

x

3x

得通解为 y=c1e+c2e

+ex(c3cosx+c4sinx)

由 y(0)=1,y'(0)=0,y''(0)=6,y'''(0)= 14 得到 c1=

11

, c2=, c3=1, c4=1 221x1 3x

得特解 y= e+e+ex(cosx+sinx)

22

十一. 求解下列微分方程: 1. y''+y=x+3sin2x+2cosx 解. 特征方程

λ2+1=0, λ=±i

齐次方程通解 y=c1cosx+c2sinx 非齐次方程特解: y1=

1

x=x

D2+1

311*

y2=2sin2x= sin2x sin2x=3sin2x=32

D+1D+1 4+11*

y3=22cosx

D+1

*

考察

1111ixixixix1e=e=e=e1 121222222

D+1D+2iDD2i+D(D+i)+1

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111ix11D

=xe=(cosx+isinx)( ix) (+)1=2eix

D2i4D2ii

=xsinx ixcosx

1*

2cosx=xsinx 所以 y3=2

D+1

=2e

ix

所以通解为 y=c1cosx+c2sinx+x sin2x+xsinx

y''+y=2xex+4sinx

2.

(0)='(0)=0yy

解. 特征方程

λ2+1=0, λ=±i

齐次方程特解 y=c1cosx+c2sinx 非齐次方程通解 y1=

*

111xxx

==xeexex 222222

D+1D+2D+2(D+1)+1

x

=2e y2=部)

*

11

D x=ex(x 1) 22

11

4sinx= 2xcosx(计算方法同上题, 取eix的虚22

D+1D+1

x

所以 y=c1cosx+c2sinx+e(x 1) 2xcosx 由 y(0)=y'(0)=0可得c1=1,c2=2 得解 y=cosx+2sinx+e(x 1) 2xcosx 3. y''+4y'+4y=e

解. 特征方程λ+4λ+4=0, λ1,2= 2

2

x

ax

y=(c1+c2x)e 2x

i) a= 2

y*=

ii)

*

12 2x11 2x 2x

e=e=xe 122

2(D+2)(D 2+2)

a≠ 2

1eaxax

y=e=

(D+2)2(a+2)2

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1 2xax

()++ccxee12 a≠ 2(a+2)2

所以 y=

a= 2 (c+cx)e 2x+1x2e 2x

12 2

十二. 求解下列微分方程: 1. xy''+xy'+y=2sin(lnx) 解. 令x=e,则t=lnx

t

2

dydt

得 2

dydy

x2y''=2

dtdt

xy'=

得到方程 y''+y=2sint. 解得 y=c1cost+c2sint tcost 所以得解 y=c1coslnx+c2sinlnx lnxcoslnx 2. (x+1)y'' (x+1)y'+y=6(x+1)ln(x+1) 解. 令x+1=e,则t=ln(x+1)

t

2

dydt

得 2

dydy

(x+1)2y''=2

dtdt

(x+1)y'=

得到方程 y'' 2y'+y=6te. 解得 y=(c1+c2t)e+te 所以得解 y=(c1+c2ln(x+1))(x+1)+(x+1)ln(x+1)

十三. 求x0y平面上一曲线, 使其过每点的切线同该点的向径及oy轴一起构成一个等腰三角形.

解. 设所求的曲线为y=f(x). 曲线上点(x,y)处的切线方程为 Y y=f'(x)(X x) 令X = 0, A点坐标(0,y xf'(x)).

i) AB = AC

所以 (y xf'(x))=x+(xf'(x)) 2

2

2

3

t

t

3t

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dy

=x2. B dx

du2

令 u=y, 得到方程 u x=x2 为一阶线性方程

dx

得到 y 2xy

2

得解 u= x+cx, 即 y+x cx=0 ii) AC = BC

所以 x+[xf'(x)]=x+y

2

2

2

2

222

f'(x)=±

ydydxy, =±, ln=±lnx

yxxc

所以 y=cx(舍), xy=c iii) AB = BC

所以 (y xf'(x))=x+y, 得到 2yf'(x)+x[f'(x)]=x

2

2

2

2

2y±4y2+4x2ydyy y y

所以 f'(x)==± +1, 即 =± +1

2xxdxx x x

令

22

duydy

, 得到以下方程 =u则=u+xdxxdx

du

x=±u2+1

dx

dudxdu2

==u2+1, 则, ln(u+u+1)=lncx xdxu2+1

x2+y2

=cx, 即 y+x2+y2=cx2; x

若 x

y +

x

若 x

dudxduc2

= = u2+1, 则, ln(u+u+1)=ln

dxxxu2+1

x2+y2c

=, 即 y+x2+y2=c. xx

y

+

x

十四. 一质量为m的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假如液体阻力与运动速度成正比, 试求物体运动的规律.

解. 取物体的初始位置为坐标原点, x坐标向下为正向. 并以x(t)表示在时刻t时的物体位置.物体所受的重力为mg, 阻力为k

dx

(k为比例系数). 由牛顿定律得到: dt

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k dxd2x

=m2 mg k x''+x'=g

mdtdt. 即

x(0)=x'(0)=0 x(0)=x'(0)=0

解得 x=c1+c2e

k

tm

+

mg

t k

kmg

于是 x'= c2em+

mk

k

x(0)=0, 得到c1= c2

0=x'(0)=

kmg

c2+

mk

m2gm2g

所以 c2=2, c1= c2= 2

kkm2gm2g mmg

+t. 所求解为 x= 2+2e

kkk

十五. 有一盛满水的圆锥形漏斗, 高10cm, 顶角α=60, 漏斗尖处有面积0.5m2的小孔, 求水流出时漏斗内水深的变化规律, 并求出水全部流出所需的时间(提示: 水从深处为h的孔流出的速度v=0.62ghcm/s)

解. 假设在dt时间内圆锥中水的体积变化为dv. 高为h的圆锥的底圆半径为

2

k

1

h, 于是可得以下方程: 3

π 1

h dh=0.5 0.62ghdt, h2dh=0.32ghdt, h(0)=10 π

3 3

π

.92g

hdh=dt, 于是得通解:

4π

10. 92g

4π

h52=t+c. 92g

由h(0)=10得到c=

所以满足初始条件的解为:

4π4π

h2=t 102 . 92g9g

当h = 0时, 得t=

4π

1052≈10 (秒) 9g

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十六. 设经过原点的曲线族上任一点P处的切线交x轴于点T, 从P点向x轴作垂线, 其垂足为Q, 已知PT, PQ与x轴所围成的三角形的面积与曲边三角形OPQ的面积之比等于常数k, k>

1

, 试求该曲线族. 2

解. 在P处的切线方程为Y y=y'(X x).

令Y=0, 得T点的横坐标为 X=x

yy. PQ=Y, QT=x X= y'y'

PQT的面积为S=

y1

y . 2y'

曲边三角形OPQ的面积为

∫

x

y(x)dx. 于是得方程

xy1

y =k∫y(x)dx

0y'2

yy''=2(1 k)y'2

二边对x求导得到

y(0)=0

令 y'=p,则y''=pi) p = 0

y = c. 因为y(0)=0, 所以y≡0(舍) ii) p≠0

dpdp

, 于是yp=2(1 k)p2

dydy

y

dp

=2(1 k)p, lnp=2(1 k)lny+lnc1, p=c1y2(1 k) dy

dy

=c1y2(1 k), y2k 1=(2k 1)(c1x+c2). dx

由y(0)=0, 得c2=0. 所以解为: y

2k 1

=cx. (c=(2k 1)c1为任意常数)

十七. 有一房间容积为100m3, 开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%, 为了改善空气质量, 用一台风量为10m3/分的排风扇通人含0.04%的二氧化碳的新鲜空气, 同时以相同的风量将混合均匀的空气排出, 求排出10分钟后, 房间中二氧化碳的含量百分比?

解. 假设在t时刻二氧化碳的含量百分比为x%, 即房中二氧化碳含量为x. 一分钟后二氧化

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碳为x+0.004

x

. 又设dt时刻后二氧化碳含量改变量为dx. 则 10

x

(x 0.04)dt dx= x (x+0.004 ) dt=

10101 dx

= (x 0.04)即 dt 10 x(0)=0.12

得通解: x=0.04+ce

t

10

1

. 由x(0)=0.12得到c = 0.08.

t10

所以方程的解为: x=0.04+0.08e

当t = 10时, 得到x=0.04+0.08 e

1

=0.07.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f67i.html